平均自由行程

物理学において、平均自由行程とは、運動する粒子（原子、分子、光子など）が、他の粒子との1回以上の連続した衝突の結果として、方向やエネルギー（あるいは特定の文脈ではその他の特性）を大きく変化させるまでに進む平均距離のことである。

粒子ビームが標的を通過する様子を想像し、標的の極めて薄いスラブを考えます（図を参照）。^{[ 1 ]} ビーム粒子を止める可能性のある原子（または粒子）は赤色で示されています。平均自由行程の大きさは、システムの特性に依存します。標的のすべての粒子が静止しており、ビーム粒子だけが動いていると仮定すると、平均自由行程は次の式で表されます。

$${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$$

ここで、 ℓは平均自由行程、nは単位体積あたりの標的粒子の数、σは標的粒子あたりの衝突有効断面積である。

スラブの面積はL ²であり、体積はL ² dxです。スラブ内の停止原子の典型的な数は、濃度nに体積を掛けた値、すなわちn L ² dxです。ビーム粒子がそのスラブ内で停止する確率は、停止原子の正味面積をスラブの総面積で割った値です。

$${\displaystyle {\mathcal {P}}({\text{dx以内で停止する})={\frac {{\text{原子面積}}}{{\text{スラブ面積}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$$

ここでσは1つの原子の断面積（より厳密には「散乱断面積」）である。

ビーム強度の低下は、入射ビーム強度に粒子がスラブ内で停止する確率を乗じた値に等しい。

$${\displaystyle dI=-ln\sigma \,dx.}$$

これは常微分方程式です。

$${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},}$$

その解はビア・ランバートの法則として知られており、次の形式をとる。${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$ここで、xはビームがターゲットを通過する距離、I ₀はビームがターゲットに入る前の強度です。ℓは、ビーム粒子が停止するまでに移動する平均距離に等しいため、平均自由行程と呼ばれます。これを確認するには、粒子がxとx + dxの間で吸収される確率が次式で与えられることに注意してください。

$${\displaystyle d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$$

したがって、xの期待値（または平均、あるいは単に平均値）は

$${\displaystyle \langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$$

スラブによって阻止（減衰）されない粒子の割合を透過率と呼ぶ。${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$ここで、xはスラブの厚さに等しい。

気体分子運動論において、分子などの粒子の平均自由行程は、粒子が他の運動粒子との衝突の間に移動する平均距離である。上記の導出では、対象粒子が静止していると仮定した。したがって、実際には、この式は${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$高速ビーム粒子の場合に成り立つ${\displaystyle v}$ランダムな位置にある同一粒子群の速度に対する相対速度。この場合、ターゲット粒子の運動は比較的無視できるため、相対速度は${\displaystyle v_{\text{rel}}\approx v}$。

一方、ビーム粒子が同一粒子との確立された平衡状態にある場合、相対速度の二乗は次のようになる。

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} _{\text{relative}}^{2}\right\rangle =\left\langle \left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)^{2}\right\rangle =\left\langle \mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}\right\rangle .}$$

平衡状態では、${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ランダムで無相関であるため、${\displaystyle \langle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}\rangle =0}$相対速度は

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\sqrt {\langle \mathbf {v} _{\text{relative}}^{2}\rangle }}={\sqrt {\langle \mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}\rangle }}={\sqrt {2}}v.}$$

これは衝突の回数が${\displaystyle {\sqrt {2}}}$静止目標の数を掛け合わせます。したがって、次の関係が適用されます。^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \ell =\left({\sqrt {2}}\,n\sigma \right)^{-1},}$$

そして使用する${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$（理想気体の法則）${\displaystyle \sigma =\pi d^{2}}$（直径の球形粒子の有効断面積）${\displaystyle d}$）平均自由行程は^{[ 3 ]であることが示される。}

$${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$$

どこ${\displaystyle k_{\text{B}}}$はボルツマン定数です。${\displaystyle p}$ガスの圧力と${\displaystyle T}$は絶対温度です。

実際には、気体分子の直径は明確に定義されていません。実際には、分子の運動直径は平均自由行程によって定義されます。一般的に、気体分子は硬い球のように振る舞うのではなく、レナード・ジョーンズポテンシャルで記述されるように、遠距離では互いに引き合い、近距離では互いに反発します。このような「柔らかい」分子を扱う一つの方法は、レナード・ジョーンズσパラメータを直径として使用することです。

別の方法として、検討対象の実際の気体と同じ粘度を持つ硬球気体を仮定する方法があります。これにより平均自由行程が得られます^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$$

どこ${\displaystyle m}$分子量は、${\displaystyle \rho =mp/(k_{\text{B}}T)}$は理想気体の密度、μは動粘度である。この式は、以下の便利な形式に書き換えることができる。

$${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{\text{specific}}T}{2}}},}$$

と${\displaystyle R_{\text{specific}}=k_{\text{B}}/m}$は比気体定数であり、空気の場合は 287 J/(kg・K) に等しい。粘度μは低く、(25 °C、1 bar) で 18.5 μPa・s であり、圧力 p に依存する。

以下の表は、室温における様々な圧力下での空気の代表的な値を示しています。分子直径の定義の違い、大気圧（100 kPa 対 101.3 kPa）および室温（293.15 K 対 296.15 K（20～23 °C）、あるいは 300 K）の値に関する仮定の違いによって、平均自由行程の値がわずかに異なる場合があることに注意してください。

• 散乱理論
• 弾道伝導– 電荷キャリアの散乱が無視できるほど少ない移動 
• 真空
• クヌーセン数– 粒子の平均自由行程に関連する無次元数 
• 光学

• Gas Dynamics Toolbox web.ics.purdue.edu VHSモデルを使用して混合ガスの平均自由行程を計算します