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圧縮性流れ（または気体力学）は、流体密度が大きく変化する流れを扱う流体力学の一分野です。すべての流れは圧縮性ですが、マッハ数（流れの速度と音速の比）が 0.3 より小さい場合、流れは通常非圧縮性として扱われます（この場合、速度による密度の変化は約 5% であるため）。 [ 1 ]圧縮性流れの研究は、高速航空機、ジェットエンジン、ロケットモーター、惑星大気への高速突入、ガスパイプライン、研磨ブラストなどの商業用途、その他多くの分野に関連しています。
気体力学の研究は、現代の高速航空機の飛行や宇宙探査機の大気圏再突入と関連付けられることが多いが、その起源はより単純な機械にある。19 世紀初頭、発射された弾丸の挙動の研究により、銃や大砲の精度と性能が向上した。[ 2 ]世紀が進むにつれて、ギュスターフ・ド・ラヴァルなどの発明家がこの分野を発展させ、エルンスト・マッハなどの研究者は実験を通して関連する物理現象を理解しようとした。
20世紀初頭、気体力学の研究の焦点は、後に航空宇宙産業となる分野へと移った。ルートヴィヒ・プラントルとその弟子たちは、境界層から超音速衝撃波、超音速風洞、超音速ノズル設計に至るまで、重要な概念を提唱した。[ 2 ]プラントルの弟子であるテオドール・フォン・カルマンは、超音速流の理解を深め続けた。その他の著名な人物（マイヤー、ルイージ・クロッコ、アッシャー・シャピロ）も、現代の気体力学の研究の基礎となる原理に大きく貢献した。この分野には他にも多くの人々が貢献している。
20世紀初頭に気体力学の概念的理解が深まるにつれ、航空機の到達可能な速度には「音速の壁」と呼ばれる障壁が存在するという誤った認識が広まった。実際には、超音速飛行の障壁は技術的なものに過ぎなかったが、克服するのは容易ではなかった。他の要因の中でも、従来の翼型では流れが音速に近づくと抗力係数が劇的に増加した。当時の設計では、この大きな抗力を克服することが困難であったため、音速の壁という認識が生まれた。しかし、航空機の設計はベルX-1を生み出すのに十分なほど進歩した。チャック・イェーガーが操縦するX-1は、1947年10月に公式に超音速を達成した。 [ 3 ]
歴史的に、気体力学の知識を深めるために、2つの並行した研究経路が辿られてきました。実験的気体力学では、風洞模型実験や衝撃波管、弾道実験を行い、光学技術を用いて結果を記録します。理論的気体力学では、密度が変化する気体に適用される運動方程式とその解を考察します。基本的な気体力学の多くは解析的ですが、現代では計算流体力学が計算能力を駆使して、特定の形状や流れ特性における圧縮性流体の非線形偏微分方程式を解きます。
圧縮性流体の理論には、いくつかの重要な仮定が含まれています。すべての流体は分子で構成されていますが、流れの中で膨大な数の個々の分子を追跡すること（例えば大気圧下）は不要です。代わりに、連続体仮定により、低密度領域を除いて、流れる気体を連続体として扱うことができます。この仮定は、ほとんどの気体力学の問題に対して正確な、大きな簡略化をもたらします。個々の分子の運動が重要になるのは、希薄気体力学の低密度領域においてのみです。
関連する仮定として、滑りなし条件がある。これは、固体表面における流速が表面自体の速度に等しいと仮定するもので、連続体流を仮定することから直接導かれる結果である。滑りなし条件は、流れが粘性であることを意味し、その結果、低速流の場合と同様に、高速で空気中を移動する物体上に境界層が形成される。
非圧縮性流体の問題のほとんどは、圧力と速度という 2 つの未知数のみを含み、これらは通常、流体密度が一定であると仮定して、質量保存則と線運動量保存則を表す 2 つの方程式を解くことによって求められます。しかし、圧縮性流体では、気体の密度と温度も変数になります。そのため、圧縮性流体の問題を解くには、気体の状態方程式とエネルギー保存方程式という 2 つの方程式がさらに必要になります。ほとんどの気体動力学の問題では、単純な理想気体の法則が適切な状態方程式です。そうでない場合は、より複雑な状態方程式を考慮する必要があり、いわゆる非理想圧縮性流体動力学(NICFD) が確立されます。
流体力学の問題には、ラグランジュ座標系とオイラー座標系という2種類の基準座標系があります（ジョセフ＝ルイ・ラグランジュとレオンハルト・オイラーを参照）。ラグランジュ座標系では、流体が流れ場を移動する際に、一定の質量を持つ流体を追跡します。一方、オイラー座標系は流体とともに移動しません。むしろ、流体が流れる固定された座標系、つまり制御体積です。オイラー座標系は、ほとんどの圧縮性流体問題で最も有用ですが、運動方程式を互換性のある形式で記述する必要があります。
