粘度

材料科学および工学では、材料の変形に関わる力や応力を理解することに関心が寄せられることが多い。例えば、材料が単純なバネであれば、答えはフックの法則によって与えられる。フックの法則とは、バネにかかる力は平衡位置からの変位距離に比例するという法則である。材料が静止状態から変形することによって生じる応力は、弾性応力と呼ばれる。他の材料では、時間経過に伴う変形速度によって生じる応力が存在する。これらは粘性応力と呼ばれる。例えば、水のような流体では、流体のせん断によって生じる応力は、流体がせん断された距離には依存せず、せん断がどれだけ速く起こるかに依存する。

粘度とは、材料中の粘性応力と変形速度（ひずみ速度）の関係を表す物性値です。一般的な流れに適用されますが、平面クエット流のような単純なせん断流では、粘度を視覚的に理解し、定義することが容易です。

クエット流では、流体は2枚の無限に大きな板の間に閉じ込められ、一方の板は固定され、もう一方の板は一定速度で平行に運動している。${\displaystyle u}$（右の図を参照）。上部プレートの速度が十分に低い場合（乱流を避けるため）、定常状態では流体粒子はプレートに平行に移動し、その速度は${\displaystyle 0}$一番下まで${\displaystyle u}$上部では。^{[ 8 ]}流体の各層は、そのすぐ下の層よりも速く動き、それらの間の摩擦によって、相対運動に抵抗する力が生じます。特に、流体は上部のプレートにその運動方向とは逆の方向の力を加え、下部のプレートにはそれと等しく逆方向の力を加えます。したがって、上部のプレートを一定速度で動かし続けるためには、外部の力が必要です。

多くの流体では、流速は底部でゼロから始まり、${\displaystyle u}$上部で。さらに、力の大きさは、${\displaystyle F}$上部プレートに作用する力は速度に比例することがわかった。${\displaystyle u}$そしてその地域${\displaystyle A}$各プレートの間隔に反比例し、${\displaystyle y}$:

${\displaystyle F=\mu A{\frac {u}{y}}.}$

比例定数は流体の動粘度であり、しばしば単に粘度と呼ばれる。ギリシャ文字のμで表される。動粘度の次元は次のようになる。${\displaystyle \mathrm {(質量/長さ)/時間} }$したがって、SI単位と誘導単位は次のようになる。

${\displaystyle [\mu ]={\frac {\rm {kg}}{\rm {m{\cdot }s}}}={\frac {\rm {N}}{\rm {m^{2}}}}{\cdot }{\rm {s}}={\rm {Pa{\cdot }s}}=}$圧力×時間${\displaystyle =}$単位体積あたりのエネルギーに時間を掛けたもの。

前述の比率${\displaystyle u/y}$はせん断変形率またはせん断速度と呼ばれ、プレートの法線ベクトルに平行な方向の流体速度の微分です（右の図を参照）。速度がに線形に変化しない場合${\displaystyle y}$すると、適切な一般化は次のようになる。

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

どこ${\displaystyle \tau =F/A}$、 そして${\displaystyle \partial u/\partial y}$は局所せん断速度です。この式はニュートンの粘性法則と呼ばれます。平面対称のせん断流では、これが を定義します。${\displaystyle \mu }$これは、座標に依存しない形式で表現できる一般的な粘度の定義（下記参照）の特殊なケースです。

ギリシャ文字ミューの使用（${\displaystyle \mu }$動粘度（絶対粘度とも呼ばれる）を表すギリシャ文字イータ（η）は、機械工学や化学工学のエンジニアだけでなく、数学者や物理学者の間でも一般的である。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}しかし、ギリシャ文字イータ（η）は${\displaystyle \eta }$）は化学者、物理学者、およびIUPACによっても使用されています。^{[ 12 ]}粘度${\displaystyle \mu }$はせん断粘度とも呼ばれることがある。しかし、少なくとも一人の著者はこの用語の使用を推奨しておらず、${\displaystyle \mu }$せん断流に加えて非せん断流にも現れることがある。^{[ 13 ]}

流体力学においては、動粘性（運動量拡散率とも呼ばれる）を用いて扱う方が適切な場合がある。動粘性は、流体の密度（ ρ ）に対する動粘性（ μ ）の比として定義される。通常、ギリシャ文字のニュー（ν）で表される。

