期間（財務）

金融において、債券などの固定キャッシュフローで構成される金融資産のデュレーションは、それらの固定キャッシュフローが受け取られるまでの期間の加重平均です。資産の価格が利回りの関数として考えられている場合、デュレーションは利回りに対する価格感応度、利回りに対する価格の変化率、または利回りの平行シフトに対する価格の変化率も測定します。^{[1] [2] [3]}

「デュレーション」という言葉を、返済までの加重平均期間と価格の変化率の両方で二重に使用すると、混乱が生じることがよくあります。厳密に言えば、マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローが受け取られるまでの加重平均期間に付けられた名前であり、年単位で測定されます。修正デュレーションは、価格感応度に付けられた名前です。これは、債券の利回りの変化の関数として、債券の価格の変化率の (-1) 倍です。^[4]

どちらの尺度も「デュレーション」と呼ばれ、同じ（またはほぼ同じ）数値を持ちますが、両者の概念的な違いを念頭に置くことが重要です。^[5]マコーレー・デュレーションは年単位の時間尺度であり、実際にはキャッシュフローが固定されている金融商品に対してのみ意味を持ちます。標準的な債券の場合、マコーレー・デュレーションは0から債券の満期までの間になります。債券がゼロクーポン債である場合に限り、マコーレー・デュレーションは満期と等しくなります。

一方、修正デュレーションは価格の数学的導関数（変化率）であり、利回りに対する価格の変化率のパーセンテージを測定します。（利回りに対する価格感応度は絶対値（ドルやユーロなど）で測定することもでき、絶対感応度はドル（ユーロ）デュレーション、DV01、BPV、またはデルタ（δ または Δ）リスクと呼ばれることがよくあります）。修正デュレーションの概念は、固定されていないキャッシュフローを持つ金利感応性金融商品に適用できるため、マコーレーデュレーションよりも幅広い金融商品に適用できます。現代の金融では、修正デュレーションがマコーレーデュレーションよりも頻繁に使用されています。^[6]

日常的な使用においては、マコーレー・デュレーションと修正デュレーションの値が等しい（またはほぼ等しい）ことは、直感を補助するのに役立つ。^[7]たとえば、標準的な 10 年利付債券のマコーレー・デュレーションは 10 年より若干短いが、大幅に短いわけではない。このことから、修正デュレーション（価格感応度）も 10% より若干短いが、大幅に短いわけではないと推測できる。同様に、2 年利付債券のマコーレー・デュレーションは 2 年を若干下回り、修正デュレーションは 2% を若干下回る。^[7]

マコーレー・デュレーションは、この概念を提唱したフレデリック・マコーレーにちなんで名付けられた、キャッシュフローの加重平均満期であり、各支払いの受領時期がその支払いの現在価値によって加重される。分母は加重の合計であり、これは債券の価格とまったく同じである。^[8]固定キャッシュフローのセットをいくつか考えてみよう。これらのキャッシュフローの現在価値は次のようになる。

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}}$

マコーレー期間は次のように定義される: ^{[1] [2] [3] [9]}

（１）     ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}}$

どこ：

• ${\displaystyle i}$キャッシュフローをインデックス化し、
• ${\displaystyle PV_{i}}$は資産からの 番目の現金支払いの現在価値であり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$は、 番目の支払いが受け取られるまでの年数です。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$資産からの将来のすべての現金支払いの現在価値です。

2 番目の式では、小数項はキャッシュ フローと合計 PV の比率です。これらの項を合計すると 1.0 になり、加重平均の重みとして機能します。したがって、全体的な式は、キャッシュ フローの支払いまでの時間の加重平均であり、重みはキャッシュ フローによる資産の現在価値の割合です。 ${\displaystyle PV_{i}}$${\displaystyle {\frac {PV_{i}}{V}}}$${\displaystyle i}$

すべて正の固定キャッシュフローのセットの場合、加重平均は 0 (最小時間)、より正確には(最初の支払いまでの時間) と最終キャッシュフローの時間の間になります。マコーレーデュレーションは、満期時に支払いが 1 回だけの場合のみ、最終満期に等しくなります。シンボルでは、キャッシュフローが の順序で、の場合、次のようになります。 ${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle (t_{1},...,t_{n})}$

