クヌーセン数はボルツマン方程式に明示的には現れず、分布関数と境界条件によって暗黙的に現れるため、ダミー変数ε {\displaystyle \varepsilon }
∂ f ∂ t + v ⋅ ∂ f ∂ r + F m ⋅ ∂ f ∂ v = 1 ε C ^ f 。 ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\varepsilon }}{\hat {C}}f.}$
小さいε {\displaystyle \varepsilon } C ^ f {\displaystyle {\hat {C}}f} v ⋅ ∂ f ∂ r + F m ⋅ ∂ f ∂ v ${\displaystyle \mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}}$
f = f （ 0 ） + ε f （ 1 ） + ε 2 f （ 2 ） + ⋯ 。 {\displaystyle f=f^{(0)}+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon ^{2}f^{(2)}+\cdots \ .}
このように形式的に展開できる解は、ボルツマン方程式の正規解として知られています。 [ 6 ] 非摂動的な 寄与（例えば、e − 1 / ε {\displaystyle e^{-1/\バレプシロン }} ）は境界層や内部衝撃層 付近に現れる。したがって、チャップマン・エンスコッグ理論は、そのような解が無視できる状況に限定される。
この展開を代入し、次数を等しくすると、ε {\displaystyle \varepsilon }
J （ f （ 0 ） 、 f （ 0 ） ） = 0 2 J （ f （ 0 ） 、 f （ n ） ） = （ ∂ ∂ t + v ⋅ ∂ ∂ r + F m ⋅ ∂ ∂ v ） f （ n − 1 ） − ∑ m = 1 n − 1 J （ f （ m ） 、 f （ n − m ） ） 、 n > 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)})&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{n-1}J(f^{(m)},f^{(nm)}),\qquad n>0,\end{aligned}}}
どこJ {\displaystyle J} J （ f 、 g ） = J （ g 、 f ） {\displaystyle J(f,g)=J(g,f)} J （ f 、 f ） = C ^ f {\displaystyle J(f,f)={\hat {C}}f}
f （ 0 ） = n ′ （ r 、 t ） （ m 2 π k B T ′ （ r 、 t ） ） 3 / 2 exp [ − m | v − v 0 ′ （ r 、 t ） | 2 2 k B T ′ （ r 、 t ） ] 。 {\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left|\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right|^{2}}{2k_{\text{B}}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}
一部の機能についてはn ′ （ r 、 t ） {\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)} v 0 ′ （ r 、 t ） {\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)} T ′ （ r 、 t ） {\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)} f （ 0 ） {\displaystyle f^{(0)}} f （ r 、 v 、 t ） {\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}
n （ r 、 t ） = ∫ f （ r 、 v 、 t ） d v n （ r 、 t ） v 0 （ r 、 t ） = ∫ v f （ r 、 v 、 t ） d v n （ r 、 t ） T （ r 、 t ） = ∫ m 3 k B v 2 f （ r 、 v 、 t ） d v 。 {\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)&=\int \mathbf {v} f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m}{3k_{\text{B}}}}v^{2}f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} .\end{aligned}}}
しかし、純粋に数学的な観点から見ると、2つの関数セットは必ずしも同じではありません。ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} f （ 0 ） {\displaystyle f^{(0)}} f （ n ） {\displaystyle f^{(n)}} r {\displaystyle \mathbf {r} } t {\displaystyle t} 事前には 不明である。チャップマン・エンスコッグ理論の重要な単純化仮定の1つは、これらの本来任意である関数が、正確な流体力学的場とその空間勾配で表せると仮定することである。言い換えれば、空間と時間の依存性は、f {\displaystyle f} f （ 0 ） {\displaystyle f^{(0)}} n ′ （ r 、 t ） {\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)} v 0 ′ （ r 、 t ） {\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)} T ′ （ r 、 t ） {\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}
