小林メトリック

数学、特に複素幾何学において、小林計量は任意の複素多様体に本質的に関連する擬計量である。これは1967 年に小林昭七によって導入された。小林双曲多様体は複素多様体の重要なクラスであり、小林擬計量が計量であるという性質によって定義される。複素多様体Xの小林双曲性は、複素直線CからXへのすべての正則写像が定数であることを意味する。

この概念の起源は、複素解析におけるシュワルツの補題にある。すなわち、f が複素数Cの開単位円板D上の正則関数で、Dのすべてのzに対してf (0) = 0 かつ | f ( z )| < 1である場合、導関数f '(0) の絶対値は高々 1 である。より一般的には、Dからそれ自身への任意の正則写像fに対して（必ずしも 0 を 0 に写すとは限らない）、Dの任意の点におけるfの導関数にはより複雑な上限が存在します。ただし、この上限はポアンカレ計量によって簡単に定式化されます。ポアンカレ計量は、 D上の曲率−1の完全リーマン計量です（双曲面に等長）。すなわち、 Dからそれ自身へのすべての正則写像は、D上のポアンカレ計量に関して距離が減少する。

これは複素解析と負の曲率の幾何学との強いつながりの始まりである。任意の複素空間 X（例えば複素多様体）に対して、小林擬距離 dX_はX上の最大の擬距離として定義され、

${\displaystyle d_{X}(f(x),f(y))\leq \rho (x,y)}$、

単位円板DからXへのすべての正則写像fに対して成り立ち、ここで はD上のポアンカレ計量の距離を表す。^[1]ある意味では、この公式はシュワルツの補題をすべての複素空間に一般化しているが、小林擬距離d _{X が}恒常的にゼロになる可能性があるという意味で空である可能性がある。たとえば、X が複素直線Cのとき、これは恒常的にゼロになる。(これは、 C が任意に大きな円板、つまり、任意に大きな正の数aに対してf ( z ) = azで与えられる正則写像f _a : D → Cの像を含むために起こる。) ${\displaystyle \rho (x,y)}$

複素空間X は、小林擬距離d _Xが距離である場合、つまりX内のすべてのx ≠ yに対してd _X ( x , y ) > 0 である場合、小林双曲的であるという。非公式には、これは、 Xに正則写像する円板のサイズに真の上限があることを意味する。これらの用語では、シュワルツの補題は、単位円板Dが小林双曲的であり、より正確には、 D上の小林距離がポアンカレ距離とまったく同じであることを意味する。小林双曲多様体の例が増えるにつれて、理論はより興味深いものになる。(小林双曲多様体Xの場合、小林距離はXの複素構造によって本質的に決定される距離である。これが起こるかどうかはまったく明らかではない。正の次元の実多様体は、その微分同相群が大きすぎてそれを許さないため、この意味での固有の距離を持つことはない。)

1. 複素空間のすべての正則写像f : X → Yは、 XとYの小林擬距離に関して距離が減少する。したがって、複素空間Y内の 2 つの点pとq が正則写像C → Yの連鎖によって接続できる場合、d _Y ( p , q ) = 0 となり、これを使用するとd _{C は}恒等的にゼロになる。これにより、小林擬距離が恒等的にゼロになる複素多様体の多くの例が得られる。複素射影直線CP ¹、またはより一般的には複素射影空間CP ⁿ、C −{0} (指数関数C → C −{0} を使用)、楕円曲線、またはより一般的にはコンパクト複素トーラス。
2. 小林双曲性は、開いた部分集合または閉じた複素部分空間に移行しても維持されます。したがって、たとえば、C ⁿ内の任意の有界領域は双曲的になります。
3. 複素空間が小林双曲的であるための必要十分条件は、その普遍被覆空間が小林双曲的である場合である。^[2]均一化定理は、ほとんどの複素曲線（リーマン面とも呼ばれる）が円板Dに同型の普遍被覆を持つことを示しているため、これにより双曲的複素曲線の例が多数得られる。特に、種数2 以上のコンパクト複素曲線はすべて双曲的であり、 C内の 2 点以上の補点も双曲的である。

小林双曲空間Xでは、小林擬距離の距離減少特性により、すべての正則写像C → X は定数である。これは、双曲性の最も重要な帰結であることが多い。たとえば、 Cマイナス 2 点が双曲的であるという事実は、任意の非定数整関数C → Cの像はCの最大 1 点を欠落するというピカール定理を意味する。ネヴァンリンナ理論は、ピカール定理のより定量的な派生である。

ブロディの定理によれば、コンパクト複素空間Xが小林双曲的であるための必要十分条件は、すべての正則写像C → Xが定数である場合である。^{[3]応用として、双曲性はコンパクト複素空間の族に対する開条件 (ユークリッド位相において) である。 [4]} マーク・グリーンは、ブロディの議論を用いて、コンパクト複素トーラスの閉複素部分空間Xの双曲性を特徴付けた。Xが双曲的であるための必要十分条件は、正次元部分トーラスの平行移動を含まないことである。^[5]

複素多様体Xが負の定数で上が制限される正則断面曲率を持つエルミート計量を持つ場合、 Xは小林双曲的である。^{[6]次元1では、これは}アルフォース-シュワルツの補題と呼ばれる。

