p進ホッジ理論

数学において、p進ホッジ理論は、残差特性pを持つ特性 0局所体^[1]のp進ガロア表現( Q _pなど) を分類および研究する方法を提供する理論です。この理論は、ジャン＝ピエール・セール ( Jean-Pierre Serre )とジョン・テイト ( John Tate )によるアーベル多様体のテイト加群の研究とホッジ–テイト表現の概念に端を発しています。ホッジ–テイト表現は、ホッジ分解に類似したp進コホモロジー理論の特定の分解に関連しているため、 p進ホッジ理論という名前が付けられています。多様体のエタールコホモロジーから生じるp進ガロア表現の特性に触発されて、さらなる発展がもたらされました。ジャン＝マルク・フォンテーヌは、この体の基本概念の多くを導入しました。

を特性 の留数体を持つ局所体とする。この記事では、（または の絶対ガロア群）の-進表現は連続表現となり、 は上の有限次元ベクトル空間となる。のすべての -進表現の集合は、この記事で示されるアーベル圏を形成する。 -進ホッジ理論は、-進表現の良し悪しに基づいてそのサブコレクションを提供し、また、研究しやすい線型代数オブジェクトの圏に対する忠実な関手を提供する。基本的な分類は以下のとおりである: ^[2]${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \rho :G_{K}\to {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbb {Q} _{p}}(K)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{ss}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbb {Q} _{p}}(K)}$

ここで、各コレクションは、次のコレクションに適切に含まれる完全なサブカテゴリです。順に、これらは結晶表現、半安定表現、de Rham 表現、Hodge–Tate 表現、およびすべてのp進表現のカテゴリです。さらに、潜在的に結晶表現と潜在的に半安定表現 という2 つの他の表現カテゴリを導入できます。後者は前者を厳密に含み、前者は一般に厳密に を含みます。さらに、一般に は厳密に を含み、 は に含まれます( の留数体が有限である場合に等しく、このステートメントは p 進モノドロミー定理と呼ばれます)。 ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pcrys} }(K)}$${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pss} }(K)}$${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)}$${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pss} }(K)}$${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {ss} }(K)}$${\displaystyle \operatorname {Rep} _{dR}(K)}$${\displaystyle K}$

フォンテーヌによって導入されたp進ホッジ理論の一般的な戦略は、 G _Kによる作用と何らかの線型代数構造の両方を持つB _dR、Bst、Bcris、BHTなどのいわゆる周期環^[3]を構築し、いわゆるディウドネ加群を考慮することである。

${\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}}$

（ただし、Bは周期環、Vはp進表現）は、もはやG _K作用を持たないが、環Bから継承された線型代数構造を備えている。特に、これらは固定体上のベクトル空間である。^{[4]この構成は、フォンテーヌによって導入された}B許容表現の形式論に適合する。前述の周期環B _∗ （ ∗ = HT、dR、st、cris の場合）のような周期環の場合 、上記のp進表現Rep _∗ ( K ) のカテゴリは、 B _∗許容表現のカテゴリ、つまり、${\displaystyle E:=B^{G_{K}}}$

${\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

あるいは、同等の比較射

${\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{ p}}V}$

は同型です。

この形式主義（および周期環という名前）は、算術幾何学と複素幾何学における比較同型に関するいくつかの結果と予想から生まれました。

• X がC上の適切な 滑らかな スキームである場合、 C上のXの代数的ド・ラームコホモロジーとX ( C )の特異コホモロジーの間には古典的な比較同型性が存在する。

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\時々 _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} .}$

この同型性は、代数的ド・ラーム・コホモロジーの微分形式を特異コホモロジーのサイクル上で積分することによって得られるペアリングを考慮することによって得ることができる。このような積分の結果は周期と呼ばれ、一般に複素数である。これは、特異コホモロジーがCにテンソル化されなければならない理由を説明しており、この観点から、C は代数的ド・ラーム・コホモロジーを特異コホモロジーと比較するために必要なすべての周期を含むと言えるため、この状況では周期環と呼ぶことができる。

• 1960年代半ば、テイトは、代数的ド・ラーム・コホモロジーとp進エタール・コホモロジーの間のK上の適切な滑らかなスキームXに対して同様の同型が成り立つはずだと予想した^{[5]（ホッジ・テイト予想、C} _HTとも呼ばれる）。具体的には、C _{K を}Kの代数的閉包の完備化とし、C _K ( i ) をC _Kと表し、 G _Kの作用がg · z = χ( g ) ⁱ g · z（ここで χ はp進円分指標、iは整数）を介して行われるものとし、とする。このとき、関数同型が存在する。${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)}$

