粘塑性

粘塑性は連続体力学の理論であり、固体の速度依存の非弾性挙動を記述します。ここでの速度依存とは、材料の変形が荷重が加えられる速度に依存することを意味します。^[1]粘塑性の対象となる非弾性挙動は塑性変形であり、これは材料が荷重レベルに達すると回復不可能な変形を起こすことを意味します。速度依存の塑性は、過渡塑性計算にとって重要です。速度非依存の塑性材料モデルと粘塑性材料モデルの主な違いは、後者は荷重の適用後に永久変形を示すだけでなく、適用された荷重の影響下で時間の関数としてクリープフローを起こし続けることです。

粘塑性材料の弾性応答は、フックバネ 要素によって 1 次元で表すことができます。速度依存性は、粘弾性と同様に、非線形ダッシュポット要素によって表すことができます。塑性は、図 1 に示すように、滑り摩擦要素を追加することで説明できます^。[2]図では、 は弾性率、は粘度パラメーター、 は非線形ダッシュポット を表すべき乗法則タイプのパラメーターです。滑り要素は、図 1c に示すように、ひずみ速度に依存する、または一定の 降伏応力( )を持つことができます。${\displaystyle E}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle N}$${\displaystyle [\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N} ]}$${\displaystyle \sigma_{y}}$

粘塑性は通常、 Perzyna 型または Duvaut-Lions 型の過応力モデルを使用して 3 次元でモデル化されます。 ^[3]これらのモデルでは、負荷をかけると応力が速度非依存の降伏面を超えて増加し、その後、時間の経過とともに降伏面に戻ります。このようなモデルでは、降伏面は通常、速度非依存であると想定されます。別のアプローチとして、降伏応力にひずみ速度依存性を追加し、速度非依存塑性技術を使用して材料の応答を計算する方法があります。^[4]

金属および合金の場合、粘塑性は、結晶粒内の転位の運動に関連したメカニズムによって引き起こされるマクロ的な挙動であり、結晶間の滑り効果が重なり合っています。このメカニズムは通常、絶対融点の約 3 分の 1 を超える温度で支配的になります。ただし、合金によっては室温 (300 K) でも粘塑性を示します。ポリマー、木材、ビチューメンの場合、弾性または粘弾性の限界を超えた挙動を説明するには、粘塑性理論が必要です。

一般的に、粘塑性理論は次のような分野で役立ちます。

• 永久変形の計算、
• 構造物の塑性崩壊の予測、
• 安定性の調査、
• 衝突シミュレーション、
• 発電所のエンジンのタービンなど高温にさらされるシステム、
• 高いひずみ率にさらされる動的問題およびシステム。

塑性理論の研究は、1864年にアンリ・トレスカ^[5] 、サン・ヴナン(1870)、レヴィ(1871) ^[6]による最大せん断基準^[7]に関する研究から始まりました。 改良された塑性モデルは、現在ではフォン・ミーゼスの降伏基準と呼ばれている、フォン・ミーゼス^[8]によって1913年に発表されました。粘塑性における数学モデルの開発は、1910年にアンドラーデの法則^{[9]によって}一次クリープが表現されたことに遡ります。 1929年にノートン^[10]は、二次クリープの速度と応力を関連付けた1次元ダッシュポットモデルを開発しました。1934年にオドクヴィスト^[11]はノートンの法則を多軸の場合に一般化しました。

塑性流動の降伏面への正規性や塑性流動則などの概念は、プラントル（1924）^{[12] [全文引用が必要]とロイス（1930）[ 13]}によって導入されました。1932年に、ホーネムザーとプラガー^[14]は、低速粘塑性流動の最初のモデルを提案しました。このモデルは、非圧縮ビンガム固体の偏差応力とひずみ速度の関係を示しました^[15]しかし、これらの理論の応用は、極限定理が発見された1950年より前には始まりませんでした。

1960年にホフが主催した最初のIUTAMシンポジウム「構造物のクリープ」^[16]では、ホフ、ラボトノフ、ペルジナ、ハルト、ルメートルによる等方硬化則の研究、およびクラトチヴィル、マリニーニとカジンスキー、ポンターとレッキー、チャボッシュによる移動硬化則の研究により、粘塑性に大きな進展がもたらされました。ペルジナは1963年に、温度と時間に依存する粘性係数を導入しました。^[17]定式化されたモデルは、不可逆過程の熱力学と現象論的立場によってサポートされました。これらの研究で提示されたアイデアは、その後の速度依存塑性に関するほとんどの研究の基礎となっています。

