複雑な幾何学

数学において、複素幾何学は、複素数から生じる、または複素数によって記述される幾何学的構造と構成の研究である。特に、複素幾何学は、複素多様体や複素代数多様体などの空間、複数の複素変数の関数、正則ベクトル束や連接層などの正則構成の研究に関係している。^{[ 1 ]}代数幾何学への超越法の適用は、複素解析のより幾何学的な側面とともに、この範疇に属する。

複素幾何学は、代数幾何学、微分幾何学、複素解析の交点に位置し、これら3つの分野のツールをすべて利用します。さまざまな分野の手法やアイデアが融合しているため、複素幾何学の問題は、一般的に問題が扱いやすく、具体的であることが多いです。例えば、最小モデルプログラムによる複素多様体と複素代数多様体の分類とモジュライ空間の構成は、可能な滑らかな多様体の分類がはるかに難しい微分幾何学とは一線を画しています。さらに、複素幾何学の付加的な構造により、特にコンパクトな設定では、シン・トゥン・ヤウによるカラビ予想の証明、ヒッチン・コバヤシ対応、非可換ホッジ対応、ケーラー・アインシュタイン計量と定数スカラー曲率ケーラー計量の存在結果など、グローバルな解析結果を非常に高い成功率で証明することができます。これらの結果はしばしば複雑な代数幾何学にフィードバックされ、例えば最近では、K安定性を用いたファノ多様体の分類は、解析学と純粋な双有理幾何学の両方の手法から多大な恩恵を受けている。

複素幾何学は理論物理学において重要な応用があり、共形場理論、弦理論、鏡面対称性を理解する上で不可欠です。また、表現論では、ボレル・ワイル・ボットの定理につながる一般化された旗多様体を複素幾何学を用いて研究したり、シンプレクティック幾何学ではケーラー多様体がシンプレクティック多様体であったり、リーマン幾何学では複素多様体がカラビ・ヤウ多様体やハイパーケーラー多様体などのエキゾチックな計量構造の例を提供したり、ゲージ理論では正則ベクトル束がヤン・ミルズ方程式などの物理学から生じる重要な微分方程式の解をしばしば許容したりするなど、他の数学分野でも例の源泉となることがよくあります。複素幾何学は、純粋代数幾何学にも大きな影響を与えています。ケーラー多様体のホッジ理論のような複素数設定における解析的結果は、多様体やスキームのホッジ構造、およびp進ホッジ理論の理解を促し、複素多様体の変形理論はスキームの変形理論の理解を促し、複素多様体のコホモロジーに関する結果は、ワイル予想やグロタンディークの標準予想の定式化を促しました。一方、これらの分野の多くの成果や手法は、複素幾何学にフィードバックされることが多く、例えば、弦理論と鏡面対称性の数学の発展は、弦理論家がSYZ予想を通してラグランジュファイブレーションの構造を持つと予測するカラビ・ヤウ多様体の性質について多くのことを明らかにしました。また、シンプレクティック多様体のグロモフ・ウィッテン理論の発展は、複素多様体の列挙幾何学の進歩につながりました。

ホッジ予想は、ミレニアム懸賞問題の一つであり、複素幾何学の問題である。^{[ 2 ]}

複素幾何学は、ある意味で複素平面上にモデル化された空間や幾何学的対象を広く扱っています。複素平面や一変数複素解析の特徴、例えば、向き付け可能性の本質的な概念（つまり、複素平面上のすべての点で一貫して反時計回りに 90 度回転できること）、および正則関数の剛性（つまり、単一の複素微分が存在すると、すべての次数への複素微分可能性が意味される）などは、複素幾何学の研究のあらゆる形態に現れていることがわかります。例として、すべての複素多様体は正準的に向き付け可能であり、^{[ 3 ]}コンパクトな複素多様体や射影複素代数多様体では、リウヴィルの定理の一形態が成り立ちます。

複素幾何学は、実数直線の幾何学的性質と解析的性質に基づいた空間の研究である、いわゆる実数幾何学とは趣が異なる。例えば、滑らかな多様体は単位の分割、すなわちある開集合上で恒等的に1となり、それ以外の場所で恒等的に0となる滑らかな関数の集合を許容するが、複素多様体にはそのような正則関数の集合は存在しない。実際、これは一変数複素解析における典型的な結果である恒等定理の現れである。ある意味で、複素幾何学の斬新さは、この根本的な観察に遡ることができる。