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }},}$

寸法は${\displaystyle \mathrm {(長さ)^{2}/時間} }$したがって、SI単位と誘導単位は次のようになる。

${\displaystyle [\nu ]=\mathrm {\frac {m^{2}}{s}} =\mathrm {{\frac {N{\cdot }m}{kg}}{\cdot }s} =\mathrm {{\frac {J}{kg}}{\cdot }s} =}$比エネルギーに時間を掛けたもの${\displaystyle =}$単位質量あたりのエネルギーに時間を掛けたもの。

ごく一般的に言えば、流体中の粘性応力は、異なる流体粒子の相対速度によって生じるものとして定義されます。したがって、粘性応力は流速の空間勾配に依存しなければなりません。速度勾配が小さい場合、第一近似として、粘性応力は速度の一次導関数のみに依存します。^{[ 14 ]}（ニュートン流体の場合、これは線形依存性でもあります。）デカルト座標では、一般的な関係は次のように記述できます。

${\displaystyle \tau _{ij}=\sum _{k}\sum _{\ell }\mu _{ijk\ell }{\frac {\partial v_{k}}{\partial r_{\ell }}},}$

どこ${\displaystyle \mu _{ijk\ell }}$は速度勾配テンソルをマッピングする粘性テンソルです。$\displaystyle \partial v_{k}/\partial r_{\ell }}$粘性応力テンソルに$\displaystyle \tau _{ij}}$[ ^{15 ]}この式の添え字は1から3まで変化するので、81個の「粘性係数」が存在する^。${\displaystyle \mu _{ijkl}}$合計で。ただし、粘性ランク2テンソルが等方性であると仮定すると、これらの81個の係数は3つの独立したパラメータに減少します。${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle \mu _{ijk\ell }=\alpha \delta _{ij}\delta _{k\ell }+\beta \delta _{ik}\delta _{j\ell }+\gamma \delta _{i\ell }\delta _{jk},}$

さらに、流体が単純な剛体回転をしているときには粘性力は発生しないと仮定されるため、${\displaystyle \beta =\gamma }$独立パラメータは2つだけになる。^{[ 14 ]}最も一般的な分解は、標準（スカラー）粘度によるものである。${\displaystyle \mu }$バルク粘度${\displaystyle \kappa }$そのため${\displaystyle \alpha =\kappa -{\tfrac {2}{3}}\mu }$そして${\displaystyle \beta =\gamma =\mu }$ベクトル表記では、これは次のように表されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{\mathrm {T} }\right]-\left({\frac {2}{3}}\mu -\kappa \right)(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {\delta } 、}$

どこ${\displaystyle \mathbf {\デルタ } }$は単位テンソルです。^{[ 13 ] [ 16 ]}この方程式は、ニュートンの粘性法則の一般化された形式と考えることができます。

体積粘度（体積粘度とも呼ばれる）は、流体の無せん断圧縮または膨張に抵抗する一種の内部摩擦を表します。${\displaystyle \kappa }$流体力学の問題では、 は必ずしも必要ではありません。たとえば、非圧縮性流体は を満たします。${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$そのため、用語には${\displaystyle \kappa }$脱落する。さらに、${\displaystyle \kappa }$は、気体の場合、無視できるとよく考えられている。${\displaystyle 0}$単原子理想気体では。^{[ 13 ]}${\displaystyle \kappa }$重要なことの一つは、音波や衝撃波におけるエネルギー損失の計算であり、これはストークスの音波減衰法則によって説明される。なぜなら、これらの現象は急速な膨張と圧縮を伴うからである。

粘度を定義する方程式は自然の基本法則ではないため、その有用性、および粘度を測定または計算する方法は、別の手段を用いて確立する必要があります。潜在的な問題は、粘度が原理的に流体の完全な微視的状態に依存し、システム内のすべての粒子の位置と運動量を含むことです。^{[ 17 ]}このような非常に詳細な情報は、通常、現実的なシステムでは利用できません。しかし、特定の条件下では、この情報のほとんどは無視できることが示されています。特に、平衡に近い境界から遠いニュートン流体（バルク状態）の場合、粘度は局所平衡を定義する空間および時間依存の巨視的場（温度や密度など）のみに依存します。^{[ 17 ] [ 18 ]}