最後に、空間は3次元であることが知られていますが、空間次元のうち1つだけが主要な要素である場合、気体力学を数学的に記述する際に重要な簡略化が可能となり、1次元流れを仮定することができます。これは、流れの特性が流れ方向に沿って変化し、流れに垂直な方向には変化しないダクト、ノズル、ディフューザーの流れではうまく機能します。しかし、高速で移動する物体上の外部流れなど、重要な種類の圧縮性流れでは、少なくとも2次元での取り扱いが必要です。3つの空間次元すべて、場合によっては時間次元も重要な場合、支配方程式のコンピュータによる解法に頼ることがよくあります。
マッハ数（M）は、物体（または流れ）の速度と音速の比として定義されます。例えば、室温の空気中では、音速は約343 m/s（1,130 ft/s）です。Mは0から∞までの範囲をとりますが、この広い範囲はいくつかの流れの領域に自然に分けられます。これらの領域は、亜音速、遷音速、超音速、極超音速、および超高速流です。下の図は、これらの流れの領域のマッハ数の「スペクトル」を示しています。
これらの流れの領域は恣意的に選ばれるのではなく、圧縮性流れの根底にある強力な数学的背景から自然に生じるものです（引用されている参考書を参照）。非常に遅い流れ速度では、音速ははるかに速いため数学的に無視され、マッハ数は関係ありません。しかし、流れの速度が音速に近づくと、マッハ数が非常に重要になり、衝撃波が現れ始めます。したがって、遷音速領域は、異なる（そしてはるかに複雑な）数学的処理によって記述されます。超音速領域では、流れはマッハ角に似た斜めの角度での波動運動によって支配されます。マッハ約5を超えると、これらの波の角度は非常に小さくなるため、異なる数学的アプローチが必要となり、極超音速領域が定義されます。最後に、惑星の大気圏への突入速度に匹敵する数km/sの範囲の速度では、音速は相対的に非常に遅くなるため、極超音速領域では再び数学的に無視されます。
物体が気体中で亜音速から超音速へと加速するにつれて、さまざまな種類の波動現象が発生します。これらの変化を説明するために、次の図は対称的な音波を発する静止点（M = 0）を示しています。均一な流体では音速はすべての方向で同じなので、これらの波は単純に同心円状の球です。音を発する点が加速し始めると、音波は運動方向に「密集」し、反対方向に「伸び」ます。点が音速（M = 1）に達すると、点が生成する音波と同じ速度で移動します。したがって、これらの音波は無限に点の前方に「積み重なり」、衝撃波を形成します。超音速流に達すると、粒子は非常に速く移動するため、音波を継続的に後方に残します。このとき、点の後方にあるこれらの波の軌跡は、マッハ波角またはマッハ角μと呼ばれる角度を形成します。
どこは気体中の音速を表し、は物体の速度を表します。オーストリアの物理学者エルンスト・マッハにちなんで名付けられましたが、これらの斜め波は最初にクリスティアン・ドップラーによって発見されました。[ 4 ]
一次元（1D）流れとは、ダクトまたはチャネルを通過するガスの流れを指し、流れのパラメータは、ダクトの長さという1つの空間次元に沿ってのみ大きく変化すると仮定されます。1Dチャネル流れを解析する際には、いくつかの仮定がなされます。
流れの速度が亜音速から超音速領域へと加速するにつれて、ノズルおよびディフューザーの流れの物理特性が変化する。流体力学および熱力学の保存則を用いて、チャネル流れについて以下の関係式が導出される（質量保存と運動量保存の組み合わせ）。
ここで、dP は圧力の差、M はマッハ数、ρ はガスの密度、V は流速、A はダクトの面積、dA はダクトの面積の変化です。この式は、亜音速流の場合、収束ダクト (dA < 0) は流速を増加させ、発散ダクト (dA > 0) は流速を減少させることを示しています。超音速流の場合、(1 − M 2 ) の符号が変わるため、逆の現象が発生します。収束ダクト (dA < 0) は流速を減少させ、発散ダクト (dA > 0) は流速を増加させます。マッハ = 1 では、ダクト面積が最大または最小のいずれかでなければならない特殊なケースが発生します。実際には、最小面積のみが流れをマッハ 1 以上に加速できます。亜超音速ディフューザーとノズルの表を参照してください。