確かに、すべての複素多様体は特に実滑らかな多様体である。これは、複素平面が${\displaystyle \mathbb {C} }$複雑な構造を忘れると、実平面と同型になる$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$しかし、複素幾何学は、滑らかな多様体の研究である微分幾何学の特定のサブ分野として一般的には見なされていません。特に、SerreのGAGA定理は、すべての射影解析多様体は実際には代数多様体であり、解析多様体上の正則データの研究は代数データの研究と同等であると述べています。^{[ 4 ]}

この等価性は、複素幾何学が何らかの意味で微分幾何学よりも代数幾何学に近いことを示している。複素平面の性質に由来するもう一つの例として、一変数複素解析では、有理型関数の特異点は容易に記述できる。これに対し、連続実数値関数の特異な振る舞いを特徴づけるのははるかに難しい。このため、複素幾何学では特異な複素解析多様体や特異な複素代数多様体といった特異空間を容易に研究できるのに対し、微分幾何学では特異空間の研究はしばしば避けられる。

実際には、複素幾何学は微分幾何学、代数幾何学、および多変数複素解析の交点に位置し、複素幾何学者はこれら3つの分野のツールを用いて複素空間を研究します。複素幾何学における典型的な研究テーマとしては、複素空間の分類、それらに付随する正則対象（正則ベクトル束や連接層など）の研究、そして複素幾何学的対象と数学や物理学の他の分野との密接な関係などが挙げられます。

複素幾何学は、複素多様体、複素代数多様体、および複素解析多様体の研究を扱います。この節では、これらの空間の種類を定義し、それらの間の関係を示します。

次元の複素多様体${\displaystyle n}$位相空間${\displaystyle X}$開いた蓋を備えている${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha \in A}}$、そして同相写像の族${\displaystyle (\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to V_{\alpha })_{\alpha \in A}}$から$\displaystyle U_{\alpha }}$開集合へ${\displaystyle V_{\alpha }}$の${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$すなわち、

• ${\displaystyle X}$ハウスドルフであり、2 つ目の可算名詞です。
• もし${\displaystyle (U_{1},\varphi )}$そして${\displaystyle (U_{2},\psi )}$開集合にマッピングされる、重なり合う2つのチャートはどれですか？${\displaystyle V_{1},V_{2}}$の${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$それぞれ、遷移関数${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})}$双正則写像である^{[ 1 ]}。

すべての双正則写像は微分同相写像であることに注意し、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$同型性とは実ベクトル空間として${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$次元のすべての複素多様体${\displaystyle n}$特に、次元の滑らかな多様体である。${\displaystyle 2n}$これは常に偶数です。

常に滑らかな複素多様体とは対照的に、複素幾何学は特異空間の可能性も扱います。アフィン複素解析多様体は部分集合です。${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$各点について${\displaystyle p\in X}$開放的な近隣地域があります${\displaystyle U}$の${\displaystyle p}$そして有限個の正則関数の集合${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C} }$そのため${\displaystyle X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})}$慣例として、セットも必要とする。${\displaystyle X}$還元不可能な点。${\displaystyle p\in X}$正則関数のベクトルのヤコビ行列が特異である場合${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$完全なランクを持っていません${\displaystyle p}$、それ以外の場合は非特異である。射影複素解析多様体は部分集合である。${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$同様に、開部分集合上の有限個の正則関数の零点によって局所的に与えられる複素射影空間の${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$。

同様に、アフィン複素代数多様体を部分集合として定義することもできる。${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$これは、有限個の多項式の零点集合として局所的に与えられる。${\displaystyle n}$複素変数。射影複素代数多様体を定義するには、部分集合 が必要である。${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$局所的に有限個の同次多項式の零点集合によって与えられる。

一般的な複素代数多様体または複素解析多様体を定義するには、局所的に環化された空間の概念が必要となる。複素代数多様体／解析多様体は局所的に環化された空間である。${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$これは、局所的に環状空間としてアフィン複素代数/解析多様体と局所的に同型である。解析的な場合、通常は${\displaystyle X}$開部分集合との同一視により、局所的に部分空間トポロジーと等価なトポロジーを持つ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$代数的な場合では${\displaystyle X}$多くの場合、ザリスキー位相を備えている。また、慣例として、この局所的に環状化された空間は既約でなければならない。

