トーリック多様体

代数幾何学において、トーリック多様体またはトーラス埋め込みは、開稠密部分集合として代数トーラスを含む代数多様体であり、トーラスの自身への作用は多様体全体に及ぶ。著者によっては、それが正規であることも要求する。トーリック多様体は、代数幾何学における重要かつ豊富な例のクラスを形成し、しばしば定理の試験場を提供する。トーリック多様体の幾何学は、それに関連するファンの組合せ論によって完全に決定され、多くの場合、計算がはるかに扱いやすくなる。特定の特殊だが依然として非常に一般的なトーリック多様体のクラスでは、この情報も多面体にエンコードされ、主題と凸幾何学との強力なつながりを生み出す。トーリック多様体のよく知られた例としては、アフィン空間、射影空間、射影空間の積、射影空間上のバンドルなどがある。

トーリック多様体を研究する元々の動機は、トーラス埋め込みを研究するためでした。代数トーラス が与えられた場合、指標の群は格子 を形成します。この格子の部分集合である点の集合 が与えられた場合、各点は への写像を決定し、したがって集合は への写像を決定します。このような写像の像のザリスキ閉包を取ることで、アフィン多様体が得られます。^[1]格子点の集合が指標格子を生成する場合、この多様体はトーラス埋め込みです。同様に、上記の写像の射影閉包を取り、それを射影空間のアフィンパッチへの写像と見なすことで、パラメーター化された射影トーリック多様体を作成できます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \hom(T,\mathbb {C} ^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{*}\right)^{|{\mathcal {A}}|}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

射影トーリック多様体が与えられた場合、1 パラメータ部分群によってその形状を調べることができることに注意してください。特性格子の双対である格子内の点によって決定される各 1 パラメータ部分群は、射影トーリック多様体の内部の穴あき曲線です。多様体はコンパクトなので、この穴あき曲線には一意の極限点があります。したがって、1 パラメータ部分群格子を穴あき曲線の極限点で分割すると、多面体有理錐の集合である格子ファンが得られます。最高次元の錐は、これらの穴あき曲線の極限であるトーラスの固定点に正確に対応します。

が有限階数の自由アーベル群、例えば格子 であるとします。 における強凸有理多面体錐は、頂点が原点にある凸錐（ の実ベクトル空間の）で、 の有限個のベクトルによって生成され、原点を通る直線を含まないものです。これらを略して「錐」と呼びます。ベクトルの集合によって生成される場合、 と表記されます。1 次元の錐は光線 と呼ばれます。錐の場合、そのアフィン トーリック多様体はへの双対錐のモノイド代数のスペクトルです。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}}$${\displaystyle {\text{cone}}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}\colon a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle U_{\sigma}}$${\displaystyle \sigma}$

ファンは、交差と面を取ることで閉じた円錐の集合です。ファンの基底空間は円錐の和集合であり、 で表されます。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle |\Sigma |}$

強凸有理錐の扇のトーリック多様体は、その円錐のアフィントーリック多様体をとり、がの面であるときはいつでも、それらをの開部分多様体と同一視することによって互いに接着することによって与えられる。逆に、すべてのトーリック多様体には、強凸有理錐の扇が関連付けられている。この一対一同値性は、トーリック幾何学の基本定理と呼ばれる。^[2]${\displaystyle U_{\sigma}}$${\displaystyle U_{\tau}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$

トーリック多様体に関連付けられたファンは、多様体に関するいくつかの重要なデータを凝縮します。たとえば、カルティエ因子はファンの光線に関連付けられます。さらに、ファン内のすべての円錐が自由アーベル群の基底のサブセットによって生成できる場合、トーリック多様体は滑らか、つまり非特異であり、ファンが完備、つまりその基礎空間がベクトル空間全体である場合、トーリック多様体 はコンパクトです。${\displaystyle N}$

およびがそれぞれ格子およびのファンであると仮定します。 が から への線型写像で、 のすべての円錐の像が の円錐に含まれる場合、は対応するトーリック多様体間の射を誘導します。 この写像は、の写像の下での の逆像がである場合に限り、適切です。 ${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle |\Sigma _{2}|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |\Sigma _{1}|}$

トーリック多様体は、ある複素射影空間に埋め込むことができる場合、射影多様体である。

を多面体とします。の任意の頂点について、の頂点における法円錐は、を含む面の外部法線によって生成される円錐です。の法扇は、 の各頂点における法円錐を最大円錐とする扇です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

射影トーリック多様体は有理多面体の正規扇から生じるものであることはよく知られている。^[3]

例えば、複素射影平面は 三角形、つまり-単体から生まれます。これは、次の条件を満たす3つの複素座標で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}$

ここで、合計は射影マップの実際の再スケーリング部分を考慮して選択されており、座標はさらに次のアクションによって識別される必要があります。 ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\おおよそ e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}$

