ホップ多様体

複素幾何学において、ホップ多様体（ホップ 1948 ） は、複素ベクトル空間 （ゼロを削除したもの）の商空間として得られる。${\displaystyle ({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)}$グループの自由な行動 によって${\displaystyle \Gamma \cong {\mathbb {Z} }}$整数の ジェネレーター${\displaystyle \gamma }$ の${\displaystyle \Gamma }$正則縮約によって作用する。ここで、正則縮約 とは写像のことである。${\displaystyle \gamma$ :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}} 十分大きな反復回数で$\displaystyle \;\gamma ^{N}}$ 任意のコンパクトサブセットをマッピングします${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$0の 任意の小さな近傍に。

2次元ホップ多様体はホップ曲面と呼ばれます。

典型的な状況では、${\displaystyle \Gamma }$線形縮約によって生成される、通常は対角行列${\displaystyle q\cdot Id}$、 と$\displaystyle q\in \mathbb{C}}$ 複素数、​${\displaystyle 0<|q|<1}$このような多様体は古典的ホップ多様体と呼ばれます。

ホップ多様体${\displaystyle H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }}$ は微分同相である$${\displaystyle S^{2n-1}\times S^{1}}$$。 のために${\displaystyle n\geq 2}$これは非ケーラー空間である。実際、第2コホモロジー群がゼロであるため、シンプレクティック空間ですらない。

偶数次元のホップ多様体は 超複素構造を持つ。ホップ曲面は、四元数次元1のコンパクト超複素多様体で、超ケーラー多様体ではない唯一のものである。

• Hopf, Heinz (1948)、「Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten」、1948 年 1 月 8 日、60 歳の誕生日に R. Courant に贈られた研究とエッセイ、Interscience Publishers, Inc.、ニューヨーク、167 ～ 185 ページ、MR 0023054  
• オルネア、リヴィウ (2001) [1994]、「ホップ多様体」、数学百科事典、EMS Press