債券コンベクシティ

金融において、債券コンベクシティは債券価格と金利の変動との非線形関係の尺度であり、金利に対する債券価格の2次導関数として定義されます（デュレーションは1次導関数です）。一般に、デュレーションが長いほど、債券価格は金利の変動に敏感になります。債券コンベクシティは、金融において最も基本的で広く使用されているコンベクシティの1つです。コンベクシティはホンフェイ・ライの研究に基づいており、スタンレー・ディラーによって普及されました。^[1]

デュレーションは、債券価格が金利の変化に応じてどのように変化するかを示す線形尺度または1次導関数です。金利が変化しても、価格は線形に変化することはなく、金利の曲線関数に沿って変化します。債券の価格関数が曲線であるほど、金利感応度の尺度としてのデュレーションは不正確になります。^[2]

コンベクシティは、債券価格が金利に応じてどのように変化するか、つまり金利の変化に応じて債券のデュレーションがどのように変化するかを示す曲率または2次導関数の尺度です。^[3]具体的には、金利は債券の存続期間中一定であり、金利の変化は均等に発生すると仮定します。これらの仮定を使用すると、デュレーションは、問題の金利に関する債券の価格関数の1次導関数として定式化できます。次に、コンベクシティは、金利に関する価格関数の2次導関数になります。^[2]

コンベクシティは債券価値と金利の関係が線形であるとは仮定しません。^[4]実際の市場では、金利が一定で変動するという仮定は正しくなく、債券価格を実際に決定するにはより複雑なモデルが必要です。しかし、これらの単純化された仮定により、金利変動に対する債券価格の感度を表す要素を迅速かつ簡単に計算できます。^[5]

金利の期間構造の平行変化に対する価格感応度は、ゼロクーポン債で最も高く、アモチージング債（支払いが前倒しされる債券）で最も低くなります。^[6]アモチージング債とゼロクーポン債は同じ満期で異なる感応度を持ちますが、最終満期が異なり、債券のデュレーションが同じであれば、感応度は同じになります。^[7]つまり、これらの債券の価格は、小さな一次（平行）利回り曲線シフトによって等しく影響を受けます。ただし、支払い日と金額が異なるため、さらなる段階的な平行金利シフトごとに、異なる量で変化し始めます。^[8]

額面価格、クーポン、満期日が同じ2つの債券の場合、価格利回り曲線上のどの点に位置するかによってコンベクシティが異なる場合があります。^[9]

変動金利をr、債券価格をBとすると、コンベクシティ Cは次のように定義される^[10]。

${\displaystyle C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.}$

C を表現する別の方法は、修正された期間Dを使用することです。

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}B(r)=-DB.}$

したがって、

${\displaystyle CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B),}$

出発

${\displaystyle C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}.}$

ここで、Dは修正された期間である

修正期間の標準的な定義に戻る：^[11]

${\displaystyle D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}}$

ここで、P ( i )はクーポンiの現在価値、t ( i )は将来の支払日です。

金利が上昇すると、より長期の支払いの現在価値は、より早いクーポンに比べて低下します（早期支払いと後期支払いの間の割引係数により）。 ^[12]しかし、債券価格も金利が上昇すると下落しますが、各クーポンの合計にタイミングを掛けた現在価値（合計の分子）の変化は、債券価格（合計の分母）の変化よりも大きくなります。したがって、rの増加はデュレーションを短縮する必要があります（または、ゼロクーポン債の場合は、修正されていないデュレーションを一定のままにします）。^{[13] [14]}修正デュレーションDは、（上に示した） 1 / 1 + rの係数だけ通常のデュレーションと異なり、 rが増加すると係数も減少することに注意してください。

${\displaystyle {\frac {dD}{dr}}\leq 0}$

上記のコンベクシティとデュレーションの関係を考慮すると、従来の債券のコンベクシティは常に正でなければならない。^[15]

コンベクシティの正値は、基本的な金利証券についても解析的に証明できる。例えば、利回り曲線が平坦であると仮定すると、利付債券の価値は と表すことができる。ここで、C _{i は}時点t _iに支払われる利子を表す。すると、次のことが簡単にわかる。 ${\displaystyle B(r)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0}$

逆に、 を微分すると持続時間の導関数が負になることに注意してください。 ${\displaystyle dB/dr=-DB}$

1. コンベクシティはリスク管理の数値であり、デリバティブのリスク管理における「ガンマ」と同様に使用されます。債券ポートフォリオがさらされる市場リスクを管理するために使用される数値です。トレーディングブックのコンベクシティとデュレーションの組み合わせが高い場合、リスクも高くなります。 ^[16]しかし、コンベクシティとデュレーションの組み合わせが低い場合、ブックはヘッジされており、かなり大きな金利変動が発生しても損失はほとんどありません。（利回り曲線の平行）^[17]
2. 金利の変化による債券価格の変動の2次近似では、コンベックス性が使用されます。

${\displaystyle \Delta B=B\left[{\frac {C}{2}}(\Delta r)^{2}-D\Delta r\right].}$

オプションが組み込まれた債券の場合、最終利回りに基づくコンベクシティ（およびデュレーション）の計算では、利回り曲線の変化がオプション行使によるキャッシュフローをどのように変えるかが考慮されません。これに対処するには、実効コンベクシティを数値的に計算する必要があります。^{[18]実効コンベクシティは、債券価値の}2次導関数を金利の関数として離散的に近似したものです。 ^[18]

${\displaystyle {\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}}$

ここで 、 はオプション価格設定モデル を使用して計算された債券の価値、は利回りの変化量、 は それぞれ利回りが 低下するか 上昇した 場合に債券が取る値です(平行シフト)。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

これらの値は通常、利回り曲線全体 を対象に構築されたツリーベースのモデルを使用して求められ、オプションの有効期間の各時点での権利行使行動を時間と金利の両方の関数として捉えます。^{[19] [20]}ラティスモデル（金融）§ 金利デリバティブを参照してください 。

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• フランク・ファボッツィ著『固定利付証券ハンドブック』第7版、ニューヨーク：マグロウヒル、2005年。
• Fabozzi, Frank J. (1999)。「デュレーションとコンベクシティの基礎」。デュレーション、コンベクシティ、その他の債券リスク測定。Frank J. Fabozzi シリーズ。第 58 巻。John Wiley and Sons。ISBN 9781883249632。
• Mayle, Jan (1994)、「標準証券計算方法：分析尺度のための固定利付証券計算式」、第2巻（第1版）、証券業界および金融市場協会、ISBN 1-882936-01-9米国証券に適用される条約の標準リファレンス。

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