モジュラー曲線

数論と代数幾何学において、モジュラー曲線 Y (Γ) は、整2×2 行列のモジュラー群SL (2,  Z ) の合同部分群 Γの作用によって複素上半平面Hの商として構成されるリーマン面、または対応する代数曲線である。モジュラー曲線という用語は、コンパクト化されたモジュラー曲線 X (Γ) を指すためにも使用される。コンパクト化されたモジュラー曲線X (Γ) は、有限個の点 ( Γ の尖点と呼ばれる) をこの商に追加することによって得られるコンパクト化である(拡張された複素上半平面への作用を介して)。モジュラー曲線の点は、群 Γ に依存するいくつかの追加構造とともに、楕円曲線の同型類をパラメータ化する。この解釈により、複素数を参照せずにモジュラー曲線の純粋に代数的な定義を与えることができ、さらに、モジュラー曲線が有理数体Qまたは円分体Q (ζ _n )のいずれかで定義されることを証明できます。後者の事実とその一般化は、数論において根本的に重要です。

モジュラー群 SL(2,  Z ) は、分数線型変換によって上半平面に作用する。モジュラー曲線の解析的定義には、SL(2,  Z ) の合同部分群 Γ、すなわち、ある正の整数Nに対するレベルNの主合同部分群を含む部分群の選択が含まれる。これは次のように定義される。

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ かつ }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

このようなN の最小値はΓ のレベルと呼ばれます。商 Γ\ Hに複素構造を置くと、モジュラー曲線と呼ばれる非コンパクトなリーマン面が得られ、一般にY (Γ) と表記されます。

Y (Γ)の一般的なコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を追加することで得られます。具体的には、これは拡張された複素上半平面 H * =  H ∪ Q ∪ {∞ } 上の Γ の作用を考慮することで行われます。基底として H *上の位相を導入します。

• Hの任意の開集合、
• すべてのr > 0に対して、集合${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$
• 互いに素な整数 a、cとr >0のすべてに対して、の作用による像は${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}$

ここで、m、nはan + cm = 1となる整数です。

これにより、H * はリーマン球面 P ¹ ( C )のサブセットである位相空間になります。 Γ 群はサブセットQ ∪ {∞ } に作用し、それをΓ のカスプと呼ばれる有限個の軌道に分割します。 Γ がQ ∪ {∞ } に推移的に作用する場合、空間 Γ\ H *は Γ\ Hのアレクサンドロフコンパクト化になります。 もう一度、複素構造を商 Γ\ H * に置くことができ、それをX (Γ)で示されるリーマン面に変換します。これはコンパクトになります。 この空間はY (Γ)のコンパクト化です。 ^[1]

_{最も一般的な例は、}サブグループΓ( N )、Γ0 ( N )、およびΓ1 ( N )に関連付けられた曲線X ( N ) 、_X0 ( N )、およびX1 ₍ N )です。

モジュラー曲線X (5)は種数0である。これは正二十面体の頂点に位置する12個の尖点を持つリーマン球面である_。被覆X (5)→ X (1)はリーマン球面への二十面体群の作用によって実現される。この群はA5およびPSL(2,5) と同型の位数60の単純群である。

モジュラー曲線X (7) は、24 個の尖端を持つ種数 3 のクラインの4 次曲線です。これは、各面の中心に尖端があり、24 個の七角形が敷き詰められた 3 つのハンドルを持つ曲面として解釈できます。これらの敷き詰めは、デサン・ダンファンとベーリ関数によって理解できます。尖端は ∞ 上にある点 (赤い点) であり、辺の頂点と中心 (黒と白の点) は 0 と 1 上にある点です。被覆X (7) →  X (1) のガロア群は、 PSL(2, 7)と同型の位数 168 の単純群です。

X ₀ ( N ) には、古典的なモジュラー曲線という明示的な古典モデルがあります。これは、モジュラー曲線と呼ばれることもあります。 Γ( N )の定義は、次のように言い換えることができます。これは、 Nを法とする 縮小の核であるモジュラー群の部分群です。すると、 Γ ₀ ( N ) は、 N を法とする上三角行列のより大きな部分群になります。

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},}$

Γ ₁ ( N ) は次のように定義される中間群である。

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

これらの曲線は、レベル構造を持つ楕円曲線のモジュライ空間として直接解釈できるため、数論幾何学で重要な役割を果たします。レベルNモジュラー曲線X ( N ) は、 N捩れの基底を持つ楕円曲線のモジュライ空間です。X ₀ ( N ) とX ₁ ( N ) の場合、レベル構造はそれぞれ、位数Nの巡回部分群と位数Nの点です。これらの曲線は詳細に研究されており、特に、X ₀ ( N ) はQ上で定義できることが知られています。