定性分析では、粘塑性材料の現象を記述するためにいくつかの特性試験が行われる。これらの試験の例としては^{[9]がある。}

1. 一定の応力またはひずみ速度での硬化試験、
2. 一定の力でのクリープ試験、および
3. 一定の伸びにおける応力緩和。

降伏の結果として、塑性変形が進むにつれて、さらなるひずみを生成するために応力の増加が必要になる。この現象はひずみ/加工硬化として知られている。^[18] 粘塑性材料の場合、硬化曲線は速度非依存塑性材料のものとそれほど変わらない。しかし、3つの重要な違いが見られる。

1. 同じひずみでも、ひずみ速度が高ければ高いほど、応力も高くなる。
2. 試験中にひずみ速度が変化すると、応力-ひずみ曲線が即座に変化します。
3. 塑性降伏限界の概念はもはや厳密には適用できません。

弾性部分と塑性部分を分離してひずみを分割するという仮説は、ひずみが小さい場合にも適用可能である。^[3]すなわち、

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$$

ここで、は弾性ひずみ、は粘塑性ひずみです。図の青で示される応力-ひずみ挙動を得るために、材料は最初にひずみ速度 0.1/s で負荷されます。次に、ひずみ速度は瞬間的に 100/s まで上昇し、しばらくの間その値で一定に保たれます。その期間の終わりに、ひずみ速度は瞬間的に 0.1/s まで低下し、ひずみの値を増加させながらサイクルが続けられます。ひずみ速度の変化と応力応答の間には明らかに遅れがあります。この遅れは、過応力モデル (Perzyna モデルなど) では正確にモデル化されますが、速度依存の降伏応力を持つ速度非依存塑性モデルでは正確にモデル化されません。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

クリープとは、一定の応力を受けると固体材料がゆっくりと移動したり、永久に変形したりする傾向のことです。クリープ試験では、図 3 に示すように、一定の応力によるひずみ応答を測定します。古典的なクリープ曲線は、一定温度で一軸応力を受ける材料におけるひずみの時間の関数としての変化を表します。たとえば、クリープ試験は、一定の力/応力を適用し、システムのひずみ応答を分析することによって実行されます。一般に、図 3b に示すように、この曲線は通常、3 つのフェーズまたは動作期間を示します。^[9]

1. 一次クリープ段階は、過渡クリープとも呼ばれ、材料の硬化により、最初は非常に高い流量が低下する開始段階です。${\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}$
2. 二次クリープ段階は定常状態とも呼ばれ、ひずみ速度が一定である段階です。${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}$
3. ひずみ速度が破壊ひずみまで増加する三次クリープ段階。${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}$

図4に示すように、緩和試験^[19]は、一定時間にわたる一定のひずみによる応力応答として定義されます。粘塑性材料では、緩和試験は、一定のひずみでの一軸荷重における応力緩和を示します。実際、これらの試験は粘度を特徴付け、応力と粘塑性ひずみ速度の関係を決定するために使用できます。ひずみ速度の分解は、

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{ \mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}$$

ひずみ速度の弾性部分は次のように表される。

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1 }~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$$

ひずみ-時間曲線の平坦な領域では、総ひずみ速度はゼロです。したがって、

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{- 1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$$

したがって、緩和曲線は、1 次元粘塑性材料モデルにおける粘塑性ひずみの速度、ひいてはダッシュポットの粘度を決定するために使用できます。緩和テストの終了時に応力がプラトーに達したときに到達した残余値は、弾性の上限に対応します。岩塩などの一部の材料では、このような弾性の上限は非常に小さな応力値で発生し、緩和テストは、応力のプラトーが観察されることなく 1 年以上継続できます。

リラクゼーションテストは、テスト中の状態を維持するのにかなりの繊細さが求められるため、実行が非常に難しいことに注意することが重要です。 ^[20]${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}$

スプリング-ダッシュポット-スライダー要素に基づく粘塑性の一次元構成モデルには、 ^[3]完全粘塑性固体、弾性完全粘塑性固体、および弾粘塑性硬化固体が含まれます。要素は直列または並列に接続できます。要素が直列に接続されているモデルでは、各要素のひずみは加算されますが、応力は等しくなります。並列接続では、各要素のひずみは等しくなりますが、応力は加算されます。これらの一次元モデルの多くは、小ひずみ領域に対して三次元に一般化できます。以降の説明では、時間速度ひずみと応力はそれぞれ、およびと記述されます。 ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$

