構成方程式

物理学および工学において、構成方程式または構成関係とは、材料、物質、または場に固有の2 つ以上の物理量(特に運動量と運動量) の関係であり、通常は印加場または力などの外部刺激に対する応答を近似します。これらは、物理法則を支配する他の方程式と組み合わせて物理的な問題を解決します。たとえば、流体力学ではパイプ内の流体の流れ、固体物理学では電場に対する結晶の応答、構造解析では印加応力または荷重と歪みまたは変形の関係などです。

構成方程式には、単純に現象論的なものもあれば、第一原理から導かれるものもあります。一般的な近似構成方程式は、電気伝導率やバネ定数など、材料の特性と見なされるパラメータを使用して、単純な比例関係として表現されることがよくあります。ただし、材料の方向依存性を考慮する必要があることが多く、スカラーパラメータはテンソルに一般化されます。構成関係は、材料の応答速度と非線形挙動を説明するためにも修正されます。^[1]記事「線形応答関数」を参照してください。

最初の構成方程式（構成法則）はロバート・フックによって開発され、フックの法則として知られています。これは線形弾性材料の場合を扱っています。この発見に続いて、このタイプの方程式（この例では「応力-ひずみ関係」と呼ばれることが多いが、「構成仮定」または「状態方程式」とも呼ばれる）が一般的に使用されるようになりました。ウォルター・ノルは構成方程式の使用を発展させ、その分類と不変性要件、制約、「材料」、「等方性」、「異方性」などの用語の定義の役割を明確にしました。応力率 = f（速度勾配、応力、密度）の形式の「構成関係」のクラスは、1954年にクリフォード・トゥルーズデルの指導の下でウォルター・ノルが博士論文を執筆した主題でした。^[2]

現代の物性物理学では、構成方程式が重要な役割を果たしています。線形構成方程式と非線形相関関数を参照してください。^[3]

摩擦は複雑な現象です。マクロ的には、2 つの材料の界面間の摩擦力F は、材料の組み合わせによって決まる無次元摩擦係数μ _fを通じて、2 つの界面の接触点における反力 Rに比例するものとしてモデル化できます。

${\displaystyle F=\mu _{\text{f}}R.}$

これは、静摩擦（2 つの静止物体が単独で滑るのを防ぐ摩擦）、動摩擦（2 つの物体が互いに擦れ合う/滑る摩擦）、または転がり（滑りを防ぐが、丸い物体にトルクを及ぼす摩擦力）に適用できます。

線形材料の応力-ひずみ構成関係は、一般にフックの法則として知られています。最も単純な形では、この法則は、引張/圧縮力が伸長（または収縮）変位xに比例するというスカラー方程式でバネ定数（または弾性定数）k を定義します。

${\displaystyle F_{i}=-kx_{i}}$

つまり、材料は線形に反応します。同様に、応力 σ、ヤング率 E、ひずみ ε (無次元) の観点から見ると、次のようになります。

${\displaystyle \sigma =E\,\varepsilon }$

一般に、固体を変形させる力は、材料の表面に対して垂直（垂直力）または接線方向（せん断力）であり、これは応力テンソルを使用して数学的に記述できます。

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}}$

ここで、Cは弾性テンソル、Sはコンプライアンステンソルです。

弾性材料の変形には以下のような種類がある。^[4]

プラスチック

応力（または弾性ひずみ）が降伏点と呼ばれる臨界値に達すると、加えられた力によって材料に回復不可能な変形が生じます。

弾性

材料は変形後、元の形状に戻ります。

粘弾性

時間依存の抵抗寄与が大きく、無視できない場合。ゴムやプラスチックはこの特性を持ち、フックの法則を満たしません。実際、弾性ヒステリシスが発生します。

非弾性

材料が弾性に近いが、加えられた力によって追加の時間依存の抵抗力が誘発される場合（つまり、伸長/圧縮に加えて、伸長/圧縮の変化率に依存する場合）。金属やセラミックにはこの特性がありますが、通常は無視できる程度です。ただし、摩擦による加熱が発生すると（機械の振動やせん断応力など）、無視できる程度になります。

超弾性

加えられた力は、ひずみエネルギー密度関数に従って材料に変位を引き起こします。

_{物体Aが別の物体Bと衝突した後の}相対的な分離速度vは、ニュートンの実験的衝突法則で定義される反発係数によって接近速度v_と関連している：^[5]