それにもかかわらず、粘度は温度、圧力、外部強制力の振幅と周波数など、いくつかのシステム特性に無視できないほど依存する可能性があります。したがって、粘度の精密測定は、特定の流体状態に関してのみ定義されます。^{[ 19 ]}実験と理論モデル間の比較を標準化するために、粘度データは、ゼロせん断限界や（気体の場合）ゼロ密度限界などの理想的な極限ケースに外挿されることがあります。

気体とは対照的に、液体の粘度の分子的な起源については、単純かつ正確な説明は存在しない。

最も単純なレベルでは、液体中の隣接する層の相対運動は、主に層境界を横切って作用する分子間の引力によって妨げられます。この考え方では、粘度は温度の上昇とともに低下すると予想されます（これは正しい）。これは、温度の上昇によって分子のランダムな熱運動が増加し、分子が引力相互作用を克服しやすくなるためです。^{[ 44 ]}

この視覚化に基づいて、固体の離散構造に類似した単純な理論を構築できます。液体中の分子群は、単一の分子を取り囲む「ケージ」を形成していると視覚化されます。^{[ 45 ]}これらのケージは占有されている場合と占有されていない場合があり、分子間の引力が強いほどケージは強くなります。ランダムな熱運動により、分子は分子間の引力の強さに反比例する速度でケージ間を「飛び跳ねる」。平衡状態では、これらの「飛び跳ねる」方向は偏っていません。一方、隣接する2つの層が互いに相対的に移動するためには、「飛び跳ねる」方向が相対運動の方向に偏っている必要があります。この方向性のある運動を維持するために必要な力は、与えられたせん断速度に対して推定でき、

どこ${\displaystyle N_{\text{A}}}$アボガドロ定数は、${\displaystyle h}$プランク定数は、${\displaystyle V}$は液体1モルの体積であり、${\displaystyle T_{\text{b}}}$は標準沸点である。この結果は、よく知られた経験的関係式と同じ形式である。

どこ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$定数はデータから適合されます。^{[ 45 ] [ 46 ]}一方、このモデルに関して注意を促している著者も複数います。式( 1 )を使用すると、実験データに式( 2 )を適合させた場合と比較して、30%もの誤差が生じる可能性があります。 ^{[ 45 ]}さらに根本的な問題として、式( 1 )の根底にある物理的仮定が批判されています。^{[ 47 ]}また、式( 1 )の指数関数的依存性は、より単純な非指数関数的表現よりも実験的観測をより正確に記述するとは限らないとも主張されています。^{[ 48 ] [ 49 ]}

これらの欠点を踏まえると、よりアドホックでないモデルの開発は実用的な関心事である。単純さを犠牲にして精度を優先すれば、分子の基本的な運動方程式から出発して、粘度の厳密な式を記述することが可能である。このアプローチの古典的な例は、アービング・カークウッド理論である。^{[ 50 ]}一方、このような式は多粒子相関関数の平均として与えられるため、実際に適用することは難しい。

一般的に、経験的に導出された式（既存の粘度測定に基づく）は、液体の粘度を計算する唯一の一貫して信頼できる手段であるように思われる。^{[ 51 ]}

過冷却液体が平衡融点以下に冷却されたときに観察される局所的な原子構造の変化は、動径分布関数g ( r ) ^{[ 52 ]}または構造因子S ( Q ) ^{[ 53 ]}の観点から、液体の脆弱性に直接関係していることがわかっています。すなわち、粘性流動の活性化エネルギーの変更により、過冷却液体の粘度の温度依存性がアレニウス式 (2) から逸脱します。同時に、平衡液体はアレニウス式に従います。

高温および低温の極限では、非晶質材料（例えばガラスや溶融物）の粘性流動^{[ 65 ] [ 66 ] [ 67 ]}はアレニウスの形をとる。

${\displaystyle \mu =Ae^{Q/(RT)},}$

ここで、Qは分子パラメータで表される関連活性化エネルギー、 Tは温度、Rはモル気体定数、Aはほぼ定数です。活性化エネルギーQ は、高温極限と低温極限のどちらを考慮するかによって異なる値をとります。低温 (ガラス状態) では高い値Q _{Hとなり、高温 (液体状態) では低い値}Q _Lとなります。

