既約成分

代数幾何学において、既約代数集合または既約多様体は、 2 つの適切な代数的部分集合の和集合として記述することができない代数的集合である。代数的集合の既約成分は、この性質に関して既約かつ最大（集合包含に対して）である代数的部分集合である。たとえば、方程式xy = 0の解の集合は既約ではなく、その既約成分は 2 本の方程式x = 0とy = 0である。

あらゆる代数集合は、既約成分の有限和として一意に表すことができるというのは、古典代数幾何学の基本定理です。

これらの概念は、閉集合が代数的部分集合であるザリスキ位相を用いて、純粋に位相的な用語で再定式化することができます。位相空間は、2 つの適切な閉部分集合の和集合でない場合、既約であり、既約成分は、誘導位相に対して既約である最大部分空間 (必ず閉じている) です。これらの概念は、あらゆる位相空間に対して考慮される可能性がありますが、最も一般的な位相空間はハウスドルフ空間であり、ハウスドルフ空間では、既約成分はシングルトンであるため、代数幾何学以外ではほとんど考慮されません。

位相空間 Xが既約であるとは、の2 つの真部分集合 の和集合として表せる場合です。 位相空間X が既約でないとは、既約でない(または超連結である) ということです。同様に、Xのすべての空でない開集合が稠密 である場合、または任意の 2 つの空でない開集合が空でない交差を持つ場合、 X は既約でないということです。 ${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X.}$

位相空間Xの部分集合Fは、部分空間位相を介して位相空間として考えられたF が上記の意味で対応する性質を持つ場合、既約または既約と呼ばれます。つまり、が既約であるとは、が の閉部分集合である和集合として表され、そのどちらにも が含まれない場合です。${\displaystyle F}$${\displaystyle F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),}$${\displaystyle G_{1},G_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F.}$

位相空間の既約成分は、最大既約部分集合です。部分集合が既約であれば、その閉包も既約であるため、既約成分は閉じています。

空間Xのすべての既約部分集合は、 Xの（必ずしも一意ではない）既約成分に含まれます。^[1] すべての点は、Xの何らかの既約成分に含まれます。 ${\displaystyle x\in X}$

空の位相空間は、既約性に関する上記の定義を空虚に満たします（適切な部分集合がないため）。しかし、一部の著者（^{[2] 、特に}代数的位相幾何学への応用に関心のある著者）は、空集合を既約性から明示的に除外しています。この記事では、この慣例には従いません。

すべてのアフィン代数集合または射影代数集合は、多項式環のイデアルの零点の集合として定義されます。既約代数集合は、より一般的には代数多様体として知られ、2 つのより小さな代数集合の和集合として分解できない代数集合です。ラスカー-ネーターの定理は、すべての代数集合が、その既約成分と呼ばれる、一意に定義された有限個の代数集合の和集合であることを意味します。これらの既約性と既約成分の概念は、ザリスキー位相を考慮すると、上記で定義されたものとまったく同じです。代数集合は、この位相の閉集合とまったく同じだからです。

環のスペクトルは、点が素イデアルである位相空間であり、閉集合は固定されたイデアルを含むすべての素イデアルの集合です。この位相では、閉集合が何らかの素イデアルを含むすべての素イデアルの集合である場合、その閉集合は既約であり、既約成分は極小素イデアルに対応します。ネーター環の場合、既約成分の数は有限です。

多様体がチャート同士を貼り合わせることで得られるのと同じように、スキームはリングのスペクトル同士を貼り合わせることで得られます。したがって、既約性と既約成分の定義は、スキームに直接拡張されます。

ハウスドルフ空間では、既約部分集合と既約成分はシングルトンである。これは、特に実数の場合に当てはまる。実際、Xがシングルトンではない実数の集合である場合、 x ∈ X、y ∈ X、x < a < yとなる3つの実数が存在する。集合Xは既約ではない。${\displaystyle X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).}$

既約成分の概念は代数幾何学において基本的な概念であり、この数学の分野以外ではほとんど考慮されない。平面の 代数的部分集合を考える。

x = {( x , y ) | xy = 0}です。

ザリスキー位相の場合、その閉集合はそれ自身、空集合、単集合、およびx = 0とy = 0で定義される 2 本の直線です。したがって、集合X は、これらの 2 本の直線を既約成分として、既約可能です。

可換環のスペクトルは、ザリスキ位相を備えた環の素イデアルの集合であり、そのスペクトルに対して、素イデアルの集合が閉じている場合と、固定されたイデアルを含むすべての素イデアルの集合である場合とで同じです。この場合、既約部分集合は、固定された素イデアルを含むすべての素イデアルの集合です。

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