完全な粘塑性固体（粘塑性のノートン・ホフモデルとも呼ばれる）では、応力（粘性流体の場合と同様）は永久ひずみの速度の関数である。弾性の影響はモデルでは無視される。つまり、初期降伏応力は存在しない。つまり、粘性ダッシュポットの応答は次式で表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$${\displaystyle \sigma_{y}=0}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}$$

ここで、はダッシュポットの粘性である。ノートン・ホフモデルでは、粘性は加えられた応力の非線形関数であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}}$$

ここで、はフィッティングパラメータ、λは材料の動粘性、です。粘塑性ひずみ速度は、次の関係で与えられます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle ||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}$

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}}$$

1次元形式では、ノートン・ホフモデルは次のように表される。

$${\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}$$

固体が粘弾性である場合。 ${\displaystyle N=1.0}$

塑性流動が等容積（体積保存）であると仮定すると、上記の関係はより一般的な形で表現できる^[21]。

$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}$$

ここで、は偏差応力テンソル、はフォンミーゼスの等価ひずみ速度、は材料パラメータです。等価ひずみ速度は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle K,m}$

$${\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}$$

^{これらのモデルは、絶対融点（ケルビン）の3分の2を超える温度[21]}の金属や合金、および高温のポリマー/アスファルトに適用できます。このような材料のひずみ硬化、クリープ、および緩和試験の応答を図6に示します。

弾性-完全粘塑性モードを構築するには、2種類の基本的なアプローチを使用できます。最初の状況では、滑り摩擦要素とダッシュポットが並列に配置され、図7に示すように弾性スプリングに直列に接続されます。このモデルは、ビンガム-マクスウェルモデル（マクスウェルモデルやビンガムモデルとの類推により）またはビンガム-ノートンモデルと呼ばれます。^{[22] 2番目の状況では、3つの要素すべてが並列に配置されます。このようなモデルは}、ケルビンモデルとの類推によりビンガム-ケルビンモデル と呼ばれます。

弾性完全粘塑性材料の場合、弾性ひずみはもはや無視できるものではなく、塑性ひずみの速度は初期降伏応力の関数にすぎず、硬化の影響はありません。滑り要素は、ひずみに関係なく、弾性限界を超えたときに一定の降伏応力を表します。モデルは次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$$

ここで、はダッシュポット要素の粘性である。ダッシュポット要素の応答がノートン形式である場合、 ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}$$

ビンガム・ノートンモデルが得られる

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$$

ひずみ速度の他の表現は文献^[22]にも見られ、一般的な形式は次の通りで ある。

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$$

このような材料のひずみ硬化、クリープ、緩和試験の応答を図 8 に示します。

ひずみ硬化を伴う弾性粘塑性材料は、完全な塑性を伴う弾性粘塑性材料の式と同様の式で記述されます。ただし、この場合、応力は塑性ひずみ速度と塑性ひずみ自体の両方に依存します。弾粘塑性材料の場合、応力は降伏応力を超えた後、初期降伏点を超えて増加し続けます。これは、滑り要素の降伏応力がひずみとともに増加することを意味し、モデルは一般的な用語で次のように表現できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$$

このモデルは、金属や合金が中温以上、木材が高荷重下にある場合に採用されます。このような材料のひずみ硬化、クリープ、緩和テストの応答を図 9 に示します。

小さなひずみに対する古典的な現象論的粘塑性モデルは、通常2つのタイプに分類されます。^{[3] [全文引用が必要]}

• ペルジナの処方
• デュヴォー・ライオンズ定式化

ペルジナの定式化では、塑性ひずみ速度は次のような構成関係で与えられると仮定されている。

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}}$

ここで、は降伏関数、はコーシー応力、は内部変数（塑性ひずみなど）、は緩和時間である。表記はマコーレー括弧を表す。Chabocheモデルのさまざまなバージョンで使用される流れ則は、 Perzynaの流れ則^[23]の特別な場合であり、次の形式を持つ。 ${\displaystyle f(.,.)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}sign({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}$$

ここで、 はの準静的値であり 、はバックストレスです。バックストレスのいくつかのモデルは、Chaboche モデルとも呼ばれます。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}$