中間温度の場合、${\displaystyle Q}$温度によって非自明に変化するため、単純なアレニウス式では対応できない。一方、2つの指数関数式は

${\displaystyle \mu =AT\exp \left({\frac {B}{RT}}\right)\left[1+C\exp \left({\frac {D}{RT}}\right)\right],}$

どこ${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$はすべて定数であり、全温度範囲にわたって実験データによく適合し、同時に低温および高温の極限では正しいアレニウス形式に収束します。この式は、Duouglas-Doremus- Ojovanモデルとしても知られており、^{[ 68 ]}原子レベルでのアモルファス材料のさまざまな理論モデルから動機付けられています。^{[ 66 ]}

過冷却液体の Dyre 押し込みモデルでは、粘度の 2 つの指数関数式を導出できます。ここで、Arrhenius エネルギー障壁は、高周波せん断弾性率と特徴的な押し込み体積の積と同一視されます。^{[ 69 ] [ 70 ]}熱膨張と分子間ポテンシャルの反発部分によるせん断弾性率の温度依存性を指定すると、別の 2 つの指数関数式が得られます。^{[ 71 ]}

${\displaystyle \mu =\exp {\left\{{\frac {V_{c}C_{G}}{k_{B}T}}\exp {\left[(2+\lambda )\alpha _{T}T_{g}\left(1-{\frac {T}{T_{g}}}\right)\right]}\right\}}}$

どこ${\displaystyle C_{G}}$は、ガラス転移温度に等しい温度で評価された材料の高周波せん断弾性率を表す。${\displaystyle T_{g}}$、${\displaystyle V_{c}}$は、いわゆる押し出し体積、すなわち、原子/分子が最近接原子の檻から脱出する押し出し事象に関与する原子群の特性体積であり、典型的には少数の原子が占める体積のオーダーである。さらに、${\displaystyle \alpha _{T}}$は材料の熱膨張係数です。${\displaystyle \lambda }$は、動径分布関数の最初のピークの上昇側のべき乗則の傾きを測定するパラメータであり、原子間ポテンシャルの反発部分と定量的に関連しています。^{[ 71 ]}最後に、${\displaystyle k_{B}}$はボルツマン定数を表す。

流体の乱流の研究では、一般的な実際的な戦略として、運動中の小規模な渦（または渦流）を無視し、より小規模な流れにおけるエネルギーの輸送と散逸を特徴付ける「渦粘性」と呼ばれる有効粘性を用いて大規模な運動を計算することが挙げられます（大規模渦シミュレーションを参照）。^{[ 72 ] [ 73 ]}熱力学第二法則により正でなければならない流体自体の粘性とは対照的に、渦粘性は負になることがあります。^{[ 74 ] [ 75 ]}

動粘度${\displaystyle \mu }$水の粘度は 室温（25℃）で約0.89 mPa・sです。ケルビン単位 の温度の関数として、粘度は半経験的なVogel-Fulcher-Tammann式を使用して推定できます。 $${\displaystyle \mu =Ae^{\frac {B}{T-C}}}$$ ここで、A = 0.02939  mPa·s、B = 507.88  K、C = 149.3  Kです。 ^{[ 89 ]}実験的に決定された粘度の値も下の表に示されています。20  °C での値は有用な参考値です。そこでは、動粘度は約 1  cP、運動粘度は約 1  cSt です。

標準大気条件（25  °C、圧力 1  bar）では、空気の動粘度は 18.5  μPa·sであり、同じ温度での水の粘度の約 50 分の 1 です。非常に高い圧力を除いて、空気の粘度は主に温度に依存します。温度依存性に関する多くの可能な近似式（粘度の温度依存性を参照）のうちの 1 つは次のとおりです。^{[ 90 ]}

${\displaystyle \eta _{\text{air}}=2.791\times 10^{-7}\times T^{0.7355}}$

 これは-20 ℃から400  ℃の範囲で正確です。この式が有効であるためには、温度はケルビンで与えられなければなりません。${\displaystyle \eta _{\text{air}}}$これは、Pa・s単位の粘度に対応します。

以下の表は、一般的な物質で観測される粘度値の範囲を示しています。特に断りのない限り、温度は25  ℃、圧力は1気圧とします。

記載されている値はあくまでも代表的な推定値であり、測定の不確実性、材料定義のばらつき、または非ニュートン挙動は考慮されていません。