${\displaystyle t_{1}\leq {\text{Macaulay duration}}\leq t_{n},}$

単一のキャッシュフローがない限り、不等式は厳密になります。標準的な債券（キャッシュフローが固定かつプラス）に関して言えば、これはマコーレーデュレーションが債券の満期と等しくなるのはゼロクーポン債の場合のみであることを意味します。

マコーレー持続時間は、図 1 に示すような図式的な解釈ができます。

これは、以下の例で説明した債券を表しています。満期は 2 年で、クーポンは 20%、継続複利利回りは 3.9605% です。円は支払いの現在の価値を表し、クーポン支払いは将来が遠いほど少なくなり、最終的な大きな支払いにはクーポン支払いと最終的な元金返済の両方が含まれます。これらの円をバランス ビーム上に置くと、ビームの支点 (バランスの中心) は加重平均距離 (支払いまでの時間) を表し、この場合は 1.78 年になります。

最も実用的な計算では、マコーレー・デュレーションは満期利回りを使用して計算され、次のように計算されます。 ${\displaystyle PV(i)}$

（２）     ${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}$

（３）     ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}}$

どこ：

• ${\displaystyle i}$キャッシュフローをインデックス化し、
• ${\displaystyle PV_{i}}$資産からの現金支払いの現在価値である。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle CF_{i}}$資産からの 番目の支払いのキャッシュフローです。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$資産の満期利回り（連続複利）である。
• ${\displaystyle t_{i}}$は、 番目の支払いが受け取られるまでの年数です。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$満期までの資産からのすべての現金支払いの現在価値です。

マコーレーは2つの代替策を提示した。

• 式（１）は、ゼロクーポン債価格を割引率として用いるフィッシャー・ワイル・デュレーションであり、
• 債券の満期利回りを用いて割引率を計算する式（3）。

2つのデュレーションの主な違いは、フィッシャー・ワイル・デュレーションでは傾斜した利回り曲線の可能性を考慮しているのに対し、2番目の形式は利回りの一定値に基づいており、支払い期間によって変化しないことである。^[10]コンピュータを使用すれば、どちらの形式も計算できるが、利回りが一定であると仮定した式(3)の方が、修正デュレーションへの適用性から、より広く使用されている。^[11]${\displaystyle y}$

マコーレー・デュレーションと加重平均残存期間の値と定義の類似性は、両者の目的と計算を混同する原因となる可能性がある。^[12] たとえば、5年固定金利の利息のみの債券の加重平均残存期間は5であり、マコーレー・デュレーションは非常に近い値になるはずである。住宅ローンも同様に動作する。両者の違いは以下のとおりである。

1. マコーレーデュレーションは固定期間のキャッシュフローのみを測定しますが、加重平均寿命は固定か変動かにかかわらずすべての主要なキャッシュフローを考慮します。したがって、固定期間ハイブリッドARM住宅ローンの場合、モデル化の目的で、固定期間全体は最後の固定支払いの日付またはリセットの前の月に終了します。^[13]
2. マコーレーデュレーションは、すべてのキャッシュフローを対応する資本コストで割り引く。加重平均寿命は割引しない。^[14]
3. マコーレーデュレーションはキャッシュフローを加重する際に元本と利息の両方を使用します。加重平均寿命は元本のみを使用します。^[13]

マコーレー・デュレーションとは対照的に、修正デュレーション（略してMDとも呼ばれる）は価格感応度指標であり、利回りに対する価格のパーセンテージ微分（利回りに対する債券価格の対数微分）として定義される。^[15]修正デュレーションは、債券やその他の資産が利回りの関数として考えられている場合に適用されます。この場合、利回りに対する対数微分を測定できます。^[16]

${\displaystyle ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \ln(V)}{\partial y}}}$

利回りを連続複利で表すと、マコーレー・デュレーションと修正デュレーションは数値的に等しくなります。^[17]これを理解するために、価格または現在価値の導関数（式（2））を連続複利利回りに関して取ると、次のようになります。 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}=-\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,}$

言い換えれば、連続複利で表された利回りの場合、

${\displaystyle ModD=MacD}$^[1 ]

どこ：

• ${\displaystyle i}$キャッシュフローをインデックス化し、
• ${\displaystyle t_{i}}$は、 番目の支払いが受け取られるまでの年数です。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$資産からのすべての現金支払いの現在価値です。

