ニュートン流体

非圧縮性かつ等方性のニュートン流体が、x方向のみに層流で流れている場合（すなわち、流体中の粘度が等方的である場合）、せん断応力は単純な構成方程式によってひずみ速度と関連付けられる。$${\displaystyle \tau =\mu \ {\frac {\mathrm {d} u}{\ \mathrm {d} y\ }}}$$ どこ

• $\displaystyle \tau }$流体中のせん断応力（「表面抵抗」）は、
• ${\displaystyle \mu }$は比例定数であり、流体の動粘度を表す。
• ${\displaystyle {\frac {du}{dy}}}$は、 xに垂直なy方向における、x方向に沿って配向された流れ速度成分u の導関数です。

平面x, yにおける一般的な 2 次元非圧縮性流れの場合、ニュートンの構成方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)}$$ どこ：

• $\displaystyle \tau _{xy}}$流体中のせん断応力（「表面抵抗」）は、
• ${\displaystyle {\frac {\ \partial u}{\partial y}}}$は、 x方向に沿って配向された流れ速度成分uのy方向への偏微分です。
• ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\ \partial x}}}$は、 y方向に沿って配向された流れ速度成分vのx方向への偏微分です。

ここで、3次元空間における一般的な方向を持つ 非圧縮性流れの場合に一般化すると、上記の構成方程式は次のようになる。$${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\ \partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\ \partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$ どこ

• ${\displaystyle x_{j}}$は${\displaystyle j}$番目の空間座標
• ${\displaystyle v_{i}}$は、軸方向の流体の速度です。${\displaystyle i}$
• $\displaystyle \tau _{ij}}$は${\displaystyle j}$流体要素の軸に垂直な面に作用する応力の 番目の成分${\displaystyle i}$それは${\displaystyle ij}$せん断応力テンソルの 番目の成分

または、より簡潔なテンソル表記で記述する $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\ \nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\top }\right)}$$ どこ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$は流速勾配である。

この構成方程式を別の方法で表現すると次のようになります。

どこ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\ \mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\top }\right)}$$ はひずみ速度テンソルです。したがって、この分解は次のように明示的に表すことができます。^{[ 5 ]}

この構成方程式は、ニュートンの粘性法則とも呼ばれる。

全応力テンソル${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$は、等方性応力テンソルと偏差応力テンソルの和として常に分解できます（${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$): $$\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)\ \mathbf {I} +{\boldsymbol {\sigma }}'}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {I} }$これは単位テンソルです。

非圧縮性の場合、等方性応力は単純に熱力学的圧力に比例する。${\displaystyle p}$: $${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)=-{\tfrac {1}{3}}\sum _{k}\sigma _{kk}\ ,}$$

そして偏差応力はせん断応力テンソルと一致する。${\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}}$: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\ \nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\top }\right)~.}$$

応力構成方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\ \delta _{ij}+\mu \left({\frac {\ \partial v_{i}}{\ \partial x_{j}}}+{\frac {\ \partial v_{j}}{\ \partial x_{i}}}\right)}$$ または、より簡潔なテンソル表記で記述する $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\ \mathbf {I} +\mu \left(\ \nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\top }\right)~.}$$

圧縮性流れに対するニュートンの構成法則は、コーシー応力テンソルに関する以下の仮定から導かれる。^{[ 5 ]}

• 応力はガリレオ不変である。つまり、流速に直接依存せず、流速の空間微分にのみ依存する。したがって、応力変数はテンソル勾配である。${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$あるいはもっと簡単に言えば、ひずみ速度テンソル：${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• 偏差応力はこの変数に関して線形である。$\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}} 、ここで${\textstyle p}$ひずみ速度テンソルに依存しない、${\textstyle \mathbf {C} }$は比例定数を表す4階テンソルで、粘性テンソルまたは弾性テンソルと呼ばれ、 : は二重ドット積です。
• 流体は気体や単純な液体と同様に等方性であると仮定され、したがって${\textstyle \mathbf {C} }$は等方性テンソルです。さらに、偏差応力テンソルは対称であるため、ヘルムホルツ分解により、2 つのスカラーラメ パラメータ、2 番目の粘性で表すことができます。${\textstyle \lambda }$動粘度${\textstyle \mu }$線形弾性論では通常、次のようになる。
  線形応力構成方程式（弾性固体の場合と同様の式）

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  どこ${\textstyle \mathbf {I} }$は単位テンソルであり、${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$これは、ひずみ速度テンソルの トレースです。したがって、この分解は明示的に次のように定義できます。$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

3次元における歪み速度テンソルのトレースは、流れの 発散（すなわち膨張率）であるため、次のようになります。$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

