位置（ジオメトリ）

幾何学において、位置ベクトルまたは位置ベクトルは、位置ベクトルまたは半径ベクトルとも呼ばれ、空間内の点Pを表すユークリッドベクトルです。その長さは任意の基準原点Oに対する距離を表し、方向は指定された基準軸に対する角度方向を表します。通常、x、r、またはsで表され、 OからPへの直線セグメントに対応します。言い換えると、原点をPにマッピングする変位または変換です。^[1]

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.}$

位置ベクトルという用語は、主に微分幾何学、力学、時にはベクトル解析の分野で使用されます。これは2次元または3次元空間でよく使用されますが、任意の次元のユークリッド空間とアフィン空間に簡単に一般化できます。^[2]

点Pに対する点Qの相対位置は、2 つの絶対位置ベクトル (それぞれ原点を基準とする) の減算から得られるユークリッド ベクトルです。

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},}$

ここで、 2点間の相対方向は、単位ベクトルとして正規化された相対位置である。${\displaystyle \mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}}$

3 次元では、任意の 3 次元座標のセットとそれに対応する基底ベクトルを使用して、空間内の点の位置を定義できます。手元のタスクに対して最も単純なものを使用できます。

一般的には、よく知られている直交座標系が使用されますが、球面極座標や円筒座標が使用されることもあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x }+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){ \big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\ファイ(t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

ここで、t はパラメータであり、直交対称性または円形対称性によるものです。これらの異なる座標と対応する基底ベクトルは、同じ位置ベクトルを表します。より一般的な曲線座標を代わりに使用することもできます。これは、連続体力学や一般相対性理論などのコンテキストで使用されます(後者の場合は、追加の時間座標が必要です)。

線形代数はn次元の位置ベクトルの抽象化を可能にする。位置ベクトルは基底ベクトルの線形結合として表現できる: ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_ {2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

すべての位置ベクトルの集合は位置空間（位置ベクトルを要素とするベクトル空間）を形成します。位置を追加（ベクトル加算）し、長さをスケーリング（スカラー乗算）して、空間内に別の位置ベクトルを取得できるためです。「空間」の概念は直感的で、各x _i（i = 1、2、…、n）は任意の値を持つことができ、値の集合が空間内の点を定義します。

位置空間の次元は n です（dim ( R ) = n とも表記されます）。基底ベクトルe _iに対するベクトルrの座標はx _iです。座標のベクトルは、座標ベクトルまたはn組（x ₁、x ₂、…、x _n ）を形成します。

各座標x _{i は、}いくつかのパラメータ tでパラメータ化できます。1 つのパラメータx _i ( t ) は、湾曲した 1D パスを記述し、2 つのパラメータx _i ( t ₁、t ₂ ) は、湾曲した 2D 表面を記述し、3 つのパラメータx _i ( t ₁、t ₂、t ₃ ) は、湾曲した 3D 空間ボリュームを記述します。

基底関数系B = { e ₁ , e ₂ , …, e _n } の線形スパンは位置空間Rに等しく、 span( B ) = Rと表記されます。

位置ベクトル場は連続的かつ微分可能な空間曲線を記述するために使用されます。この場合、独立パラメータは時間である必要はなく、例えば曲線の弧の長さなどになります。

どのような運動方程式でも、位置ベクトルr ( t ) は通常、最も求められる量です。この関数は粒子 (つまり質点) の運動、つまりある時刻tにおける特定の座標系に対する位置を定義するからです。

位置の観点から運動を定義するには、各座標を時間でパラメータ化します。時間の連続する各値は、座標によって指定された連続する空間位置のシーケンスに対応するため、多数の連続する位置の連続限界は、粒子がたどる経路です。

1次元の場合、位置は1つの要素しか持たないため、実質的にはスカラー座標に縮退します。これは、たとえばx方向のベクトル、または半径r方向のベクトルになります。同等の表記法には以下が含まれます 。

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}$

時間tの関数である位置ベクトルrの場合、tに関する時間微分を計算することができます。これらの微分は、運動学、制御理論、工学、およびその他の科学の研究で一般的に使用されます。

速度

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},}$

ここで、d r は無限小の変位（ベクトル）です。

加速度

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf { r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

ジャーク

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf { v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.}$

位置の1次、2次、3次導関数のこれらの名前は、基本的な運動学で一般的に使用されています。^[5]拡張により、高次の導関数も同様の方法で計算できます。これらの高次の導関数を研究することで、元の変位関数の近似値を向上させることができます。このような高次の項は、変位関数を無限シーケンスの合計として正確に表すために必要であり、工学や物理学におけるいくつかの解析手法を可能にします。

• アフィン空間
• 座標系
• 水平位置
• 線要素
• パラメトリックサーフェス
• ポジション固定
• 位置4ベクトル
• 6つの自由度
• 垂直位置

• Keller, FJ, Gettys, WE 他 (1993)。『物理学: 古典と現代』第 2 版。McGraw Hill Publishing。

• ウィキメディア・コモンズの位置（幾何学）に関連するメディア