${\displaystyle e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{分離}}}{|\mathbf {v} |_{\text{アプローチ}}}}}$

これは、衝突が A と B の表面での相互作用を伴うため、A と B が作られている材料に依存します。通常は0 ≤ e ≤ 1であり、ここでe = 1 は完全に弾性的な衝突、e = 0 は完全に非弾性的な衝突です。超弾性(または爆発) 衝突の場合は、 e ≥ 1になる可能性もあります。

抗力方程式は、断面積Aの物体が密度ρの流体中を速度v（流体に対して） で移動するときの抗力 Dを表します。

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}}$

ここで、抗力係数（無次元）c _{d は}、物体の形状と、流体と物体の界面における抗力に依存します。

粘度μのニュートン流体の場合、せん断応力τ はひずみ速度（横方向の流れの速度勾配） ∂ u /∂ y（単位s ⁻¹ ）と直線関係にあります。均一なせん断流では、

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

ここで、u ( y )は、横方向yにおける流速uの変化である。一般に、ニュートン流体の場合、せん断応力テンソルの要素τ _ijと流体の変形 の関係は次のように表される。

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)}$  と​  ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$    ${\displaystyle \Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,}$

ここで、v _{i は}対応するx _i座標方向の流速ベクトルの成分、e _{ij は}ひずみ速度テンソルの成分、Δは体積ひずみ速度（または膨張率）、δ _ijはクロネッカーのデルタである。^[6]

理想気体の法則は、圧力pと体積V がガスの モル数nを介して温度Tと関係しているという意味で構成関係です。

${\displaystyle pV=nRT}$

ここでRは気体定数（J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ）である。

古典物理学と量子物理学の両方において、システムの正確なダイナミクスは、一連の結合 微分方程式を形成しますが、ほとんどの場合、統計力学のレベルであっても、正確に解くには複雑すぎます。電磁気学の文脈では、この発言は、自由電荷と電流のダイナミクス（マクスウェル方程式に直接入力される）だけでなく、束縛電荷と電流のダイナミクス（構成関係を通じてマクスウェル方程式に入力される）にも当てはまります。その結果、さまざまな近似スキームが一般的に使用されます。

たとえば、実際の材料では、電荷の時間的および空間的応答を決定するために、ボルツマン方程式、フォッカー・プランク方程式、ナビエ・ストークス方程式などの複雑な輸送方程式を解く必要があります。たとえば、磁気流体力学、流体力学、電気流体力学、超伝導、プラズマモデリングを参照してください。これらの問題に対処するための全体的な物理的装置が開発されました。たとえば、線形応答理論、グリーン・久保関係、グリーン関数（多体理論）を参照してください。

これらの複雑な理論は、誘電率、透磁率、導電率など 、さまざまな材料の電気的応答を記述する構成関係の詳細な式を提供します。

電磁気学の計算（つまり、マクスウェルのマクロ方程式の適用）を行う前に、変位場 DとE、および磁場 H とBの関係を指定する必要があります。これらの方程式は、印加された場に対する束縛電荷と電流の応答を指定し、構成関係と呼ばれます。

補助フィールドDとHおよびEとBフィールド間の構成関係を決定するには、補助フィールド自体の定義から始まります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P } (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$

ここで、Pは分極場、Mは磁化場であり、それぞれ微視的な束縛電荷と束縛電流によって定義されます。MとP の計算方法に入る前に、次の特殊なケースを調べておくと便利です。

磁性体や誘電体が存在しない場合は、構成関係は単純です。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$

ここで、ε ₀とμ _{0 はそれぞれ}自由空間の誘電率と自由空間の 透磁率と呼ばれる 2 つの普遍定数です。

（等方性^[7]）線形材料では、PはEに比例し、MはBに比例し、構成関係も単純です。分極Pと磁化Mの観点から見ると、それらは次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

ここで、χ _eとχ _{m はそれぞれ特定の物質の}電気感受性と磁気感受性である。DとHに関して、構成関係は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}$

ここで、εとμ は定数（材料によって異なる）で、それぞれ材料の 誘電率と透磁率と呼ばれます。これらは次のように磁化率と関連しています。

${\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1}$

現実世界の材料の場合、構成関係は近似値を除いて線形ではありません。第一原理から構成関係を計算するには、与えられたEとBからPとMがどのように生成されるかを決定する必要があります。^{[注 1]}これらの関係は、経験的 (測定値に直接基づく) または理論的なもの (統計力学、輸送理論、またはその他の凝縮物質物理学のツールに基づく) です。採用される詳細は、調査対象の問題に必要なレベルに応じて、マクロ的またはミクロ的になります。