これらの仮定は物理的には妥当であるが、これらの性質を満たす解が実際に存在するかどうかという疑問が残る。より正確には、これらの性質を満たす解が存在することを示す必要がある。
∫ ∑ n = 1 ∞ ε n f （ n ） d v = 0 = ∫ ∑ n = 1 ∞ ε n f （ n ） v 2 d v ∫ ∑ n = 1 ∞ ε n f （ n ） v 私 d v = 0 、 私 ∈ { x 、 y 、 z } 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\,d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}\,d\mathbf {v} \\[1ex]\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}\,d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}}
さらに、そのような解が存在するとしても、それらがボルツマン方程式の通常の解の完全な集合を網羅しているかどうか、つまり、元の展開の人工的な制限を表していないかどうかという追加の問題が残ります。ε {\displaystyle \varepsilon } [ 6 ]
これらの形式的な考察が確立されたので、計算に進むことができる。f （ 1 ） {\displaystyle f^{(1)}} [ 1 ]
f （ 1 ） = [ − 1 n （ 2 k B T m ） 1 / 2 A （ v ） ⋅ ∇ ln T − 2 n B （ v ） : ∇ v 0 ] f （ 0 ） 、 {\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A} (\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln T-{\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}
どこA （ v ） {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} )} B （ v ） {\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {v} )} は それぞれ、多項式展開によって明示的に解くことができる線形非斉次積分方程式 の解である。ここで、コロンは二重ドット積 を表す。T : T ′ = ∑ 私 、 j T 私 j T j 私 ′ {\textstyle \mathbb {T} \mathbb {T'} =\sum _{i,j}T_{ij}T'_{ji}} T {\displaystyle \mathbb {T} } T ′ {\displaystyle \mathbb {T'} }
予測 クヌーセン数の一次近似では、熱流束は q = m 2 ∫ f （ r 、 v 、 t ） v 2 v d v {\textstyle \mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,v^{2}\mathbf {v} \,d\mathbf {v} } フーリエの熱伝導の法則 に従うことがわかっている。[ 7 ]
q = − λ ∇ T 、 {\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T,}
そして運動量フラックステンソルσ = m ∫ （ v − v 0 ） （ v − v 0 ） T f （ r 、 v 、 t ） d v {\textstyle \mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\mathsf {T}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} } ニュートン流体 のそれである、[ 7 ]
σ = p 私 − μ （ ∇ v 0 + ∇ v 0 T ） + 2 3 μ （ ∇ ⋅ v 0 ） 私 、 {\displaystyle \mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right)+{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,}
と私 {\displaystyle \mathbb {I} } λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } m {\displaystyle m} k B {\displaystyle k_{\text{B}}} [ 8 ]
With these results, it is straightforward to obtain the Navier–Stokes equations. Taking velocity moments of the Boltzmann equation leads to the exact balance equations for the hydrodynamic fields n ( r , t ) {\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)} v 0 ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)} T ( r , t ) {\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}