したがって、流れをマッハ 1 まで加速するには、ノズルを最小断面積まで収束させてから拡大するように設計する必要があります。このタイプのノズル、すなわち収束・発散ノズルは、発明者であるグスタフ・ド・ラバルにちなんでド・ラバル ノズルと呼ばれています。亜音速の流れが収束ダクトに入り、断面積が減少すると、流れは加速します。ダクトの最小断面積、つまりノズルのスロートに達すると、流れはマッハ 1 に達することができます。流れの速度がさらに増加するためには、質量保存の法則に従うために密度を減少させる必要があります。この密度の減少を実現するには、流れを拡張させる必要があり、そのためには、流れは発散ダクトを通過する必要があります。ド・ラバル ノズルの画像を参照してください。
最終的に、エネルギー保存の法則により、気体の最大速度は、そのエネルギー含有量に基づいて一定の値に制限されます。気体が到達できる最大速度Vmaxは次のとおりです。
ここで、c pは気体の比熱、T tは流れのよどみ温度である。
保存則と熱力学を用いると、次のような関係が多数得られる。
は、Mをマッハ数、γを比熱比（空気の場合は1.4）とした場合、得られる値である。等エントロピー流のマッハ数関係の表を参照のこと。
前述のとおり、流れが超音速になるには、最小断面積、すなわち音速スロートを持つダクトを通過する必要があります。さらに、マッハ1に達するには、全体の圧力比 P b /P tが約2である必要があります。マッハ1に達すると、スロートにおける流れはチョーク状態にあると言われます。下流の変化は音速でしか上流に伝わらないため、流れがチョーク状態になった後は、ノズルを通過する質量流量は下流の状態変化の影響を受けません。
通常の衝撃波とは、局所的な流れの方向に垂直な衝撃波のことです。これらの衝撃波は、圧力波が蓄積して合体し、運動エネルギーを熱エネルギーに変換する極めて薄い衝撃波となるときに発生します。このようにして波は互いに追い越し、強め合い、無限に連なる微小な音波から有限の衝撃波を形成します。衝撃波を横切る状態変化は非常に不可逆的であるため、衝撃波を横切るエントロピーは増加します。通常の衝撃波を解析する際には、理想気体の一次元定常断熱流を仮定します。よどみ温度とよどみエンタルピーは、衝撃波の上流と下流で同じです。
通常の衝撃波は、定常衝撃波と移動衝撃波という2つの基準系で容易に解析できる。通常の衝撃波の前の流れは超音速でなければならず、通常の衝撃波の後の流れは亜音速でなければならない。流れの条件を求めるには、ランキン・ユゴニオ方程式が用いられる。
一次元流れは直接解析できますが、二次元流れの特殊なケースにすぎません。したがって、一次元流れの特徴的な現象の一つである垂直衝撃波も、より大きなクラスの斜め衝撃波の特殊なケースにすぎません。さらに、「垂直」という名称は、発生頻度ではなく形状に関するものです。斜め衝撃波は、航空機の吸気口設計、超音速飛行物体、そして（より基本的なレベルでは）超音速ノズルやディフューザーなどの用途でより一般的です。流れの状態によっては、斜め衝撃波は流れに付着するか、バウショックの形で流れから分離します。
斜め衝撃波は通常の衝撃波と似ていますが、流れの方向に対して90°未満の角度で発生します。流れに非ゼロの角度（δ）で擾乱が加わると、流れは変化する境界条件に対応しなければなりません。その結果、斜め衝撃波が形成され、流れの方向が変化します。
流れの偏向度（δ）に基づいて、斜め衝撃波は強い衝撃波と弱い衝撃波に分類されます。強い衝撃波は、より大きな偏向と衝撃波全体にわたるより大きなエントロピー損失によって特徴付けられ、弱い衝撃波はその逆です。これらの衝撃波の違いを概略的に理解するために、衝撃波極線図を使用できます。衝撃波後の静的温度T*がわかっている場合、衝撃波後の音速は次のように定義されます。
ここで、Rは気体定数、γは比熱比である。マッハ数はデカルト座標に分解できる。
V xと V yは流体速度 V の x 成分と y 成分です。衝撃波前のマッハ数が与えられれば、条件の軌跡を指定できます。あるδ maxで、流れは強い斜め衝撃波から弱い斜め衝撃波に遷移します。δ = 0° の場合、強い斜め衝撃波の限界で通常の衝撃波が生成され、弱い衝撃波の限界でマッハ波が生成されます。
衝撃波の傾斜により、斜め衝撃波が発生した後、それは境界と3つの異なる方法で相互作用する可能性があり、そのうちの2つを以下に説明します。
流入する流れはまず、流れに対して角度δだけ方向転換される。この衝撃波は固体境界で反射され、流れは-δだけ方向転換されて再び境界と平行になる。進行する衝撃波はそれぞれ弱くなり、波の角度は大きくなる。
不規則反射は、上記のケースとよく似ているが、δが最大許容回転角よりも大きいという点が異なる。そのため、分離衝撃波が形成され、マッハ反射と呼ばれるより複雑な反射が発生する。