一般的に、構成関係は通常、次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }$

しかし、εとμ は一般に単純な定数ではなく、 E、B 、位置、時間の関数であり、テンソルの性質を持っています。例を次に示します。

これらの例のバリエーションとして、一般に材料は双異方性を持ち、DとBは追加の結合定数ξとζを介してEとHの両方に依存する：^[11]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}$

実際には、一部の材料特性は特定の状況では影響が無視できるため、小さな効果は無視できます。たとえば、低電界強度では光学非線形性は無視できます。周波数が狭い帯域幅に制限されている場合、材料の分散は重要ではありません。材料が透明な波長では材料の吸収は無視できます。また、有限の導電率を持つ金属は、マイクロ波またはより長い波長では、無限の導電率を持つ完全な金属（表皮深度浸透がゼロの硬いバリアを形成する）として近似されることがよくあります。

メタマテリアルやフォトニック結晶などの一部の人工材料は、誘電率と透磁率をカスタマイズできるように設計されています。

物質の構成方程式の理論的計算は、理論的な凝縮物質物理学および材料科学において一般的で重要な、そして時には難しい作業です。一般に、構成方程式は、分子がローレンツ力を通じて局所場に対してどのように反応するかを計算することによって理論的に決定されます。結晶の格子振動や結合力など、他の力もモデル化する必要がある場合があります。すべての力を含めると、分子に変化が生じ、それを使用して局所場の関数として PとM を計算します。

局所的な磁場は、近くの物質の分極と磁化によって生成される磁場によって、印加磁場とは異なります。この効果もモデル化する必要があります。さらに、実際の物質は連続媒体ではありません。実際の物質の局所的な磁場は原子スケールで大きく変化します。連続体の近似を形成するには、適切な体積で磁場を平均化する必要があります。

これらの連続体近似には、凝縮物質物理学に適用される量子場理論などの何らかの量子力学的解析が必要になることがよくあります。たとえば、密度汎関数理論、グリーン–久保関係、グリーン関数を参照してください。

異なる均質化法（集塊や積層体などの材料を扱う伝統から発展したもの）は、不均質材料を均質な有効媒体で近似することに基づいています^{[12] [13]} （不均質性のスケールよりもはるかに大きい波長の励起に有効）。 ^{[14] [15] [16] [17]}

多くの現実の物質の連続体近似特性の理論的モデリングは、実験的測定にも依存することが多い。^[18]例えば、低周波での絶縁体のεは、平行板コンデンサにすることで測定でき、可視光周波数でのεは、エリプソメトリーで測定されることが多い。

これらの構成方程式は固体物理学の分野である結晶学でよく使われる。^[19]

媒体の（絶対）屈折率n （無次元）は、幾何光学および物理光学の本質的に重要な特性であり、真空中の光速c ₀と媒体中の光速cの比として定義されます。

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$

ここで、εは媒体の誘電率、ε _{r は比誘電率、同様に}μは透磁率、μ _{r は}媒体の比透磁率です。真空の誘電率はε ₀、真空の透磁率はμ ₀です。一般に、n (およびε _r ) は複素数です。

相対屈折率は、2 つの屈折率の比として定義されます。絶対屈折率は 1 つの材料に適用されますが、相対屈折率はすべての可能なインターフェイスのペアに適用されます。

${\displaystyle n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}}$

定義の結果として、物質中の 光の速度は

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}}$

真空の特殊な場合。ε = ε ₀およびμ = μ ₀、

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

圧電効果は固体の応力σと誘電不透過率aを関連づけ、これらは圧電係数 Π (単位 K ⁻¹ ) と呼ばれる第 4 階のテンソルによって結合されます。

${\displaystyle a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}}$

物質の移動やその特性をほぼ同一の方法で説明する法則がいくつかあります。いずれの場合も、言葉で表すと次のようになります。

流束（密度）は勾配に比例し、比例定数は物質の特性です。

一般に、材料の方向依存性を考慮するには、定数を 2 階テンソルに置き換える必要があります。

• 定義式（物理化学）
• 支配方程式
• 物質的客観性の原則
• レオロジー