エッジワースシリーズ

確率論において、グラム・シャリエA級数（ヨルゲン・ペダーセン・グラムとカール・シャリエにちなんで名付けられた）とエッジワース級数（フランシス・イシドロ・エッジワースにちなんで名付けられた）は、確率分布をそのキュムラントで近似する級数である。^[1]これらの級数は同じであるが、項の配置（したがって級数の切り捨て精度）が異なっている。^[2]これらの展開の重要なアイデアは、確率密度関数fが既知の適切な特性を持つ分布の特性関数で近似される分布の特性関数を書き、逆フーリエ変換によってf を復元することです。

連続ランダム変数を考察する。をその分布の特性関数とし、その密度関数をf、そのキュムラントをとする。 を、確率密度関数ψ、特性関数、キュムラント を持つ既知の分布で展開する。 密度ψは一般に正規分布の密度となるように選択されるが、他の選択も可能である。 キュムラントの定義により、次式が得られる (Wallace, 1958 を参照) ^[3]${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle \kappa_{r}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}}$${\displaystyle \gamma_{r}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]}$そして

${\displaystyle {\hat {\psi }}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\gamma _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right],}$

これにより、次の正式なアイデンティティが与えられます。

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]{\hat {\psi }}(t)\,.}$

フーリエ変換の性質により、はのフーリエ変換である。ここで、 D はxに関する微分演算子である。したがって、方程式の両辺をで変更した後、 fについて形式展開が わかる。${\displaystyle (it)^{r}{\hat {\psi }}(t)}$${\displaystyle (-1)^{r}[D^{r}\psi ](-x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\psi (x)\,.}$

ψを正規密度として選択した 場合

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

平均と分散がfで与えられると、つまり平均と分散がfで与えられると、展開は次のようになる。 ${\displaystyle \mu =\kappa _{1}}$${\displaystyle \sigma ^{2}=\kappa _{2}}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\phi (x),}$

なぜなら、すべてのr > 2に対して、正規分布の高次キュムラントは0であるからである。指数関数を展開し、導関数の順序に従って項を集めると、グラム・シャルリエA級数に達する。このような展開は、ベル多項式を使って簡潔に記述することができる。 ${\displaystyle \gamma _{r}=0}$

${\displaystyle \exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n}){\frac {(-D)^{n}}{n!}}.}$

ガウス関数のn次導関数はエルミート多項式で次のように 表される。${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sigma ^{n}}}He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\phi (x),}$

これにより、グラム・シャルリエA級数の最終的な表現は次のようになる。

${\displaystyle f(x)=\phi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

この系列を積分すると累積分布関数が得られる。

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=\Phi (x)-\phi (x)\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n-1}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n-1}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

ここで正規分布の CDF です。 ${\displaystyle \Phi }$

正規分布に最初の2つの補正項のみを含めると、次の式が得られます。

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}He_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}He_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,}$

およびと。 ${\displaystyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}$${\displaystyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$

この式は正であることが保証されていないため、有効な確率分布ではないことに注意してください。グラム・シャルリエ A 級数は、多くの興味深いケースで発散します。無限大よりも速く減少する場合にのみ収束します(Cramér 1957)。収束しない場合は、展開の誤差を推定できないため、級数は真の漸近展開でもありません。このため、グラム・シャルリエ A 級数よりもエッジワース級数 (次のセクションを参照) が一般的に好まれます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \exp(-(x^{2})/4)}$

エッジワースは中心極限定理の改良として同様の展開を展開した。^[4]エッジワース級数の利点は誤差が制御されており、真の漸近展開となることである。

が有限の平均と分散を持つ独立かつ同一に分布するランダム変数のシーケンスであるとし、それらの標準化された合計をとします。 ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Z_{i}-\mu }{\sigma }}.}$

変数の累積分布関数を とします。中心極限定理により、 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=\Phi (x)\equiv \int _{-\infty }^{x}{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}q^{2}}dq}$