デュヴォー・ライオンズ定式化はペルジナ定式化と同等であり、次のように表される。

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}}$$

ここで、は弾性剛性テンソルであり、はすべての可能な弾性応力状態を囲む領域の境界への応力状態の最も近い点投影です。この量は通常、塑性問題に対する速度に依存しない解から求められます。 ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

量は降伏面の変化を表します。降伏関数は、応力の不変量と降伏応力 (または塑性流動応力) のモデルで構成される方程式として表現されることがよくあります。例としては、フォン ミーゼスまたは塑性があります。これらの状況では、塑性ひずみ速度は速度非依存塑性の場合と同じ方法で計算されます。他の状況では、降伏応力モデルは塑性ひずみ速度を計算する直接的な手段を提供します。 ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle J_{2}}$

数多くの経験的および半経験的な流動応力モデルが計算塑性に使用されます。次の温度およびひずみ速度依存モデルは、現在使用されているモデルの例です。

1. ジョンソン・クックモデル
2. スタインバーグ・コクラン・ギナン・ルンドモデル。
3. ゼリリ・アームストロングモデル。
4. 機械的閾値応力モデル。
5. プレストン・トンクス・ウォレスモデル。

Johnson–Cook (JC) モデル^[24]は純粋に経験的であり、5 つの中で最も広く使用されています。ただし、このモデルは、高温でのひずみ速度依存性が非現実的なほど小さいです。 Steinberg–Cochran–Guinan–Lund (SCGL) モデル^{[25] [26]}は半経験的です。このモデルは純粋に経験的であり、高ひずみ速度ではひずみ速度に依存しません。低ひずみ速度では、 ^[27]に基づく転位ベースの拡張が使用されます。 SCGL モデルは、衝撃物理学のコミュニティで広く使用されています。 Zerilli–Armstrong (ZA) モデル^[28]は、広く使用されている単純な物理ベースのモデルです。 転位動力学のアイデアに基づくより複雑なモデルは、機械的閾値応力 (MTS) モデルです。^{[29]このモデルは、銅、タンタル、 [30]}鋼の合金、^{[31] [32]}およびアルミニウム合金の塑性変形をモデル化するために使用されています。^{[33]しかし、MTSモデルは、約10 7} /s 未満のひずみ速度に制限されています。プレストン・トンクス・ウォレス（PTW）モデル^[34]も物理ベースであり、MTSモデルに似た形式を持っています。しかし、PTWモデルには、過剰駆動衝撃領域（ひずみ速度が10 ⁷ /sを超える）での塑性変形をモデル化できるコンポーネントがあります。したがって、このモデルは、5つの流動応力モデルの中で最も広い範囲のひずみ速度に対して有効です。

ジョンソン・クック（JC）モデル^[24]は純粋に経験的なものであり、流動応力（） に対して次の関係を与える。${\displaystyle \sigma _{y}}$

$${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}$$

ここで、は相当塑性ひずみ、は塑性ひずみ速度、 は材料定数です。 ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$${\displaystyle A,B,C,n,m}$

式（１）の正規化されたひずみ速度と温度は次のように定義される。

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}}$$

ここで、 は、降伏および硬化パラメータ A、B、および n を決定するために使用される準静的試験の有効塑性ひずみ速度です。 これは、無次元化するための単なるパラメータであるとよく考えられていますが、そうではありません。 ^[35]は基準温度であり、 は基準溶融温度です。 の条件では、 と仮定します。 ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T^{*}<0}$${\displaystyle m=1}$

Steinberg–Cochran–Guinan–Lund（SCGL）モデルは、Steinbergら^{[25]が高ひずみ速度の状況向けに開発し、SteinbergとLund [26]}によって低ひずみ速度と体心立方材料に拡張された半経験的モデルである。このモデルにおける流動応力は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$$

ここで、は流動応力の無熱成分、はひずみ硬化を表す関数、は流動応力の熱活性化成分、は圧力と温度に依存するせん断弾性率、 は標準温度と圧力におけるせん断弾性率です。無熱応力の飽和値は です。熱活性化応力の飽和値はパイエルス応力( ) です。このモデルのせん断弾性率は、通常、 Steinberg–Cochran–Guinan せん断弾性率モデルで計算されます。 ${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})}$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \mu (p,T)}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \sigma _{\text{max}}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$

ひずみ硬化関数（）は、 ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}}$$

ここで、は加工硬化パラメータであり、は初期の相当塑性ひずみです。 ${\displaystyle \beta ,n}$${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}i}$