金融市場では、利回りは通常、連続複利ではなく、定期的に（例えば、年または半年ごとに）複利で表されます。^[18]すると、式（2）は次のようになります。

${\displaystyle V(y_{k})=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

${\displaystyle MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

修正デュレーションを求めるには、周期的に複利計算された利回りに対する値の導関数を取ると、^[19]${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{(1+y_{k}/k)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}}$

整理すると（両辺を-Vで割ると）、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}=-{\frac {1}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD}$

これは修正デュレーションとマコーレーデュレーションの間のよく知られた関係です。

${\displaystyle ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}}$

どこ：

• ${\displaystyle i}$キャッシュフローをインデックス化し、
• ${\displaystyle k}$年間の複利計算頻度（年1回、半年2回、月12回、週52回など）
• ${\displaystyle CF_{i}}$資産からの 番目の支払いのキャッシュフローです。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$は、 番目の支払いが受け取られるまでの年数です（例：2 年間の半年払いは、0.5、1.0、1.5、および 2.0 のインデックスで表されます）。${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{i}}$
• ${\displaystyle y_{k}}$資産の満期までの利回りであり、定期的に複利計算される。
• ${\displaystyle V}$資産からのすべての現金支払いの現在価値です。

これにより、上で引用したマコーレー デュレーションと修正デュレーションのよく知られた関係が生まれます。マコーレー デュレーションと修正デュレーションは密接に関連していますが、概念的には異なるものであることを覚えておく必要があります。マコーレー デュレーションは、返済までの加重平均期間 (年などの時間単位で測定) ですが、修正デュレーションは、価格が利回りの関数として扱われる場合の価格感応度 (利回りに対する価格の 変化率)です。

マコーレー期間は年単位で測定されます。

修正デュレーションは、1 単位あたりの価格のパーセント変化 (パーセンテージポイント)、年間利回りの変化 (たとえば、利回りが年間 8% (y = 0.08) から年間 9% (y = 0.09) に変化) として測定されます。これにより、修正デュレーションの数値はマコーレー デュレーションに近くなります (利率が連続複利の場合は等しくなります)。

正式には、修正デュレーションは、弾力性（入力のパーセンテージ変化に対する出力のパーセンテージ変化）ではなく、半弾力性（利回りの単位変化に対する価格のパーセンテージ変化）です。修正デュレーションは変化率（利回りの変化に対する価格のパーセンテージ変化）です。

修正デュレーションは固定キャッシュフローの金融商品にのみ適用されますが、マコーレーデュレーションは固定キャッシュフローの金融商品にのみ適用されます。修正デュレーションは利回りに対する価格の対数微分として定義され、この定義はキャッシュフローが固定されているかどうかに関係なく、利回りに依存する金融商品に適用されます。

修正デュレーションは、上で微分として定義されており（微積分学の用語として）、したがって、微小な変化に基づいています。修正デュレーションは、債券の市場価格が有限の金利（つまり利回り）の変動にどの程度敏感であるかを測る指標としても役立ちます。利回りの小さな変化については、 ${\displaystyle \Delta y}$

${\displaystyle ModD\approx -{\frac {1}{V}}{\frac {\Delta V}{\Delta y}}\Rightarrow \Delta V\approx -V\cdot ModD\cdot \Delta y}$

したがって、修正デュレーションは、利回りの一定の変化に対する価格の変化率とほぼ等しくなります。したがって、マコーレーデュレーションが7年の15年債の場合、修正デュレーションは約7年となり、金利が1パーセントポイント上昇した場合（たとえば7％から8％に）、価値は約7％下落します。^[20]

フィッシャー・ワイル・デュレーションは、金利の期間構造を考慮したマコーレー・デュレーションの改良版である。フィッシャー・ワイル・デュレーションは、それぞれの満期のゼロクーポン利回りを使用して、関連するキャッシュフローの現在価値を（より厳密に）計算する。^[21]

