ヒルツェブルッフ面

数学において、ヒルツェブルッフ面は射影直線上の線織面である。これらはフリードリヒ・ヒルツェブルッフ (1951) によって研究された。

ヒルツェブルッフ面は、射影直線 上の-束（射影束）で、層に関連付けられています。ここでの表記は、 が、単一の点に関連付けられたカルティエ因子を持つ可逆層または直線束であるセールねじれ層のn番目のテンソル冪であることを意味します。この面はと同型であり、ある点で拡大された射影平面と同型であるため、極小ではありません。 ${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Hirzebruch 面を構成する方法の 1 つは、GIT 商^{[1] : 21}を使用することです。ここで、 の作用はによって与えられます。この作用は、 の への作用 と解釈できます。最初の 2 つの因子はへのの作用によって定義され、2 番目の作用は 上の直線束の直和の構築とその射影化の組み合わせです。直和の場合、これは商多様体^{[1] : 24}によって与えられます。ここで、 の作用はによって与えられます。次に、射影化は別の- 作用^{[1] : 22}によって与えられ、同値類を に送ります。これら 2 つの作用を組み合わせると、上にある元の商が得られます。 $${\displaystyle \Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$$${\displaystyle (\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\ mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})}$$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$$${\displaystyle \lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})}$$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$$${\displaystyle \mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]}$$

この -バンドルを構築する方法の 1 つは、遷移関数を使用することです。アフィンベクトルバンドルは必然的に自明であるため、によって定義されるの チャート上にはバンドルのローカルモデルがあります。次に、 の遷移マップから誘導される遷移マップは、を送信するマップを与えます。ここで、 は上のアフィン座標関数です。^[2]${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U_{0},U_{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle x_{i}\neq 0}$$${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$$${\displaystyle U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}}$$$${\displaystyle (X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

グロタンディークの定理により、上の任意の階数 2 のベクトル束に対して、 となる数が存在することに留意してください。射影束を取ることは直線束によるテンソル化に対して不変であるため、^[3]に関連付けられた線織面はヒルツェブルッフ面です。これは、この束が によってテンソル化できるためです。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).}$$${\displaystyle E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}$${\displaystyle \Sigma _{b-a}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-a)}$

特に、上記の観察は、ベクトル束の同型性が存在するため、との間に同型性を与える。${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \Sigma _{-n}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}}$$

射影バンドルは、代数の次数層から形成されるRelative Proj を使って構成できることを思い出してください。最初のいくつかの対称モジュールは、非自明な反対称 -モジュールが存在するため、特別です。これらの層は表にまとめられています。対称層は次のように与えられます。$${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{i}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$$${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {O}}(-n)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{0}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\\\operatorname {Sym} ^{1}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\\\operatorname {Sym} ^{2}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-2n)\end{aligned}}}$$${\displaystyle i>2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{k}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathcal {O}}^{\otimes (n-i)}\otimes {\mathcal {O}}(-in)\\&\cong {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-kn)\end{aligned}}}$$

n > 0 のヒルツェブルッフ面には、特殊な有理曲線 C が存在します。この曲面は の射影バンドルで、曲線Cは零断面です。この曲線は自己交差数− nを持ち、自己交差数が負である唯一の既約曲線です。自己交差数がゼロである唯一の既約曲線は、ヒルツェブルッフ面のファイバーです ( 上のファイバーバンドルと見なされます)。ピカール群は曲線Cとファイバーの 1 つによって生成され、これらの生成元は交差行列を持つため、双線形形式は 2 次元ユニモジュラであり、nが偶数か奇数かによって偶数または奇数になります。特殊な曲線C上の点で拡大されたヒルツェブルッフ面Σ _n ( n > 1 ) は、特殊な曲線上以外の点で拡大された Σ _{n +1}と同型です。${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},}$$

ヒルツェブルッフ面には、複素トーラスの作用を与えることができる。その作用の1 つは、 2 つの固定軸点を持つベースに作用し、もう 1 つはベクトル束のファイバー、具体的には最初の線束成分、したがって射影束に作用する。これにより、Tの開軌道が生成され、トーリック多様体が形成される。関連するファンは、標準格子を 4 つの円錐 (それぞれが座標チャートに対応) に分割し、4 つのベクトルに沿った光線で区切られる。^[4]${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle T=\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\textstyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (1,0),(0,1),(0,-1),(-1,n).}$

上記の理論はすべて、商や座標チャートによる多様体の構築、明示的な交差理論など、任意のトーリック多様体に一般化されます。

を除く任意の滑らかなトーリック面は、ヒルツェブルッフ面をT固定点で繰り返し拡大することによって構築できる。^[5]${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

• 射影束

• バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• ボーヴィル、アルノー (1996)、「複素代数面」、ロンドン数学会学生テキスト、第34巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-49510-3、MR 1406314
• Hirzebruch、Friedrich (1951)、「Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten」、Mathematische Annalen、124 : 77–86、doi :10.1007/BF01343552、hdl : 21.11116/0000-0004-3A56-B、ISSN  0025-5831、MR  0045384、S2CID  122844063

• マニフォールドアトラス
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952