モジュラー曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式の最もよく知られた例です。「最良のモデル」は、楕円関数理論から直接得られるモデルとは大きく異なる場合があります。ヘッケ演算子は、モジュラー曲線のペアを接続する 対応として、幾何学的に研究することができます。

Hの商がコンパクトであることは、モジュラー群のサブグループ以外のフックス群Γに対しても起こります。四元数代数から構成されるフックス群のクラスも数論において興味深いものです。

X ( N ) → X (1)の被覆はガロアであり、ガロア群 SL(2, N )/{1, −1} は Nが素数であれば PSL(2, N )に等しい。リーマン・フルヴィッツの公式とガウス・ボネの定理を適用して、 X ( N )の種数を計算できる。素数レベルp ≥ 5 の場合、

${\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,}$

ここで、χ = 2 − 2 gはオイラー特性、| G | = ( p +1) p ( p −1)/2 は群 PSL(2, p )の位数、D = π − π/2 − π/3 − π/ pは球面三角形 (2,3, p ) の角度欠陥です。この式は、

${\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5)。}$

したがって、X (5) の種数は 0、X (7) の種数は 3、X (11) の種数は 26 です。p = 2 または 3 の場合、さらに分岐、つまり PSL(2, Z ) に p 次元が存在することと、PSL ( 2, 2) の種数が 3 ではなく 6 であるという事実を考慮する必要があります。N の約数を含む任意のレベル N のモジュラー曲線 X ( N ) の種数には、より複雑な式があります。

一般に、モジュラー関数体とは、モジュラー曲線の関数体（または、場合によっては、既約多様体であることが判明した他のモジュライ空間の関数体）である。 種数ゼロは、そのような関数体が生成元として単一の超越関数を持つことを意味する。たとえば、j関数は、関数体X (1) = PSL(2, Z )\ H * を生成する。メビウス変換を除いて一意であり、適切に正規化できるこのような生成元の伝統的な名前は、ハウプトモジュラー（主要または主モジュラー関数、複数形はHauptmoduln）である。

空間X ₁ ( n ) は、n  = 1, ..., 10 およびn = 12 に対して種数 0 を持ちます。これらの曲線はそれぞれQ上で定義され、Q有理点を持つため、各曲線上には無数の有理点があり、したがってこれらのnの値に対して、 Q上でn捩れを持つ楕円曲線が無数に存在します。これらのnの値のみが発生し得るという逆の命題は、マズールの捩れ定理です。

モジュラー曲線が種数 1 であるためには、が次の表に挙げた 12 個の値のいずれかに等しいことが必要です。^[2]上の楕円曲線であるため、これらには極小の積分ワイエルシュトラスモデル が存在します。これは であり、判別式の絶対値は同じ曲線のすべての積分ワイエルシュトラスモデルの中で最小です。次の表には、唯一の簡約された極小の積分ワイエルシュトラスモデルが含まれており、これはおよび を意味します。^[3]この表の最後の列は、L 関数とモジュラー形式のデータベース (LMFDB)にあるそれぞれの楕円モジュラー曲線のホームページを参照しています。 ${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$${\displaystyle \textstyle a_{j}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}}$${\displaystyle \textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}}$${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$

種数 0 のモジュラー曲線は非常にまれですが、モンスターのムーンシャイン予想との関連で非常に重要であることが判明しました。それらの Hauptmoduln のq展開の最初のいくつかの係数は 19 世紀にすでに計算されていましたが、同じ大きな整数が最大の散在単純群 Monster の表現の次元として現れるのは衝撃的でした。

もう 1 つの関連性は、SL(2, R ) における Γ 0 ( p ) の正規化子 Γ 0 ( p ) + に対応するモジュラー曲線が種数 0 となるのは、 p が 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、または 71 の場合のみであり、_これらは密造酒理論における_超特異素数、^つまりモンスター群の位数の素因数に正確である。Γ 0 ( p ) + に関する結果は、1970 年代の Jean-Pierre Serre 、Andrew Ogg、および John G. Thompson によるものであり、その後のモンスター群との関連_に関する観察は、^この事実を説明できる人にジャックダニエルのウイスキーを 1 本提供するという論文を書いた Ogg によるものであり、これがモンスター密造酒理論の出発点となった。^[4]

この関係は非常に深く、リチャード・ボルチャーズによって実証されたように、一般化されたカッツ・ムーディ代数も関係しています。この分野の研究は、カスプを含むあらゆる場所で正則なモジュラー形式とは対照的に、有理型でカスプに極を持つことができるモジュラー関数の重要性を強調し、20世紀の大半にわたって主要な研究対象となってきました。

• マニン・ドリンフェルトの定理
• 楕円曲線のモジュライスタック
• モジュラリティ定理
• 志村多様体、モジュラー曲線の高次元への一般化

• スティーブン・D・ガルブレイス - モジュラー曲線の方程式