キーレートデュレーション（部分DV01または部分デュレーションとも呼ばれる）は、総修正デュレーションを自然に拡張したもので、利回り曲線のさまざまな部分のシフトに対する感度を測定するものです。キーレートデュレーションは、たとえば、満期が「1M」、「3M」、「6M」、「1Y」、「2Y」、「3Y」、「5Y」、「7Y」、「10Y」、「15Y」、「20Y」、「25Y」、「30Y」のゼロクーポンレートに対して定義されます。トーマス・ホー（1992）^[22]はキーレートデュレーションという用語を導入しました。レイタノは1991年にマルチファクター利回り曲線モデルを取り上げており^[23]、最近のレビューでこのトピックを再検討しています。^[24]

キー レート デュレーションでは、利回り曲線に基づいて金融商品を評価する必要があり、利回り曲線を構築する必要があります。Ho の元の手法は、ゼロまたはスポット利回り曲線に基づいて金融商品を評価することに基づいており、「キー レート」間の線形補間を使用していましたが、この考え方は、フォワード レート、パー レートなどに基づく利回り曲線にも適用できます。キー レート デュレーション (部分 DV01) では、金融商品を評価するために使用される利回り曲線の特定のタイプにキー レート デュレーションが依存するため、標準の総修正デュレーションでは発生しない多くの技術的な問題が発生します (Coleman、2011 ^[3]を参照)。

固定の半年払いの標準的な債券の場合、債券の期間の閉形式の式は次のようになります。^{[引用が必要]}

${\displaystyle {\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)}$

• FV = 額面価値
• C = 期間（半年）あたりのクーポン支払額
• i = 期間（半年）あたりの割引率
• a = 次のクーポン支払いまでの残り期間の割合
• m = 満期までの全クーポン期間の数
• P = 債券価格（利率iで割り引いたキャッシュフローの現在価値）

クーポン頻度はあるものの、期間が整数で ある債券（端数支払い期間がない債券）の場合、式は次のように簡略化される。 ^[25]${\displaystyle k}$

${\displaystyle MacD=\left[{\frac {(1+y/k)}{y/k}}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^{m}-1]+100y/k}}\right]/k}$

どこ

• y = 利回り（年間、パーセント）、
• c = クーポン（年額、小数点形式）、
• m = クーポン期間の数。

額面 100 ドル、半年ごとのクーポンが 20%、半年ごとの複利利回りが 4% の 2 年債を考えてみましょう。合計現在価値は次のようになります。

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+.04/2)^{i}}}+{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}}$

${\displaystyle =9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462}$

マコーレー持続時間は

${\displaystyle {\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1.777\,{\text{years}}}$。

上記の簡単な式は、(y/k =.04/2=.02、c/k = 20/2 = 10) となります。

${\displaystyle {\text{MacD}}=\left[{\frac {(1.02)}{0.02}}-{\frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\right]/2=1.777\,{\text{years}}}$

修正デュレーションは、利回りの 1 パーセント ポイントの変化あたりの価格の変化率として測定され、次のようになります。

${\displaystyle {\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742}$（利回り1パーセントポイントの変化あたりの価格の変化率）

DV01は、利回りが1パーセントポイント変化した場合の100ドルの債券価格のドル変動として測定され、

${\displaystyle {\text{DV01}}={\frac {{\text{ModD}}\cdot 130.462}{100}}=2.27}$（利回り1パーセントポイントの変化あたりのドル）

ここで 100 で割るのは、修正された期間がパーセンテージの変化であるためです。

額面1000ドル、クーポンレート5%、年利6.5%、満期5年の債券を考えてみましょう。^[26]デュレーションを計算する手順は次のとおりです。

1. 債券の価値を見積もる クーポンは 1 年目、2 年目、3 年目、4 年目は 50 ドルです。その後、5 年目には、債券はクーポンと元金を支払い、合計 1,050 ドルになります。現在価値に 6.5% で割り引くと、債券の価値は 937.66 ドルになります。詳細は次のとおりです。

