ヒッグス束

数学において、ヒッグス束は、正則ベクトル束Eとヒッグス場からなる対である。ヒッグス場は、 Eの自己準同型の束に値を取り、となるような正則 1 形式である。このような対はナイジェル・ヒッチン (1987) ^[1]によって導入され、ヒッグス粒子との類似性からピーター・ヒッグスにちなんでヒッグス場に名前を付けた。「ヒッグス束」という用語と条件(リーマン面に関するヒッチンの元の設定では空である) は、後にカルロス・シンプソンによって導入された。^[2]${\displaystyle (E,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi \wedge \varphi =0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi \wedge \varphi =0}$

ヒッグス束は、導関数がゼロにスケールされた、正則ベクトル束上の平坦な正則接続の「簡略版」と考えることができる。非可換ホッジ対応によれば、適切な安定性条件下では、滑らかな射影複素代数多様体上の平坦な正則接続のカテゴリ、多様体の基本群の表現のカテゴリ、およびこの多様体上のヒッグス束のカテゴリは、実際には同等である。したがって、より単純なヒッグス束を扱うことで、平坦接続を持つ ゲージ理論に関する結果を推論することができる。

ヒッグス束は、1987年にヒッチンによって初めて導入されました^[1] 。これは、正則ベクトル束Eがコンパクトな リーマン面上にある特定のケースです。さらに、ヒッチンの論文では、ベクトル束がランク2の場合（つまり、ファイバーが2次元ベクトル空間の場合）が主に議論されています。ランク2ベクトル束は、主SU(2)束に対するヒッチンの方程式の解空間として生じます。

リーマン面の理論は、カルロス・シンプソンによって、基本多様体がコンパクトでケーラーの場合に一般化されました。次元 1 の場合に制限すると、ヒッチンの理論が復元されます。

ヒッグス束の理論において特に興味深いのは、安定したヒッグス束の概念です。そのためには、まず -不変なサブバンドルを定義する必要があります。 ${\displaystyle \varphi}$

ヒッチンの元々の議論では、 Lとラベル付けされた階数 1 の部分バンドルは、 リーマン面M上の標準バンドルに対して である場合に -不変です。また、の各不変部分バンドルに対して がリーマン面上の複素ベクトルバンドルの次数の通常の概念である 場合に、ヒッグスバンドルが安定です。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi (L)\subset L\otimes K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (E,\varphi )}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle \operatorname {deg} L<{\frac {1}{2}}\operatorname {deg} (\wedge ^{2}E),}$$${\displaystyle \operatorname {deg} }$

• ヒッチンシステム

• コーレット、ケビン (1988)。「標準計量を持つ平坦な G バンドル」。微分幾何学ジャーナル。28 (3): 361–382。doi : 10.4310/ jdg /1214442469。MR  0965220 。
• ゴーセン、ピーター B.; ガルシア・プラダ、オスカー; ブラッドロー、スティーブン B. (2007)、「ヒッグス束とは何か?」(PDF)、アメリカ数学会誌、54 (8): 980–981、MR  2343296