バイベクトル（複素数）

数学では、バイベクトルはバイ四元数のベクトル部分です。バイ四元数q = w + x i + y j + z kの場合、w はバイスカラーと呼ばれ、x i + y j + z kはそのバイベクトル部分です。座標w、x、y、z は虚数単位hを持つ複素数です。

${\displaystyle x=x_{1}+\mathrm {h} x_{2},\ y=y_{1}+\mathrm {h} y_{2},\ z=z_{1}+\mathrm {h } z_{2},\quad \mathrm {h} ^{2}=-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}.}$

二乗ベクトルは実数部と虚数部の合計として表すことができます。

${\displaystyle (x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} )+\mathrm {h} (x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} )}$

ここで、およびはベクトルである。したがって、バイベクトル^[1]${\displaystyle r_{1}=x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} }$${\displaystyle r_{2}=x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} }$${\displaystyle q=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} =r_{1}+\mathrm {h} r_{2}.}$

ローレンツ群のリー代数は、バイベクトルによって表現されます。特に、r ₁とr _2が右バーソルでとなる場合、バイクォータニオン曲線{exp θr ₁  : θ ∈ R }は平面{ x + yr ₁  : x , y ∈ R } 上の単位円を何度もトレースします。このような円は、ローレンツ群の空間回転パラメータに対応します。 ${\displaystyle r_{1}^{2}=-1=r_{2}^{2}}$

ここで(h r ₂ ) ² = (−1)(−1) = +1となり、双四元数曲線{exp θ (h r ₂ ) : θ ∈ R }は平面{ x + yr ₂  : x , y ∈ R }上の単位双曲線となる。フィッツジェラルド収縮と時間の遅れ につながるローレンツ群の時空変換は、双曲角パラメータに依存する。ロナルド・ショーの言葉を借りれば、「双ベクトルはローレンツ変換の対数である」^{[2] 。}

このリー代数の交換子積はR ³上の外積のちょうど2倍、例えば[i,j] = ij − ji = 2k であり、これはi × j の2倍である。Shawは1970年に次のように書いている。

現在では、同次ローレンツ群のリー代数は、交換関係にある二ベクトルのリー代数とみなせることがよく知られています。[...] 二ベクトルのリー代数は本質的には複素 3 ベクトルのリー代数であり、リー積は (複素) 3 次元空間におけるおなじみの外積として定義されます。^[3]

ウィリアム・ローワン・ハミルトンはベクトルとバイベクトルという2つの用語を作った。最初の用語は四元数で命名され、2番目の用語は約10年後の『四元数講義』（1853年）で使われた。^{[1] : 665}人気のテキスト『ベクトル解析』（1901年）でもこの用語が使われた。^{[4] : 249}

双ベクトルr = r ₁ + h r ₂が与えられたとき、r ₁とr _2が共役半径のペアである楕円は双ベクトルrの方向楕円と呼ばれる。^{[4] ：436}

複素平面上で基底{1, h}を持つ2×2複素行列として双四元数を標準的な線形表現すると、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}hv&w+hx\\-w+hx&-hv\end{pmatrix}}}$二ベクトルq = v i + w j + x kを表します。

この行列の共役転置は − q に対応するので、バイベクトルqの表現は歪エルミート行列です。

ルドヴィク・シルバーシュタインは、リーマン・シルバーシュタインベクトルとして知られる3つの成分があり、それぞれが複素数である複素数電磁場E + h Bを研究した。^{[5] [6]}

「バイベクトルは、楕円偏波の均質および不​​均質平面波を記述するのに役立ちます。1つのベクトルは伝播方向用、もう1つは振幅用です。」^[7]