∂ n ∂ t + ∇ ⋅ ( n v 0 ) = 0 ∂ v 0 ∂ t + v 0 ⋅ ∇ v 0 − F m + 1 n ∇ ⋅ σ = 0 ∂ T ∂ t + v 0 ⋅ ∇ T + 2 3 k B n ( σ : ∇ v 0 + ∇ ⋅ q ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{\text{B}}n}}\left(\mathbf {\sigma :} \nabla \mathbf {v} _{0}+\nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}}
As in the previous section the colon denotes the double dot product , T : T ′ = ∑ i , j T i j T j i ′ {\textstyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i,j}T_{ij}T'_{ji}} q {\displaystyle \mathbf {q} } σ {\displaystyle \sigma }
Comparison with experiment An important prediction of Chapman–Enskog theory is that viscosity, μ {\displaystyle \mu } James Clerk Maxwell , who inferred it in 1860 on the basis of more elementary kinetic arguments.[ 11]
On the other hand, the theory predicts that μ {\displaystyle \mu } μ ∝ T 1 / 2 {\displaystyle \mu \propto T^{1/2}} ∝ r − ν {\displaystyle \propto r^{-\nu }} μ ∝ T s {\displaystyle \mu \propto T^{s}} s = 1 / 2 + 2 / ( ν − 1 ) {\displaystyle s=1/2+2/(\nu -1)} s = 0.668 {\displaystyle s=0.668} ν ≈ 12.9 {\displaystyle \nu \approx 12.9} [ 13] Lennard-Jones model , which does incorporate attractions, can be brought into closer agreement with experiment (albeit at the cost of a more opaque T {\displaystyle T} [ 14 ] Lennard-Jones モデル を使用して得られたものよりも実験データとの一致が良くなるため、より柔軟なMie ポテンシャル が使用されています。[ 15 ]
チャップマン・エンスコッグ理論は、熱伝導率と熱伝導率の間に単純な関係があることも予測している。λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } λ = f μ c v {\displaystyle \lambda =f\mu c_{v}} c v {\displaystyle c_{v}} 比熱 であり、f {\displaystyle f} 2.5 {\displaystyle 2.5} f ≈ 2.522 {\displaystyle f\approx 2.522} ∝ r − 13 {\displaystyle \propto r^{-13}} f ≈ 2.511 {\displaystyle f\approx 2.511} マックスウェル分子 の特殊な場合（反発力）∝ r − 5 {\displaystyle \propto r^{-5}} f = 2.5 {\displaystyle f=2.5} [ 16 ] λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } c v {\displaystyle c_{v}} f {\displaystyle f} 希ガス の場合。表2は、理論と実験の間に妥当な一致があることを示している。[ 12 ]
拡張機能 チャップマン・エンスコッグ理論の基本原理は、気体混合物や内部自由度を持つ分子など、より多様な物理モデルに拡張できます。高密度領域では、この理論は、平均自由行程 （衝突間） ではなく、衝突中の 分子直径を横切る運動量とエネルギーの衝突輸送を考慮するように適応できます。このメカニズムを含めると、十分高い密度で粘度の密度依存性が予測され、これは実験的にも観測されています。ソフト分子（レナード・ジョーンズ分子 やミー 分子など）の衝突中の輸送を考慮するために使用される補正を取得することは一般に容易ではありませんが、バーカー・ヘンダーソン摂動理論を適用して、さまざまな流体混合物の 臨界密度 までのこれらの効果を正確に記述することに成功しています。[ 15 ]
クヌーセン数に関して、この理論を高次の項まで展開することもできる。特に、2次項の寄与はf （ 2 ） {\displaystyle f^{(2)}} [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]