トーリック幾何学のアプローチは次のように書く。

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\! }$

座標は非負であり、三角形をパラメータ化する。 ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

つまり、

${\displaystyle \quad z=1-xy.\,\!}$

三角形は、複素射影平面のトーリック ベースです。ジェネリック ファイバーは、 の位相によってパラメーター化された 2 トーラスです。 の位相は、対称性によって実数と正を選択できます。 ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle z_{3}}$${\displaystyle U(1)}$

しかし、2 トーラスは、三角形の境界、つまり または で 3 つの異なる円に退化します。これは、 の位相が重要でなくなるためです。${\displaystyle x=0}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$

トーラス内の円の正確な向きは、通常、線の間隔 (この場合は三角形の辺) の傾きによって表されます。

この構成は、写像がシンプレクティック多様体 へのの作用に対するモーメント写像に関連しているため、シンプレクティック幾何学に関連していることに注意してください。 ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {CP} ^{2}&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(z_{1},z_{2},z_{3})&\mapsto |z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|\end{cases}}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

トーリック幾何学の基本定理から、複素次元でカルティエ因子を持つ滑らかなコンパクトトーリック多様体の分類は、直線を持つ次元の滑らかな完全扇の分類と同等です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

次元の扇形を持つ直線のピカール数は、量 です。これは実際には、 に関連付けられたトーリック多様体のピカール群の階数であることに注意してください。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m-n}$${\displaystyle \Sigma }$

• 次元とピカール数を持つ唯一のトーリック多様体は、複素射影空間です。それに関連するファンには、 の基底に対して、およびによって生成される光線があります。このファンの円錐は、 に対して、、および です。これは、ユニモジュラ-単体に対する通常のファンであり、したがって、自明なステートメントではありますが、射影的です。${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle f=-\sum _{i=1}^{n}e_{i}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\text{cone}}(e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle {\text{cone}}(e_{1},\ldots ,e_{i-1},f,e_{i+1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle n}$

• P.クラインシュミットはピカール数のあらゆる滑らかなコンパクトトーリック多様体を分類したが、それらはすべて射影的である。^[4]${\displaystyle 2}$
• Victor V. Batyrevはピカール数のあらゆる滑らかなコンパクトトーリック多様体を分類したが、それらはすべて射影的である。^[5]この結果はS. ChoiとH. Parkによって異なる手法で証明された。^[6]${\displaystyle 3}$

ピカール数より大きい場合の分類は不明です。 ${\displaystyle 3}$

滑らかなトーリック面は簡単に特徴付けられ、それらはすべて射影的であり、各頂点で 2 つの入射辺が の基底を形成する 2 つのベクトルによって張られるような多角形の通常のファンから生じます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

すべてのトーリック多様体は、別のトーリック多様体によって与えられた特異点の解決を持ち、それは、関連するファンの最大円錐を滑らかなトーリック多様体の円錐に細分化することによって構築できます。

トーリック多様体の考え方は、ファンの特定のデータを多面体のデータとして解釈すると、ミラー多様体の 組み合わせ的構成につながるため、ミラー対称性に役立ちます。

• DA Cox のホームページ。トーリック多様体に関する講義がいくつか掲載されています。

• ゴルダンの補題
• トーリック理想
• トーリックスタック（大まかに言えば、これはGIT商を取るステップを商スタックに置き換えることによって得られる）
• トロイダル埋め込み

• Cox, David (2003)、「トーリック多様体とは何か?」、代数幾何学と幾何学モデリングの話題、Contemp. Math.、vol. 334、プロビデンス、RI: Amer. Math. Soc.、pp. 203–223、MR  2039974
• ミラー、エズラ (2008)、「トーリック多様体とは何か?」(PDF)、アメリカ数学会誌、55 (5): 586–587、ISSN  0002-9920、MR  2404030

• Danilov, VI (1978)、「トーリック多様体の幾何学」、Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo。 Uspekhi Matematicheskikh Nauk、33 (2): 85–134、doi :10.1070/RM1978v033n02ABEH002305、ISSN  0042-1316、MR  0495499

• Kempf, G.; Knudsen, Finn Faye; Mumford, David ; Saint-Donat, B. (1973)、Toroidal Embeddings I、Lecture Notes in Mathematics、vol. 339、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0070318、ISBN 978-3-540-06432-9、MR  0335518
• 小田忠雄 (1988)、凸体と代数幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の成果 (3)]、vol. 15、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-17600-8、MR  0922894
• フルトン、ウィリアム（1993）、トーリック多様体入門、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-00049-7
• コックス、デイビッド A.; リトル、ジョン B.;シェンク、ハル(2011)、「トーリック多様体」、大学院数学研究 (AMS)、124、ISBN 978-1-4704-7820-9
• Buchstaber, Victor M.; Panov, Taras E. (2015)、トーリックトポロジー、Math. Surv. Monogr.、vol. 204、プロビデンス、RI：アメリカ数学会（AMS）、doi：10.1090/surv/204、ISBN 978-1-4704-2214-1、ISSN  0076-5376