上記の結果は、どの複素多様体が複素次元 1 で小林双曲的であるかを完全に記述している。高次元では図があまり明確ではない。中心的な未解決問題は、グリーン・グリフィス・ラング予想である。つまり、X が一般型の複素射影多様体である場合、 Xと等しくない閉じた代数部分集合Yが存在し、すべての非定数正則写像C → X がYに写像されるはずである。^[7]

クレメンスとヴォワザンは、 n が少なくとも 2 の場合、 CP ^{n +1}内のdが少なくとも 2 n +1次である非常に一般的な超曲面 X は、 Xのすべての閉部分多様体が一般型であるという性質を持つことを示した。 ^{[8] (「非常に一般的」とは、そのような超曲面すべての射影空間の低次元代数的部分集合の}可算和の外側にあるd次すべての超曲面に対して、その性質が成り立つことを意味する。) 結果として、グリーン–グリフィス–ラング予想は、少なくとも 2 n +1 次である非常に一般的な超曲面が小林双曲的であることを意味する。特定の次数の滑らかな超曲面がすべて双曲的であるとは期待できないことに注意する必要がある。たとえば、一部の超曲面には直線 ( CP ¹と同型) が含まれるためである。このような例は、グリーン–グリフィス–ラング予想における 部分集合Yの必要性を示している。

双曲性に関する予想は、ジェット微分法の手法を用いた、Siu、Demaillyらによる一連の進歩のおかげで、十分に高い次数の超曲面については知られている。例えば、Diverio、Merker、Rousseauは、CP ^{n +1}内の少なくとも次数 2 ^{n 5}の一般超曲面がグリーン・グリフィス・ラング予想を満たすことを示した。^[9]（「一般」とは、すべての超曲面の射影空間の低次元代数部分集合の有限和の外側にある、与えられた次数のすべての超曲面に対してこれが成り立つことを意味する。）2016年に、Brotbek ^[10]は、ロンスキ微分方程式の使用に基づいて、高次数の一般超曲面の双曲性に関する小林予想の証明を与えた。明示的な次数境界は、Ya DengとDemaillyによって任意の次元で得られており、後者は例えば[ (en) ²ⁿ⁺² /3 ]としている。 ^[11]低次元では次数のより良い境界が知られている。

マクキランは、チャーン数がc ₁ ² > c ₂を満たす一般型のあらゆる複素射影面に対してグリーン・グリフィス・ラング予想を証明した。^[12]一般型の任意の多様体Xに対して、デマイリーは、あらゆる正則写像C → Xがいくつかの（実際には多くの）代数微分方程式を満たすことを示した。^[13]

逆に、小林はカラビ・ヤウ多様体に対して小林擬距離が恒等的にゼロであると予想した。これはK3 曲面の場合に当てはまり、すべての射影 K3 曲面は楕円曲線の族で覆われていることが用いられる。^{[14]より一般的には、カンパーナはどの複素射影多様体}Xの小林擬距離がゼロになるかについて正確な予想を与えた。つまり、これはXが一般型の正次元オービフォールド上に有理ファイバーを持たないという意味でXが特殊であることと同値であるはずである。^[15]

射影多様体Xについて、正則写像C → Xの研究は、数論の中心的なテーマであるXの有理点の研究とある程度類似している。この 2 つの主題の関係については、いくつかの予想がある。特に、X を数体k上の射影多様体とする。 kのCへの埋め込みを固定する。すると、 Lang は、複素多様体X ( C ) が小林双曲的であるための必要十分条件は、 kのすべての有限拡大体Fに対してX が有限個のF有理点のみを持つ場合であると予想した。これは、有理点に関する既知の結果、特にアーベル多様体のサブ多様体に関するファルティングスの定理と一致している。

より正確には、X を数体k上の一般型の射影多様体とする。例外集合 Y をすべての非定数正則写像C → Xの像の和集合のザリスキ閉包とする。グリーン・グリフィス・ラング予想によれば、Y はXの適切な閉部分集合でなければならない（特に、Xと等しくてはならない）。強いラング予想は、 Yがk上で定義され、kのすべての有限拡大体Fに対してX − Yには有限個のF有理点しかないことを予言する。^[16]

同様の考え方で、数体k（またはより一般的には、特性がゼロの有限生成体k ）上の射影多様体Xに対して、カンパーナは、 X ( C )の小林擬距離が恒等的にゼロになるための必要十分条件は、 Xが潜在的に稠密な有理点を持つ場合であり、これはkの有限拡大体Fが存在し、 F有理点の集合X ( F )がXにおいてザリスキ稠密であることを意味すると予想した。^[17]

カラテオドリ計量は複素多様体上のもう一つの本質的擬測度であり、単位円板からではなく単位円板への正則写像に基づいています。小林無限小擬測度はフィンスラー擬測度であり、その関連する距離関数は上で定義された小林擬測度です。^[18]小林–アイゼンマン擬体積形式は、 n次元多円板からXへの正則写像に基づく、複素n多様体上の本質的測度です。これは小林擬測度よりもよく理解されています。特に、一般型のすべての射影多様体は測度双曲的であり、小林–アイゼンマン擬体積形式は低次元代数部分集合の外側では正であることを意味します。^[19]

類似の擬似測量は平坦なアフィン構造や射影構造、さらにより一般的な射影接続や共形接続に対しても考慮されてきた。^[20]

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