特異点の定義は局所的なものであるため、アフィン解析的／代数的多様体に対して与えられた定義は、任意の複素解析的または代数的多様体の点にも適用されます。多様体の点の集合${\displaystyle X}$単数形であるものは単数形軌跡と呼ばれ、${\displaystyle X^{sing}}$、そしてその補集合は非特異または滑らかな軌跡であり、と表記される。${\displaystyle X^{nonsing}}$複素多様体の特異点軌跡が空集合である場合、すなわち特異点軌跡が非特異点軌跡と等しい場合、その複素多様体は滑らかまたは非特異であると言います。

正則関数の陰関数定理によれば、すべての複素多様体は特に非特異な複素解析多様体であるが、一般にはアフィンでも射影的でもない。SerreのGAGA定理によれば、すべての射影的複素解析多様体は実際には射影的複素代数多様体である。複素多様体が非特異である場合、それは複素多様体である。より一般的には、任意の複素多様体の非特異な軌跡は複素多様体である。

正則関数と複素多様体の剛性のため、複素多様体や複素多様体を研究するために一般的に用いられる手法は、通常の微分幾何学で用いられる手法とは異なり、代数幾何学で用いられる手法に近いものとなっている。例えば、微分幾何学では、多くの問題は局所的な構成を取り、単位の分割を用いてそれらを大域的につなぎ合わせることで解決される。複素幾何学には単位の分割が存在しないため、局所的なデータを大域的なデータにいつつなぎ合わせることができるかという問題は、より微妙なものとなる。局所的なデータをいつつなぎ合わせることができるかは、層コホモロジーによって正確に測定され、層とそのコホモロジー群は主要なツールとなる。

例えば、現代的な定義が導入される以前の多変数複素解析における有名な問題として、カズン問題が挙げられます。これは、局所的な有理型データを貼り合わせて大域的な有理型関数を得るには、具体的にどのような条件を満たす必要があるのか​​を問うものです。これらの古い問題は、層とコホモロジー群の導入後、容易に解決できるようになりました。

複素幾何学で用いられる層の特殊な例としては、正則線束（およびそれに関連する因子）、正則ベクトル束、および連接層などが挙げられる。層のコホモロジーは複素幾何学における障害を測定するため、消滅定理を証明する手法が用いられる。複素幾何学における消滅定理の例としては、コンパクトケーラー多様体上の線束のコホモロジーに関する小平の消滅定理、およびアフィン複素多様体上の連接層のコホモロジーに関するカルタンの定理AおよびBなどが挙げられる。

複素幾何学では、微分幾何学や解析学から派生した手法も利用されます。例えば、アティヤ・シンガー指数定理の特殊な場合であるヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、正則ベクトル束の正則オイラー標数を、その基となる滑らかな複素ベクトル束の特性類を用いて計算します。

複素幾何学における主要なテーマの一つは分類である。複素多様体や複素多様体は構造が固定されているため、これらの空間を分類する問題はしばしば扱いやすい。複素幾何学や代数幾何学における分類は、モジュライ空間の研究を通して行われることが多い。モジュライ空間自体も複素多様体または複素多様体であり、その点群が複素幾何学において現れる他の幾何学的対象を分類する。

• 双ベクトル（複合）
• カラビ・ヤウ多様体
• カルタンの定理AとB
• 複素解析空間
• 複雑なリーグループ
• 複雑な多面体
• 複雑な射影空間
• いとこ同士の問題
• 変形理論#複素多様体の変形
• エンリケス – 小平分類
• ガガ
• ハルトッグスの拡張定理
• エルミート対称空間
• ホッジ分解
• ホップ多様体
• 仮想線（数学）
• 小林メトリック
• 小林・ヒッチン間の書簡
• ケーラー多様体
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題
• Lelong番号
• 複素曲面および代数曲面のリスト
• 鏡面対称性
• 乗数理想
• 投影的多様性
• 擬似凸性
• いくつかの複雑な変数
• スタイン多様体

• ハイブレヒト、ダニエル(2005)。複雑な幾何学: 入門。スプリンガー。ISBN 3-540-21290-6。
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1994）、『代数幾何学の原理』、ワイリー・クラシックス・ライブラリー、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ 
• ホルマンダー、ラース(1990) [1966]、『多変数複素解析入門』、ノースホランド数学ライブラリー、第 7巻（第3版（改訂 版））、アムステルダム–ロンドン–ニューヨーク–東京：ノースホランド、ISBN 0-444-88446-7MR 1045639、Zbl 0685.32001​  
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