熱成分（）は、次の式から二分アルゴリズムを使用して計算されます。^{[26] [27]}${\displaystyle \sigma _{t}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$$

ここで、は長さ の転位セグメントにキンクペアを形成するためのエネルギー、はボルツマン定数、はパイエルス応力です。これらの定数は、次の関係式で与えられます 。${\displaystyle 2U_{k}}$${\displaystyle L_{d}}$${\displaystyle k_{b}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

$${\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}$$

ここで、は転位密度、は転位セグメントの長さ、はパイエルス谷間の距離、はバーガースベクトルの大きさ、はデバイ周波数、はキンクループの幅、 は抗力係数です。 ${\displaystyle \rho _{d}}$${\displaystyle L_{d}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle w}$${\displaystyle D}$

ゼリリ・アームストロング（ZA）モデル^{[28] [36] [37]}は単純化された転位力学に基づいている。流動応力の式の一般的な形は

$${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.}$$ このモデルでは、流れ応力の非熱的成分は次のように表される。 ${\displaystyle \sigma _{a}}$

$${\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},}$$

ここで、は溶質と初期転位密度による寄与、は微細構造の応力強度、は平均粒径、はfcc材料の場合はゼロ、は材料定数です。 ${\displaystyle \sigma _{g}}$${\displaystyle k_{h}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B,B_{0}}$

熱活性化項では、指数と関数形は ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});}$$

ここで、は材料の種類（fcc、bcc、hcp、合金）に依存する材料パラメータです。Zerilli-Armstrongモデルは^[38]によって高温でより良い性能を発揮するように修正されました。 ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}$

機械的閾値応力（MTS）モデル^{[29] [39] [40]}）は、

$${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}$$

ここで、は機械的閾値応力の無熱成分、は熱活性化転位運動および転位間相互作用に対する固有の障壁による流動応力の成分、は変形の増加（ひずみ硬化）による微細構造の進化による流動応力の成分、（）は温度およびひずみ速度に依存するスケーリング係数、は 0 K および周囲圧力でのせん断弾性率です。 ${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{e}}$${\displaystyle S_{i},S_{e}}$${\displaystyle \mu _{0}}$

スケーリング係数はアレニウスの形 をとる

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}$$

ここで、はボルツマン定数、はバーガースベクトルの大きさ、（）は正規化された活性化エネルギー、（）はひずみ速度と基準ひずみ速度、（）は定数です。 ${\displaystyle k_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g_{0i},g_{0e}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}}$${\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}$

機械的閾値応力（）のひずみ硬化成分は、経験的に修正されたVoceの法則によって与えられる。 ${\displaystyle \sigma _{e}}$

$${\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})}$$

どこ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}}$$

およびは転位蓄積による硬化、はステージIV硬化による寄与、( )は定数、はひずみ硬化速度ゼロでの応力、は0 Kでの変形の飽和閾値応力、は定数、およびは最大ひずみ速度です。最大ひずみ速度は通常約/sに制限されることに注意してください。 ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{IV}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }$${\displaystyle \sigma _{es}}$${\displaystyle \sigma _{0es}}$${\displaystyle g_{0es}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$${\displaystyle 10^{7}}$

プレストン・トンクス・ウォレス（PTW）モデル^[34]は、極端なひずみ速度（最大10 ¹¹ /s）と融点までの温度での流動応力のモデルを提供しようと試みている。このモデルでは、線形ヴォーチェ硬化則が使用されている。PTW流動応力は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}$$

と

$${\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1}$$

ここで、は正規化された加工硬化飽和応力、は0K でのの値、は正規化された降伏応力、は Voce 硬化則における硬化定数、はVoce 硬化則を修正する無次元材料パラメータです。 ${\displaystyle \tau _{s}}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle \tau _{s}}$${\displaystyle \tau _{y}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d}$

飽和応力と降伏応力は次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}}$$

ここで、 は融点付近の値、 （ ）はそれぞれ 0 K および融点付近での の値、は材料定数、、 （）は高ひずみ速度領域における材料パラメータ、および ${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle \tau _{s}}$${\displaystyle y_{0},y_{\infty }}$${\displaystyle \tau _{y}}$${\displaystyle (\kappa ,\gamma )}$${\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}$${\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}$

$${\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}$$

ここで は密度、 は原子質量です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$

• 粘弾性
• ビンガムプラスチック
• ダッシュポット
• クリープ（変形）
• 可塑性（物理学）
• 連続体力学
• 準固体