1年目: $50 / (1 + 6.5%) ^ 1 = 46.95

2年目: $50 / (1 + 6.5%) ^ 2 = 44.08

3年目: $50 / (1 + 6.5%) ^ 3 = 41.39

4年目: $50 / (1 + 6.5%) ^ 4 = 38.87

5年目: $1050 / (1 + 6.5%) ^ 5 = 766.37

2. 各キャッシュフローの受け取り時間にその現在価値を掛ける

1年目: 1 * $46.95 = 46.95

2年目: 2 * $44.08 = 88.17

3年目: 3 * $41.39 = 124.18

4年目: 4 * $38.87 = 155.46

5年目: 5 * 766.37 = 3831.87

合計: 4246.63

3. ステップ2の合計を債券価値（ステップ1）と比較します。

マコーレー持続時間: 4246.63 / 937.66 = 4.53

のお金の持続期間、またはベーシスポイント値またはブルームバーグリスク^[要出典]、別名ドルデュレーションまたは米国の DV01は、利回りに関する値の導関数の負として定義されます。

${\displaystyle D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.}$^[要出典]

つまり、修正された期間と価格（値）の積になります。

${\displaystyle D_{\$}=DV01=BPV=V\cdot ModD/100}$（利回り1パーセントポイントの変化あたりのドル）

または

${\displaystyle D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000}$（利回り1ベーシスポイントの変化あたりのドル）

DV01 はデリバティブ価格設定のデルタ(ギリシャ文字の 1 つ)に類似しており、出力 (ドル) の価格変化と入力 (利回りの 1 ベーシス ポイント) の単位変化の比率です。ドル デュレーションまたは DV01 は、パーセンテージではなく、ドルでの価格変化です。これは、利回りの単位変化あたりの債券価値のドル変動を示します。これは、1 ベーシス ポイントごとに測定されることが多く、DV01 は「01 のドル価値」(または 1 ベーシス ポイント) の略です。BPV (ベーシス ポイント値) またはブルームバーグの「リスク」という名前も使用され、利回りの 100bp の変化に対する 100 ドルの想定元本のドル変動に適用されることが多く、デュレーションと同じ単位になります。PV01 (01 の現在価値) が使用されることもありますが、PV01 はより正確には 1 ドルまたは 1 ベーシス ポイントの年金の価値を指します。 (額面債券と平坦な利回り曲線の場合、利回りに対する価格の導関数である DV01 と 1 ドルの年金の価値である PV01 は、実際には同じ値になります。^{[引用が必要] ) DV01 またはドルデュレーションは、パーセンテージの変更や修正デュレーションがあまり役に立たない}金利スワップなどの前払い価値がゼロの金融商品に使用できます。

ドルデュレーションは、バリュー・アット・リスク（VaR）の計算によく使用されます。ポートフォリオリスク管理への応用を説明するために、リスク要因として 金利に依存する証券ポートフォリオを考えてみましょう。${\displaystyle D_{\$}}$${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

${\displaystyle V=V(r_{1},\ldots ,r_{n})\,}$

このようなポートフォリオの価値を表す。すると、エクスポージャーベクトルは次のような要素を持つ。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})}$

${\displaystyle \omega _{i}=-D_{\$,i}:={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.}$

したがって、ポートフォリオの価値の変化は次のように近似できる。

${\displaystyle \Delta V=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\,\Delta r_{i}+\sum _{1\leq i,j\leq n}O(\Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),}$

つまり、金利の変化に対して線形である要素と、少なくとも 2 次である誤差項です。この式は、高次の項を無視することでポートフォリオの VaR を計算するために使用できます。通常、3 次以上の項は切り捨てられます。2 次項が含まれる場合は、(多変量) 債券コンベクシティで表現できます。金利の結合分布について仮定し、モンテ カルロ シミュレーションで VaR を計算するか、特殊なケース (例:線形近似を仮定したガウス分布) では解析的に計算することもできます。この式は、ポートフォリオの DV01 を計算するためにも使用でき (以下を参照)、金利以外のリスク要因を含めるように一般化できます。

デュレーション（修正デュレーション）の主な用途は、金利感応度または金利エクスポージャーを測定することです。金利または利回りの観点からリスクを考えることは、異なる金融商品を標準化するのに役立つため、非常に便利です。たとえば、最終満期がそれぞれ 10 年の次の 4 つの金融商品について考えてみましょう。

これら 4 つの債券はすべて 10 年の満期ですが、金利に対する感応度、つまりリスクは異なります。ゼロクーポン債の感応度が最も高く、年金債の感応度が最も低くなります。^{[引用が必要]}

