ひずみ速度テンソル

連続体力学において、ひずみ速度テンソルまたはひずみ速度テンソルは、ある時点におけるある点の近傍の材料のひずみの変化率（相対変形）を表す物理量である。これは、ひずみテンソルの時間に関する微分、または流速のヤコビ行列の対称成分（位置に関する微分）として定義することができる。流体力学では、これは速度勾配として表すこともできる。これは、流体内の異なる点間で流体の速度がどのように変化するかを表す尺度である。 ^{[1]この用語は}速度プロファイル（パイプ内の流れの層間の速度の変化）を指すこともあるが、[ 2 ^]多くの場合、座標に対する流れの速度の勾配を意味するために使用される。^{[3]この概念は、}磁気流体力学、鉱業、水処理など、物理学や工学のさまざまな分野に影響を及ぼしている。 ^{[4] [5] [6]}

ひずみ速度テンソルは、物質のマクロ的な動きを記述する純粋に運動学的な概念です。したがって、ひずみ速度テンソルは、物質の性質や物質に作用する力や応力に依存せず、固体、液体、気体など、あらゆる連続媒体に適用されます。

一方、超流体以外の流体の場合、変形が徐々に変化すると（つまり、ひずみ速度テンソルがゼロでない）、隣接する流体要素間の摩擦により、流体内部に粘性力が生じ、その変化に抵抗する傾向があります。流体内のどの点でも、これらの応力は粘性応力テンソルで記述できます。粘性応力テンソルは、ほとんどの場合、ひずみ速度テンソルとその点の流体の特定の固有特性によって完全に決まります。粘性応力は、静的変形で観察される弾性応力に加えて、固体にも発生します。粘性応力が無視できないほど大きい場合、その材料は粘弾性があると言われます。

次元解析を実行すると、速度勾配の次元を決定できます。速度の次元は、距離の次元は です。速度勾配は と表すことができます。したがって、速度勾配はこの比と同じ次元、つまり を持ちます。 ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}T^{-1}}}}$${\displaystyle {\mathsf {L^{1}}}}$${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{速度}}}{\Delta {\text{距離}}}}}$${\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}}$

3次元では、速度の勾配は2次テンソルで、行列として表現できます。 次のように 対称行列と歪対称行列の和に分解できます。はひずみ速度テンソルと呼ばれ、伸張とせん断の速度を表します。はスピンテンソルと呼ばれ、回転速度を表します。^[7]${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ ${\displaystyle {\textbf {W}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\textbf {E}}}$${\displaystyle {\textbf {W}}}$

アイザック・ニュートン卿は、せん断応力は速度勾配に正比例すると提唱した。 ^[8] $${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

比例定数は動粘度と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu }$

空間内を流動および/または移動している固体または流体の物体を考えます。物体内の速度場をvとします。つまり、 R ³ × Rからの滑らかな関数で、v ( p , t )は、時刻tに点p を通過する物体の巨視的速度です。

pから小さなベクトルrだけずれた点における速度v ( p + r , t )は、テイラー級数として表すことができます。 ここで、∇ v は速度場の勾配であり、変位ベクトルr を対応する速度の変化に 変換する線形マップとして理解されます。$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$$

任意の参照フレームでは、∇ v は場の ヤコビ行列と関連しています。つまり、3次元では3×3行列であり 、v _{i は}軸iに平行なvの成分であり、∂ _j f は空間座標x _jに関する関数fの偏微分を表します。Jはpとtの関数であることに注意してください。 $${\displaystyle \left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$$

この座標系では、 p付近の速度のテイラー近似は、 または単に $${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$$$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$$

vとrを3 × 1 行列として見た 場合。

任意の行列は対称行列と反対称行列の和に分解できます。これを対称成分Eと反対称成分Rを持つヤコビ行列に適用すると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$

この分解は座標系に依存しないため、物理的に意味を持ちます。速度場は 次のように近似できます。 $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$$

反対称項Rは、点pを中心とした流体の剛体回転を表す。その角速度は ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$$${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$$

積∇ × v はベクトル場の渦度と呼ばれます。剛体回転では流体要素の相対位置は変化しないため、速度勾配の反対称項R は変形の変化率には影響しません。したがって、実際のひずみ速度は対称E項、つまりひずみ速度テンソルによって表されます。

対称項E（ひずみ率テンソル）は、さらにスカラーと単位テンソルの積として分解することができ、これは漸進的な等方性膨張または収縮を表す。また、痕跡のない対称テンソルは、体積変化のない漸進的なせん断変形を表す。^[9] $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$$

つまり、 $${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},}$$

ここでδ は単位テンソルであり、δ _{ij は}i = jの場合は 1 、 i ≠ jの場合は 0です。この分解は座標系の選択とは無関係であるため、物理的に重要です。

膨張率テンソルのトレースは速度場の 発散です。 これは、その時点で一定量の流体の体積が増加する速度です。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$$

せん断速度テンソルは対称的な 3 × 3 マトリックスで表され、3 つの直交軸に沿った圧縮フローと膨張フローを組み合わせた、体積の変化がないフローを表します。このタイプの流れは、たとえば、ゴムストリップの端を引っ張って伸ばしたときや、蜂蜜がスプーンから途切れることなく滑らかに落ちるときなどに発生します。

2次元の流れの場合、 vの発散は2つの項のみを持ち、体積ではなく面積の変化を定量化します。膨張率項の係数1/3は、次のように置き換えられます。1/2⁠その場合は。

速度勾配の研究は、経路依存材料の解析や、それに続く応力と歪みの研究（例：金属の塑性変形）に役立ちます。^[3]管から流れる未燃焼反応物の壁近傍の速度勾配は、炎の安定性を特徴付ける重要なパラメータです。^{[5] : 1–3}プラズマの速度勾配は、磁気流体力学の基本方程式の解の条件を定義することができます。^[4]

パイプを流れる流体の速度場を考えてみましょう。パイプと接触している流体の層は、パイプに対して静止している傾向があります。これは、滑りのない状態と呼ばれます。^[10]パイプの中央と側面の流体層間の速度差が十分に小さければ、流体の流れは連続した層の形で観察されます。このタイプの流れは層流と呼ばれます。

隣接する層間の流速差は、速度勾配で測定でき、次のように表されます。 は2 つの層間の流速差、 は層間の 距離です。${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$${\displaystyle \Delta u}$${\displaystyle \Delta y}$

• 応力テンソル（曖昧さ回避）
• 有限ひずみ理論 § 連続体力学からの変形勾配、空間および物質の速度勾配の時間微分