この関係性を踏まえると、3次元における単位テンソルのトレースは3であるため、次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

3次元における応力テンソルのトレースは次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

そこで、流体力学で通常行われるように、応力テンソルを等方性部分と偏差性部分に交互に分解します。 ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

体積粘度を導入する${\textstyle \zeta }$、 $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

熱水力学で通常用いられる形式の線形構成方程式にたどり着く：^{[ 5 ]}

これは、他の一般的な形式でも配置できます。^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

圧縮性の場合、体積粘性項が追加されるため、 圧力は等方性応力項に比例しなくなることに注意してください。${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

偏差応力テンソル${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$せん断応力テンソルと依然として一致している${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$（つまり、ニュートン流体における偏差応力には法線応力成分がなく）、非圧縮性の場合に加えて、せん断粘度に比例する圧縮性項が存在する。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

非圧縮性の場合、圧力が流れを制限し、流体要素の体積が一定であるという仮定に対応することに注意してください。等容積流は、ソレノイド速度場をもたらします。${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$^{[ 8 ]}そこで、 前の段落で見た圧力と偏差応力の式に戻る。

バルク粘度${\textstyle \zeta }$および動粘度${\textstyle \mu }$一定である必要はなく、一般に、流体が単一の化学種を含む場合、圧力と温度などの 2 つの熱力学的変数に依存します。これらの輸送係数のいずれかを保存変数に明示的に示す方程式は、状態方程式と呼ばれます。^{[ 9 ]}

圧力と温度への依存性に加えて、第二粘性係数はプロセスにも依存します。つまり、第二粘性係数は単なる物質特性ではありません。例：特定の周波数を持つ音波が流体要素を交互に圧縮および膨張させる場合、第二粘性係数は波の周波数に依存します。この依存性は分散と呼ばれます。場合によっては、第二粘性係数は${\textstyle \zeta }$体積粘度の影響は一定であると仮定できる。${\textstyle \zeta }$機械的圧力は熱力学的圧力と等しくないという点です。^{[ 10 ]}以下に示すように。 $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ しかし、この差はほとんどの場合無視されます（つまり、音響吸収や衝撃波の減衰などのプロセスを扱っていない限り、第2粘性係数が重要になります^{[ 11 ] ）。}${\textstyle \zeta =0}$設定の仮定${\textstyle \zeta =0}$これはストークスの仮説と呼ばれています。^{[ 12 ]}ストークスの仮説の妥当性は、単原子ガスについては実験的にも運動論的にも証明できます。^{[ 13 ]}他のガスや液体については、ストークスの仮説は一般的に間違っています。

最後に、ストークスの仮説は非圧縮性流れの仮説よりも制約が少ないことに注意してください。実際、非圧縮性流れでは、流れ速度の発散項における体積粘性項とせん断粘性項の両方が消滅しますが、ストークスの仮説では最初の項は消滅しますが、2番目の項は残ります。

より一般的には、非等方性ニュートン流体では、係数${\displaystyle \mu }$内部摩擦応力を速度場の空間微分に関連付ける式は、9要素の粘性応力テンソルに置き換えられる。${\displaystyle \mu _{ij}}$。

液体中の摩擦力には一般的な公式があります。摩擦力のベクトル微分は、粘性テンソルに隣接する液体層の面積ベクトルと回転速度 ベクトルのベクトル積微分を加えたものに等しくなります。$${\displaystyle d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \nabla \times \,\mathbf {u} }$$ どこ${\displaystyle \mu _{ij}}$は粘性テンソルです。粘性テンソルの対角成分は液体の分子粘性であり、対角成分は乱流渦粘性ではありません。^{[ 14 ]}

べき乗則モデルは、ニュートン流体と非ニュートン流体の挙動を示すために使用され、ひずみ速度の関数としてせん断応力を測定します。

べき乗則モデルにおけるせん断応力、ひずみ速度、および速度勾配の関係は以下のとおりです。 $${\displaystyle \tau _{xy}=-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},}$$ どこ

• ${\displaystyle \left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}}$は、ひずみ速度の絶対値の ( n − 1) 乗です。
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$は速度勾配です。
• nはべき乗則指数である。

もし

• n < 1 の場合、流体は擬塑性流体である。
• n = 1 の場合、その流体はニュートン流体である。
• n > 1 の場合、その流体はダイラタントである。

カッソン流体モデルにおけるせん断応力とせん断速度の関係は、次のように定義される。 $${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$$ ここでτ ₀は降伏応力であり、 $${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},}$$ ここで、αはタンパク質の組成に依存し、Hはヘマトクリット値である。