改訂版エンスコッグ理論 多成分混合物に対するチャップマン・エンスコッグ理論を高密度、特に混合物の共体積 が無視できない密度に拡張する研究は、EGD Cohenらによる一連の研究 [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] で行われ、改訂エンスコッグ理論（RET）と名付けられました。RETの導出に成功したのは、以前にも同様の試みが何度かありましたが、それらの結果は不可逆熱力学 と矛盾することが示されていました。RETの開発の出発点は、ボルツマン方程式の修正形です。s {\displaystyle s}
（ ∂ ∂ t + v 私 ⋅ ∂ ∂ r + F 私 m 私 ⋅ ∂ ∂ v 私 ） f 私 = ∑ j S 私 j （ f 私 、 f j ） {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} _{i}}}\right)f_{i}=\sum _{j}S_{ij}(f_{i},f_{j})}
どこv 私 （ r 、 t ） {\displaystyle \mathbf {v} _{i}(\mathbf {r} ,t)} 私 {\displaystyle i} r {\displaystyle \mathbf {r} } t {\displaystyle t} m 私 {\displaystyle m_{i}} F 私 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
S 私 j （ f 私 、 f j ） = ∭ [ g 私 j （ σ 私 j k ） f 私 ′ （ r ） f j ′ （ r + σ 私 j k ） − g 私 j （ − σ 私 j k ） f 私 （ r ） f j （ r − σ 私 j k ） ] d τ {\displaystyle S_{ij}(f_{i},f_{j})=\iiint \left[g_{ij}(\sigma _{ij}\mathbf {k} )\,f_{i}'(\mathbf {r} )\,f_{j}'(\mathbf {r} +\sigma _{ij}\mathbf {k} )-g_{ij}(-\sigma _{ij}\mathbf {k} )\,f_{i}(\mathbf {r} )\,f_{j}(\mathbf {r} -\sigma _{ij}\mathbf {k} )\right]d\tau }
この方程式と古典的なチャップマン・エンスコッグ理論との違いは、ストリーミング演算子にある。S 私 j {\displaystyle S_{ij}} σ 私 j k {\displaystyle \sigma _{ij}\mathbf {k} } k {\displaystyle \mathbf {k} } は、2 つの粒子の重心を結ぶ線に沿った単位ベクトル です。もう 1 つの重要な違いは、次の要素の導入によるものです。g 私 j {\displaystyle g_{ij}} σ 私 j = 0 {\displaystyle \sigma _{ij}=0} g 私 j （ σ 私 j k ） = 1 {\displaystyle g_{ij}(\sigma _{ij}\mathbf {k} )=1}
RETの成功にとって重要なポイントは、要素の選択である。g 私 j {\displaystyle g_{ij}} ペア分布関数 として解釈される。σ 私 j {\displaystyle \sigma _{ij}} ここで注目すべき重要な要素は、不可逆熱力学 と一致する結果を得るためには、g 私 j {\displaystyle g_{ij}}
改訂版エンスコッグ理論による結果 RETから得られる結果の中で、古典的なチャップマン・エンスコッグ理論の結果と異なる最初の結果の一つは、状態方程式である。古典的なチャップマン・エンスコッグ理論では 理想気体の法則 が再現されるのに対し、剛体弾性球用に開発されたRETでは圧力方程式が得られる。
p n k T = 1 + 2 π n 3 ∑ 私 ∑ j x 私 x j σ 私 j 3 g 私 j 、 {\displaystyle {\frac {p}{nkT}}=1+{\frac {2\pi n}{3}}\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}g_{ij},}
これはカーナハン・スターリング状態方程式 と一致し、無限希釈の極限（つまり、n ∑ 私 、 j x 私 x j σ 私 j 3 〜 1 {\textstyle n\sum _{i,j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}\ll 1}
輸送係数 （粘度 、熱伝導率 、拡散係数 、熱拡散係数 ）については、RETは無限希釈の極限において古典的なチャップマン・エンスコッグ理論から得られる式に正確に帰着する式を提供する。ただし、RETは熱伝導率 の密度依存性を予測しており、それは次のように表すことができる。
λ = （ 1 + n α λ ） λ 0 + n 2 T 1 / 2 λ σ {\displaystyle \lambda =(1+n\alpha _{\lambda })\lambda _{0}+n^{2}T^{1/2}\lambda _{\sigma }}
どこα λ {\displaystyle \alpha _{\lambda }} λ σ {\displaystyle \lambda _{\sigma }} λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}}
同様に、粘度について得られた式は次のように書くことができる。
μ = （ 1 + n T α μ ） μ 0 + n 2 T 1 / 2 μ σ {\displaystyle \mu =(1+nT\alpha _{\mu })\mu _{0}+n^{2}T^{1/2}\mu _{\sigma }}
とα μ {\displaystyle \alpha _{\mu }} μ σ {\displaystyle \mu _{\sigma }} μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