${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} } \otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

G _K作用を持つ次数付きベクトル空間の集合（ド・ラーム・コホモロジーにはホッジ濾過が備わっており、それに関連する次数付きである）。この予想は、他の数人の数学者（テイト自身を含む）による部分的な結果の後に、 80年代後半にゲルト・ファルティングスによって証明された^[6]。${\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }}$

• p進体K上の良好な簡約を持つアーベル多様体Xに対して、アレクサンダー・グロタンディークはテイトの定理を再定式化し、特殊ファイバーの結晶コホモロジーH ¹ ( X / W ( k )) ⊗ Q _p (この群上のフロベニウス自己準同型とKでテンソル化されたこの群上のホッジ濾過を伴う) とp進エタールコホモロジーH ¹ ( X , Q _p ) ( Kのガロア群の作用を伴う) は同じ情報を含むと述べた。両方とも、同型性を除いて、 Xに関連付けられたp分割群と同値である。グロタンディークは、 p進体上の良好な簡約を持つすべての多様体に対して、 p進エタールコホモロジーから結晶コホモロジーへ (そしてその逆へ)直接行く方法があるはずだと予想した。 ^{[7]この示唆された関係は}神秘的な関手として知られるようになった。

ホッジ・テイト予想を、ド・ラーム・コホモロジー（その付随する次数だけでなく）を含む予想に改良するために、フォンテーヌは^{[8]付随する次数が}B _HTであるフィルタリングされた環B _dRを構築し、K上の任意の滑らかな適切なスキームXに対して次の予想（C _{dRと呼ばれる）} ^{[9]を立てた。}

${\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\ mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

G _K作用を持つフィルタ付きベクトル空間として。このように、B _{dR は}、代数的ド・ラーム・コホモロジーをp進エタール・コホモロジーと比較するために必要なすべての ( p進) 周期を含むと言えます。これは、上記の複素数が特異コホモロジーとの比較に使用されたのと同じです。これが、B _{dR が}p 進周期の環という名前を得る理由です。

同様に、グロタンディークの神秘的な関手を説明する予想を定式化するために、フォンテーヌは、K _0からKまでスカラーを拡張した後、 G _K作用を持つ環B _cris、"フロベニウス" φ 、およびフィルタリングを導入しました。彼は、K上の任意の滑らかな適切なスキームXに対して、良好な還元を持つ 次の予想 (C _crisと呼ばれる)を立てました^[10]。

${\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

φ作用、G _K作用、スカラーをKに拡張した後の濾過を伴うベクトル空間として（ここでは結晶コホモロジーとの比較により、φ作用を伴うK ₀ベクトル空間としての構造が与えられている）。C _dR予想と C _cris予想は両方ともファルティングスによって証明された。^[11]${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)}$

これら2つの予想を上記のB _∗ -許容表現の概念と比較すると、 XがK上の適切な滑らかなスキーム（良好な還元を伴う）であり、Vがi番目のp進エタールコホモロジー群として得られたp進ガロア表現である場合、

${\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).}$

言い換えれば、デュドネ加群はVに関連する他のコホモロジーを与えるものと考えるべきです。

1980年代後半、フォンテーヌとウーヴェ・ヤンセンは、今度はXが半安定な縮約を持つことを認める、別の比較同型予想C st を定式化した。フォンテーヌは^、 G K_作用、 "フロベニウス_" φ、スカラーをK _0からKに拡張した後のフィルタリング（およびp進対数の拡張を固定）、および「モノドロミー演算子」N を持つ環B st [12] を構築した。Xが半安定な縮約を持つ場合、兵頭修が最初に導入した対数結晶コホモロジーとの比較により、ド・ラーム・コホモロジーにφ作用とモノドロミー演算子を装備できる。^[13]この予想は、

${\displaystyle B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {log-cris} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

φ作用、G _K作用、スカラーをKに拡張した後の濾過、モノドロミー作用素Nを持つベクトル空間として予想されます。この予想は 1990 年代後半に辻健によって証明されました。^[14]

• ホッジ理論
• アラケロフ理論
• ホッジ・アラケロフ理論
• p進タイヒミュラー理論

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