平均と分散が有限である限り、 任意の に対してです。${\displaystyle x}$

の標準化により、 の最初の 2 つのキュムラントがおよび であることが保証されます。ここで、平均と分散に加えて、iid ランダム変数はより高いキュムラント を持つと仮定します。キュムラントの加法性と同次性の特性から、のキュムラントに関する のキュムラントはに対して次のようになります。 ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}=0}$${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}=1.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle \kappa _{r}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}={\frac {n\kappa _{r}}{\sigma ^{r}n^{r/2}}}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\quad \mathrm {where} \quad \lambda _{r}={\frac {\kappa _{r}}{\sigma ^{r}}}.}$

の特性関数の形式表現を標準正規分布で展開すると、つまり、 ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)}$${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}),}$

すると、展開におけるキュムラント差は

${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}-\gamma _{1}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}-\gamma _{2}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}-\gamma _{r}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}};\qquad r\geq 3.}$

の密度関数に対するグラム・シャルリエA級数は、 ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {1}{r!}}B_{r}\left(0,0,{\frac {\lambda _{3}}{n^{1/2}}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\right)He_{r}(x).}$

エッジワース級数はグラム・シャルリエA級数と同様に展開されるが、項が のべき乗に従って集められる点が異なる。n ^{− m /2}項の係数は、mの整数分割に対応するベル多項式の単項式を集めることによって得られる。したがって、特性関数は次のようになる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)=\left[1+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(it)}{n^{j/2}}}\right]\exp(-t^{2}/2)\,,}$

ここで は次数の多項式である。再び逆フーリエ変換すると、密度関数は次のようになる。 ${\displaystyle P_{j}(x)}$${\displaystyle 3j}$${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(-D)}{n^{j/2}}}\phi (x)\,.}$

同様に、級数を積分すると分布関数が得られる。

${\displaystyle F_{n}(x)=\Phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{j/2}}}{\frac {P_{j}(-D)}{D}}\phi (x)\,.}$

多項式を明示的に次のように 書くことができる。${\displaystyle P_{m}(-D)}$

${\displaystyle P_{m}(-D)=\sum \prod _{i}{\frac {1}{k_{i}!}}\left({\frac {\lambda _{l_{i}}}{l_{i}!}}\right)^{k_{i}}(-D)^{s},}$

ここで、和はmのすべての整数分割にわたって、かつおよびとなる。${\displaystyle \sum _{i}ik_{i}=m}$${\displaystyle l_{i}=i+2}$${\displaystyle s=\sum _{i}k_{i}l_{i}.}$

たとえば、m = 3 の場合、この数を分割する方法は 3 つあります: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3。したがって、次の 3 つのケースを調べる必要があります。

• 1 + 1 + 1 = 1 · k ₁なので、k ₁ = 3、 l ₁ = 3、s = 9 となります。
• 1 + 2 = 1 · k ₁ + 2 · k _{2なので、} k ₁ = 1、k ₂ = 1、 l ₁ = 3、l ₂ = 4、s = 7 となります。
• 3 = 3 · k _{3なので、} k ₃ = 1、 l ₃ = 5、s = 5 となります。

したがって、必要な多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}(-D)&={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)^{3}(-D)^{9}+{\frac {1}{1!1!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)\left({\frac {\lambda _{4}}{4!}}\right)(-D)^{7}+{\frac {1}{1!}}\left({\frac {\lambda _{5}}{5!}}\right)(-D)^{5}\\&={\frac {\lambda _{3}^{3}}{1296}}(-D)^{9}+{\frac {\lambda _{3}\lambda _{4}}{144}}(-D)^{7}+{\frac {\lambda _{5}}{120}}(-D)^{5}.\end{aligned}}}$