拡散係数 と熱拡散係数 については、状況はやや複雑です。しかし、古典的なチャップマン・エンスコッグ理論に対するRETの主な利点の1つは、拡散係数の熱力学的因子、すなわち組成に関する化学ポテンシャル の導関数への依存性が予測されることです。さらに、RETは、
D ～ 1 n 、 D T ～ 1 n {\displaystyle D\sim {\frac {1}{n}},\quad D_{T}\sim {\frac {1}{n}}}
すべての密度に対して、係数は高密度では密度とともにゆっくりと減少すると予測され、これは実験結果とよく一致しています。これらの修正された密度依存性により、RET はソレー係数 の密度依存性も予測します。
S T = D T D 、 （ ∂ S T ∂ n ） T ≠ 0 、 {\displaystyle S_{T}={\frac {D_{T}}{D}},\quad \left({\frac {\partial S_{T}}{\partial n}}\right)_{T}\neq 0,}
古典的なチャップマン・エンスコッグ理論では、ソレー係数は粘度や熱伝導率と同様に密度に依存しないと予測されている。
アプリケーション 改訂版エンスコッグ理論は、古典的なチャップマン・エンスコッグ理論に比べて多くの利点がある一方で、実用化が著しく困難になるという欠点がある。古典的なチャップマン・エンスコッグ理論は、必要な衝突積分を評価するための十分正確かつ高速な積分ルーチンがあれば、任意の複雑な球状ポテンシャルに適用できるが、 改訂版エンスコッグ理論では、これに加えて、対分布関数の接触値に関する知識が必要となる。
硬球 の混合物の場合、この値は大きな困難なく計算できますが、より複雑な分子間ポテンシャルの場合、一般的に取得するのは容易ではありません。しかし、ミー流体（一般化された レナード・ジョーンズポテンシャル を介して相互作用する粒子から構成される）のペア分布関数の接触値を推定し、これらの推定値を使用して高密度ガス混合物および超臨界流体の輸送特性を予測することにはある程度の成功が収められています。[ 15 ]
RETを現実的なポテンシャルを介して相互作用する粒子に適用すると、軟質粒子の適切な「接触直径」 を決定するという問題にも直面する。硬質球については接触直径は明確に定義されているが、軟質粒子の接触直径として用いるべき値については、いまだに一般的に合意された値がない。
注記 1 2 チャップマン、シドニー; カウリング、TG (1970)、不均一気体の数学理論 （第3 版）、ケンブリッジ大学出版局 ↑ バレスク、ラドゥ (1975)、 平衡および非平衡統計力学 、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 ISBN 978-0-471-04600-4 ↑ セルチニャーニ、カルロ (1975)、 『ボルツマン方程式の理論と応用』 、エルゼビア、 78–79 ページ 、 ISBN 978-0-444-19450-3 ↑ バレスク、450ページ ↑ バレスク、451ページ 1 2 グラッド、ハロルド （1958）、「気体運動論の原理」、フリュッゲ、S.（編）、 『物理学百科事典』 第XII巻、シュプリンガー・フェルラーク、 205～ 294 頁 1 2 Bird, R. Bryon; Armstrong, Robert C.; Hassager, Ole (1987), Dynamics of Polymeric Liquids, Volume 1: Fluid Mechanics (2nd ed.), John Wiley & Sons, pp . 10–11 ↑ チャップマン＆カウリング、第10章 ↑ チャップマン＆カウリング、172ページ ↑ チャップマン＆カウリング、185ページ ↑ マクスウェル、ジェームズ (1860)、「V. 気体の動力学理論の図解 ― 第 I. 完全弾性球の運動と衝突について」、 Philosophical Magazine 、 19 (124): 19–32 、 doi : 10.1080/14786446008642818 1 2 チャップマン＆カウリング p.249 ↑ チャップマン＆カウリング、230～232ページ ↑ チャップマン＆カウリング、235～237ページ 1 2 3 Jervell, Vegard G.; Wilhelmsen, Øivind (2023-06-08). "ミー流体に対する改訂版Enskog理論：拡散係数、熱拡散係数、粘度、および熱伝導率の予測" . The Journal of Chemical Physics . 158 (22). doi : 10.1063/5.0149865 . ISSN 0021-9606 . ↑ チャップマン＆カウリング、247ページ ↑ Burnett, D. (1936), "不均一気体における分子速度の分布と平均運動", Proceedings of the London Mathematical Society , 40 : 382, doi : 10.1112/plms/s2-40.1.382 ↑ Santos, Andres; Brey, J. Javier; Dufty, James W. (1986), "Divergence of the Chapman–Enskog Expansion", Physical Review Letters , 56 (15): 1571– 1574, Bibcode : 1986PhRvL..56.1571S , doi : 10.1103/PhysRevLett.56.1571 , PMID 10032711 ↑ グラッド、ハロルド (1963)、「ボルツマン方程式の漸近理論」、 流体物理学 、 6 (2): 147、 Bibcode : 1963PhFl....6..147G 、 doi : 10.1063/1.1706716 ↑ García-Cólin, LS; Velasco, RM; Uribe, FJ (2008), "Beyond the Navier–Stokes equations: Burnett hydrodynamics", Physics Reports , 465 (4): 149– 189, Bibcode : 2008PhR...465..149G , doi : 10.1016/j.physrep.2008.04.010 ↑ López de Haro, M.; Cohen, EGD; Kincaid, JM (1983-03-01). "多成分混合物のEnskog理論。