プラントル・マイヤーファンは、圧縮ファンと膨張ファンの両方として表現できます。また、プラントル・マイヤーファンは境界層（流動層と固体層）を通過する際にも、異なる変化を示します。衝撃波が固体表面に当たると、結果として生じるファンは反対の種類のファンとして戻り、自由境界に当たると反対の種類のファンとして戻ります。
これまで議論されてきた流れ現象は、流れを減速させエントロピーを増加させる衝撃波のみである。ルートヴィヒ・プラントルとテオドール・マイヤーにちなんでプラントル・マイヤー膨張ファンと呼ばれるものを用いることで、超音速流を加速させることが可能である。膨張のメカニズムは下図に示すとおりである。
流れが傾斜した障害物に遭遇して斜め衝撃波を形成するのとは対照的に、流れは凸角の周りで膨張し、一連の等エントロピーマッハ波によって膨張ファンを形成します。膨張「ファン」は、初期マッハ角から最終マッハ角まで広がるマッハ波で構成されます。流れは、鋭角でも丸みを帯びた角でも同様に膨張できます。これは、マッハ数の増加が通路の凸角（δ）のみに比例するためです。プラントル・マイヤーファンを生成する膨張角は、鋭角（図に示すように）でも丸みを帯びていても構いません。全旋回角が同じであれば、PM流れの解も同じになります。
プラントル・マイヤー膨張は、ラバルノズルの動作を物理的に説明するものと見なすことができる。ノズルの形状によって、滑らかで連続的な一連のプラントル・マイヤー膨張波が生成される。
プラントル・マイヤー圧縮は、プラントル・マイヤー膨張とは正反対の現象です。流れが徐々に角度δだけ変化すると、圧縮ファンが形成されます。このファンは、最終的に斜め衝撃波に合体する一連のマッハ波です。流れは等エントロピー領域（ファンを通過する流れ）と非等エントロピー領域（斜め衝撃波を通過する流れ）によって定義されるため、2つの流れ領域の間に滑り線が生じます。
超音速風洞は、マッハ数約1.2～5の範囲における超音速流の試験および研究に使用されます。風洞の動作原理は、上流側と下流側で大きな圧力差を維持し、流れを駆動することです。
風洞は、連続運転型と断続運転型の2種類に分けられます。連続運転型の超音速風洞は、独立した電源を必要とし、その電力は試験部のサイズに応じて大幅に増加します。一方、断続運転型の超音速風洞は、長期間にわたって電気エネルギーを蓄積し、一連の短い試験でそのエネルギーを放電するため、コストは低くなります。この2つの違いは、電池とコンデンサーの比較に似ています。
ブローダウン式超音速風洞は、高いレイノルズ数、小型の貯蔵タンク、そして容易に入手できる乾燥空気といった利点を持つ。しかしながら、高圧の危険性があり、一定の全圧を維持するのが難しく、運転中は騒音が発生する。
内向流式超音速風洞は、圧力による危険性がなく、一定の全圧を維持でき、比較的静音性に優れています。しかしながら、流れのレイノルズ数の範囲が限られており、大型の真空タンクが必要となります。
超音速風洞を用いた研究や試験によって知識が得られることは疑いの余地がありません。しかし、試験条件に必要な高い圧力比を維持するためには、これらの施設は膨大な電力を必要とすることがよくあります。例えば、アーノルド工学開発複合施設には世界最大の超音速風洞があり、稼働には小さな都市を照らすのに必要な電力が必要です。こうした理由から、大学における大型風洞の設置は減少傾向にあります。
斜め衝撃波が必要とされる最も一般的なケースは、マッハ2を超える速度で飛行する超音速航空機の吸気口でしょう（F-16は最高速度がマッハ2ですが、斜め衝撃波吸気口は必要ありません）。吸気口の目的の一つは、流入する超音速空気がターボジェットエンジンに入る前に亜音速まで減速する際に、衝撃波による損失を最小限に抑えることです。これは、1つまたは複数の斜め衝撃波の後に非常に弱い通常の衝撃波を配置することで実現され、上流側のマッハ数は通常1.4未満です。吸気口を通る気流は、ゼロから最大超音速までの広い速度範囲にわたって適切に制御する必要があります。これは、吸気面の位置を変化させることで実現されます。
離陸からマッハ2を超える速度まで許容できる性能を達成するには可変形状が必要であるが、それを実現する方法は一つではない。例えば、最高速度がマッハ3程度の場合、XB-70は調整可能な傾斜部を備えた長方形の吸気口を使用し、SR-71は調整可能な吸気口コーンを備えた円形の吸気口を使用した。
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