まず、それぞれに 100 ドル投資することを考えてみましょう。これは、3 つの債券 (クーポン債、年金、ゼロクーポン債 - 初期投資のない金利スワップには意味がありません) には意味があります。修正デュレーションは、3 つの債券の金利感応度を比較するのに役立つ指標です。ゼロクーポン債の感応度は最も高く、利回りの 100bp の変化につき 9.76% の割合で変化します。つまり、利回りが 5% から 5.01% (1bp の上昇) に上昇すると、価格は約 0.0976% 下落する、つまり、価格が名目 100 ドルあたり 61.0271 ドルから約 60.968 ドルに変化することになります。投資した元の 100 ドルは約 99.90 ドルに下がります。年金の感応度は最も低く、ゼロクーポン債の約半分で、修正デュレーションは 4.72% です。

あるいは、各商品の想定元本を 100 ドルとすることもできます。この場合、BPV または DV01 (01 のドル価値またはドル デュレーション) の方がより自然な尺度です。表の BPV は、利回りが 100bp 変化した場合の想定元本 100 ドルの価格のドル変化です。BPV は、金利スワップ (修正デュレーションが定義されていない) と 3 つの債券の両方に当てはまります。

修正デュレーションは金利感応度の大きさを測ります。時には、それが利回り曲線のどの部分に金融商品が感応するかを測っていると誤解されることがあります。結局のところ、修正デュレーション (価格の変化率) はマコーレー デュレーション (満期までの加重平均年数の一種) とほぼ同じ数値です。たとえば、上記の年金のマコーレー デュレーションは 4.8 年で、5 年利回りに感応すると思われるかもしれません。しかし、この年金には 10 年分のキャッシュ フローがあるため、10 年利回りに感応します。利回り曲線の各部分に対する感応度を測りたい場合は、主要金利デュレーションを考慮する必要があります。

キャッシュフローが固定されている債券の場合、価格変動は次の 2 つの原因で発生します。

1. 時間の経過（パーへの収束）。これはもちろん完全に予測可能なので、リスクではありません。
2. 利回りの変化。これは、ベンチマーク利回りの変化、および/または利回りスプレッドの変化が原因である可能性があります。

利回りと価格の関係は逆相関であり、修正デュレーションは利回りに対する価格感応度の非常に有用な尺度となります。1 次導関数として線形近似を提供します。利回りが大きく変化する場合は、コンベクシティを追加して 2 次または 2 次近似を提供できます。あるいは、多くの場合より有用な方法として、コンベクシティを使用して、利回りの変化に応じて修正デュレーションがどのように変化するかを測定することができます。オプション市場で使用される同様のリスク尺度 (1 次および 2 次) は、デルタと ガンマです。

金利感応度の尺度としての修正デュレーションと DV01 は、オプションなどの変動するキャッシュフローや偶発的なキャッシュフローを伴う金融商品や証券に適用できるため、有用です。

プット可能債券やコール可能債券など、オプションが組み込まれた債券の場合、修正デュレーションでは満期利回りの変化に対する価格変動を正確に近似することができません。 ^[27]

プット オプションが組み込まれた債券について考えてみましょう。たとえば、債券の満期前にいつでも額面で償還できる 1,000 ドルの債券 (つまり、アメリカン プット オプション) があるとします。金利がどれだけ高くなっても、債券の価格は 1,000 ドルを下回ることはありません (カウンターパーティ リスクを無視した場合)。この債券の金利変動に対する価格感応性は、キャッシュ フローが同一であるプット オプションのない債券とは異なります。

このような債券の価格を設定するには、オプション価格設定を使用して債券の価値を決定し、そのデルタ（したがってラムダ）を計算します。デルタはデュレーションです。実効デュレーションは後者の離散近似値であり、オプション価格設定モデルが必要になります。

${\displaystyle {\text{Effective duration}}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\Delta y}}}$

ここで、 Δ  y は利回りの変化量であり、 および はそれぞれ利回りがy低下した場合、またはy上昇した場合に債券が取る値です。 （「平行シフト」 。この値は Δ yに使用される値によって変わる可能性があることに注意してください 。） ${\displaystyle V_{-\Delta y}}$${\displaystyle V_{+\Delta y}}$