展開の最初の5つの項は^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)&=\phi (x)\\&\quad -n^{-{\frac {1}{2}}}\left({\tfrac {1}{6}}\lambda _{3}\,\phi ^{(3)}(x)\right)\\&\quad +n^{-1}\left({\tfrac {1}{24}}\lambda _{4}\,\phi ^{(4)}(x)+{\tfrac {1}{72}}\lambda _{3}^{2}\,\phi ^{(6)}(x)\right)\\&\quad -n^{-{\frac {3}{2}}}\left({\tfrac {1}{120}}\lambda _{5}\,\phi ^{(5)}(x)+{\tfrac {1}{144}}\lambda _{3}\lambda _{4}\,\phi ^{(7)}(x)+{\tfrac {1}{1296}}\lambda _{3}^{3}\,\phi ^{(9)}(x)\right)\\&\quad +n^{-2}\left({\tfrac {1}{720}}\lambda _{6}\,\phi ^{(6)}(x)+\left({\tfrac {1}{1152}}\lambda _{4}^{2}+{\tfrac {1}{720}}\lambda _{3}\lambda _{5}\right)\phi ^{(8)}(x)+{\tfrac {1}{1728}}\lambda _{3}^{2}\lambda _{4}\,\phi ^{(10)}(x)+{\tfrac {1}{31104}}\lambda _{3}^{4}\,\phi ^{(12)}(x)\right)\\&\quad +O\left(n^{-{\frac {5}{2}}}\right).\end{aligned}}}$

ここで、φ ^{( j )} ( x )は、点xにおけるφ(·)のj次導関数です。正規分布の密度の導関数は、 （ここではn次エルミート多項式）によって正規密度に関連付けられていることを思い出すと、密度関数に関する代替表現が説明されます。Blinnikov と Moessner (1998) は、展開の高次項を計算するための簡単なアルゴリズムを示しています。 ${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}He_{n}(x)\phi (x)}$${\displaystyle He_{n}}$

格子分布（離散値を持つ）の場合、格子点間の不連続なジャンプを考慮してエッジワース展開を調整する必要があることに注意する。^[6]

サンプル平均を取得します 。 ${\displaystyle X_{i}\sim \chi ^{2}(k=2),\,i=1,2,3\,(n=3)}$${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{3}}\sum _{i=1}^{3}X_{i}}$

にはいくつかの分布を使用できます: ${\displaystyle {\bar {X}}}$

• ガンマ分布に従う正確な分布: 。${\displaystyle {\bar {X}}\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha =n\cdot k/2,\theta =2/n\right)=\mathrm {Gamma} \left(\alpha =3,\theta =2/3\right)}$
• 漸近正規分布: 。${\displaystyle {\bar {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(k,2\cdot k/n)=N(2,4/3)}$
• 2 次と 3 次の 2 つのエッジワース展開。

• 有限サンプルの場合、いくつかの点で CDF 値が を超える可能性があるため、エッジワース展開が適切な確率分布になることは保証されません。${\displaystyle [0,1]}$
• これらは（漸近的に）絶対誤差を保証しますが、残りの部分のエッジワース項を全体のエッジワース項と比較することで相対誤差を簡単に評価できます。^[2]

• コーニッシュ・フィッシャー拡張
• エッジワース二項木

• H. Cramér . (1957). 『統計の数学的手法』 プリンストン大学出版局、プリンストン。
• Wallace, DL (1958). 「分布の漸近近似」. Annals of Mathematical Statistics . 29 (3): 635–654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 .
• M. Kendall & A. Stuart. (1977)、「統計学の高度理論」、第1巻：分布理論、第4版、Macmillan、ニューヨーク。
• P. McCullagh (1987)。統計におけるテンソル法。Chapman and Hall、ロンドン。
• DR CoxおよびOE Barndorff-Nielsen (1989)。統計で使用するための漸近的手法。Chapman and Hall、ロンドン。
• P. ホール (1992)。『ブートストラップとエッジワース拡張』、シュプリンガー、ニューヨーク。
• 「エッジワース級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Blinnikov, S.; Moessner, R. (1998). 「ほぼガウス分布の展開」(PDF) .天文学と天体物理学補足シリーズ. 130 : 193–205. arXiv : astro-ph/9711239 . Bibcode :1998A&AS..130..193B. doi :10.1051/aas:1998221.
• Martin, Douglas; Arora, Rohit (2017). 「修正バリュー・アット・リスクと期待ショートフォールの非効率性とバイアス」Journal of Risk . 19 (6): 59–84. doi :10.21314/JOR.2017.365.
• JE Kolassa (2006)。統計におけるシリーズ近似法（第3版）。（統計の講義ノート#88）。Springer、ニューヨーク。