I. 線形輸送理論" . The Journal of Chemical Physics . 78 (5): 2746– 2759. doi : 10.1063/1.444985 . ISSN 0021-9606 . ↑ Kincaid, JM; López de Haro, M.; Cohen, EGD (1983-11-01). "多成分混合物のEnskog理論。II. 相互拡散" . The Journal of Chemical Physics . 79 (9): 4509– 4521. doi : 10.1063/1.446388 . ISSN 0021-9606 . ↑ López de Haro, M.; Cohen, EGD (1984-01-01). "多成分混合物のエンスコッグ理論。III. トレーサー成分を1つ含む高密度二成分混合物の輸送特性" . The Journal of Chemical Physics . 80 (1): 408– 415. doi : 10.1063/1.446463 . ISSN 0021-9606 . ↑ Kincaid, JM; Cohen, EGD; López de Haro, M. (1987-01-15). "多成分混合物のEnskog理論。IV. 熱拡散" . The Journal of Chemical Physics . 86 (2): 963– 975. doi : 10.1063/1.452243 . ISSN 0021-9606 . ↑ Van Beijeren, H.; Ernst, MH (1973 年 3 月). "非線形 Enskog-Boltzmann 方程式" . Physics Letters A . 43 (4): 367– 368. doi : 10.1016/0375-9601(73)90346-0 .
参考文献 このテーマに関する古典的な専門書：
チャップマン、シドニー；カウリング、TG（1970）、『不均一気体の数学理論』 （第3 版）、ケンブリッジ大学出版局 ボルツマン方程式の正規解に関する技術的な入門書です。
グラッド、ハロルド （1958）「気体運動論の原理」、フリュッゲ、S.（編）『物理学百科事典』 第XII巻、シュプリンガー・フェルラーク、 205～ 294 ページ 
![{\displaystyle f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m{\left|\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}{2k_{\text{B}}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad378a0874cf60e7d61bd7917bdcf22caa6c8b4a)
![{\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left|\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right|^{2}}{2k_{\text{B}}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85981d8a28abb420817cdb6ee62706068fdaff3e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\,d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}\,d\mathbf {v} \\[1ex]\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}\,d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cb98c5510cbf74fda82e2b700bdf02db93cace)
![{\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A} (\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln T-{\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ca2bfb333b7f72967b4143d4dee2e5244ab4)
![{\displaystyle S_{ij}(f_{i},f_{j})=\iiint \left[g_{ij}(\sigma _{ij}\mathbf {k} )\,f_{i}'(\mathbf {r} )\,f_{j}'(\mathbf {r} +\sigma _{ij}\mathbf {k} )-g_{ij}(-\sigma _{ij}\mathbf {k} )\,f_{i}(\mathbf {r} )\,f_{j}(\mathbf {r} -\sigma _{ij}\mathbf {k} )\right]d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585fbf47713e1c91e3256b2a88bf4c641f5c530f)