これらの値は通常、単一の満期利回りではなく、利回り曲線全体を対象に構築されたツリーベースのモデルを使用して計算され、オプションの有効期間の各時点での権利行使行動を時間と金利の両方の関数として捉えます。 「ラティス モデル (金融) § 金利デリバティブ」を参照してください。

スプレッドデュレーションは、オプション調整スプレッド(OAS)の変化に対する債券市場価格の感応度です。したがって、インデックス、つまり基礎となる利回り曲線は変化しません。インデックス (1 か月または 3 か月 LIBOR など) をベンチマークとして定期的にリセットされる変動金利資産の実効デュレーションはほぼゼロですが、スプレッドデュレーションは、それ以外は同一の固定金利債券と同等です。^{[引用が必要]}

債券投資信託などの債券ポートフォリオの金利変動に対する感度も重要になる場合があります。ポートフォリオ内の債券の平均デュレーションは、しばしば報告されます。ポートフォリオのデュレーションは、ポートフォリオ内のすべてのキャッシュフローの加重平均満期に相当します。各債券の満期までの利回りが同じであれば、これはポートフォリオの債券のデュレーションの加重平均に相当し、加重は債券価格に比例します。^[1]それ以外の場合、債券のデュレーションの加重平均は単なる近似値ですが、それでもポートフォリオの価値が金利の変動に応じてどのように変化するかを推測するために使用できます。^[28]

デュレーションは、金利の変化に応じて債券価格がどのように変化するかを示す線形の尺度です。金利が変化しても、価格は線形に変化するのではなく、金利の凸関数になります。コンベクシティは、金利の変化に応じて債券価格がどのように変化するかの曲率の尺度です。具体的には、デュレーションは、問題の金利に関する債券価格関数の 1 次導関数として、コンベクシティは 2 次導関数として定式化できます。^{[引用が必要]}

コンベクシティは、将来のキャッシュフローの広がりについての考えも与えます。(デュレーションが割引平均期間を与えるのと同様に、コンベクシティは、たとえばリターンの割引標準偏差を計算するために使用できます。)

コンベクシティはプラスにもマイナスにもなり得ることに注意してください。プラスのコンベクシティを持つ債券にはコール機能がありません。つまり、発行者は満期時に債券を償還する必要があります。つまり、金利が下がると、債券の期間と価格の両方が上昇することになります。

一方、コール機能付き債券、つまり発行者が債券を早期償還できる債券は、金利がオプション行使価格に近づくにつれて負のコンベクシティを持つとみなされます。つまり、金利が下がるにつれてデュレーションが短くなり、したがって価格の上昇速度が遅くなります。これは、発行者が古い債券を高いクーポンで償還し、新しい債券をより低い金利で再発行できるため、発行者に貴重なオプションが提供されるためです。上記と同様に、これらのケースでは、 実効コンベクシティを計算する方が正確である可能性があります。

米国式の 15 年または 30 年の固定金利住宅ローンを担保とする住宅ローン担保証券 (パススルー住宅ローン元本前払い) は、コール可能債券の例です。

「シャーマン比率」は債券の期間当たりの利回りで、ダブルライン・キャピタルの最高投資責任者ジェフリー・シャーマンにちなんで名付けられました。^[29]これは「債券市場で最も恐ろしい指標」と呼ばれており、2020年12月31日にはブルームバーグ・バークレイズ米国社債指数で史上最低の0.1968を記録しました。^[30] この比率は、単に提供される利回り（パーセント）を債券の期間（年）で割ったものです。^[31]

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• Fabozzi, Frank J. (1999)、「デュレーションとコンベクシティの基礎」、デュレーション、コンベクシティ、その他の債券リスク測定、Frank J. Fabozzi シリーズ、第 58 巻、John Wiley and Sons、ISBN 9781883249632
• Mayle, Jan (1994)、「標準証券計算方法：分析尺度のための固定利付証券計算式」、第2巻（第1版）、証券業界および金融市場協会、ISBN 1-882936-01-9米国証券に適用される条約の標準リファレンス。

• ロハス・アルズ、ホルヘ、ロカ、フロレンシア（2018年12月）、リスク管理とデリバティブの説明、Amazon Kindle Direct Publishing、pp. 43–44、ISBN 9781791814342

• 期間の複数の定義とその起源に関する優れた説明については、リスク百科事典を参照してください。
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