変形（数学）

数学において、変形理論は、問題の解P をわずかに異なる解P _{εに変化させることに関連する}微小条件の研究です。ここで、 ε は小さな数、または小さな量のベクトルです。微小条件は、制約のある問題を解くために微分積分のアプローチを適用した結果です。この名前は、外力に対応するためにわずかに 変形する非剛性構造に似ています。

いくつかの特徴的な現象としては、ε 量が無視できる平方数を持つものとして扱うことによる一次方程式の導出、解を変化させることができない、または何も新しいことをもたらさない可能性があるという点での孤立解の可能性、および、無限小制約が実際に「積分」され、その解が小さな変化を提供するかどうかという疑問が挙げられます。何らかの形で、これらの考察は数学において何世紀にもわたる歴史を持っていますが、物理学や工学でもそうです。たとえば、数の幾何学では、与えられた解の周りの（群作用の）開軌道の位相的な解釈を伴う、孤立定理と呼ばれる結果のクラスが認識されました。摂動論は、一般に演算子の変形も調べます。

数学における最も顕著な変形理論は、複素多様体と代数多様体の理論である。これは、変形技術がイタリアの代数幾何学学派でかなり試行錯誤的に応用された後、小平邦彦とドナルド・C・スペンサーの基礎研究によって確固たる基盤が築かれた。直観的には、1次の変形理論はザリスキ接空間をモジュライ空間と等しくするはずであると予想される。しかし、一般的な場合には、この現象はかなり微妙であることが判明している。

リーマン面の場合、リーマン球面上の複素構造は孤立している（モジュライがない）と説明できる。種数1の場合、楕円曲線は楕円関数論で示されるように、1パラメータの複素構造族を持つ。一般の小平・スペンサー理論は、変形理論の鍵として層コホモロジー群を 特定している。

${\displaystyle H^{1}(\Theta )\,}$

ここで Θ は正則接束（の切断の芽の層）である。同じ層のH ²には障害があり、これは曲線の場合、次元の一般的な理由により常に 0 である。種数 0 の場合、 H ^{1 も}ゼロになる。種数 1 の場合、次元はホッジ数h ^1,0であり、したがって 1 である。種数 1 のすべての曲線には、形式y ² = x ³ + ax + bの方程式があることが知られている。これらは明らかに 2 つのパラメータ a と b に依存するが、そのような曲線の同型類には 1 つのパラメータしかない。したがって、同型楕円曲線を記述する a と b を関連付ける方程式が存在するはずである。b 2 a ^{−3が同じ値を持つ曲線は、同型曲線を記述すること}がわかる。つまり、a と b を変化させることは、曲線y ² = x ³ + ax + bの構造を変形する 1 つの方法ですが、a、bのすべての変化が実際に曲線の同型類を変えるわけではありません。

種数g > 1の場合、セール双対性を利用してH ¹を

${\displaystyle H^{0}(\Omega ^{[2]})}$

ここで、Ω は正則余接束であり、記号 Ω ^{[2] は}テンソル平方（2 次外冪ではない）を意味する。言い換えれば、変形はリーマン面上の正則二次微分によって制御され、これも古典的に知られている。この場合、タイヒミュラー空間と呼ばれるモジュライ空間の次元は、リーマン・ロッホの定理によって 3 g − 3と計算される。

これらの例は、任意の次元の複素多様体の正則族に適用される理論の始まりです。その後の発展には、スペンサーによる微分幾何学の他の構造への手法の拡張、小平-スペンサー理論のグロタンディークの抽象代数幾何学への同化と、それに伴う以前の研究の実質的な明確化、代数などの他の構造の変形理論などがあります。

変形の最も一般的な形式は、複素解析空間、スキーム、または空間上の関数の芽の平面マップです。グロタンディーク^{[1]は、変形に対するこの広範囲にわたる一般化を最初に発見し、その文脈で理論を展開しました。一般的な考え方は、任意の変形が}一意の引き戻し正方形として見つかるような普遍的な族が存在するはずであるということです。${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}}$

多くの場合、この普遍的な族はヒルベルト スキームまたはクォート スキーム、あるいはそれらのいずれかの商です。たとえば、曲線のモジュライの構築では、ヒルベルト スキームの滑らかな曲線の商として構築されます。プルバック スクエアが一意でない場合、族は普遍的のみです。

変形理論の有用かつ容易に計算可能な領域の1つは、スタイン多様体、複素多様体、複素解析多様体などの複素空間の芽の変形理論である。^{[1]この理論は、正則関数や接空間などの芽の層を考慮することで、複素多様体や複素解析空間に}グローバル化できることに注意する。このような代数は、

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}}$

ここで は収束するべき級数の環であり、はイデアルである。例えば、多くの著者は、代数のような特異点の関数の萌芽を研究している。${\displaystyle \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}}$

は平面曲線特異点を表す。解析代数の芽は、そのような代数の反対のカテゴリの対象である。解析代数の芽の変形は、解析代数の芽の平面写像によって与えられ、そこには、引き戻し正方形に収まるような特異な点がある。${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}}$

これらの変形は、交換可能な平方によって与えられる同値関係を持つ。

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

ここで、水平矢印は同型である。例えば、解析代数の可換図式の反対図式によって与えられる平面曲線特異点の変形がある。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}}$

実際、ミルナーは、特異点が定数によって変形されるような変形を研究しており、そのため、非ゼロ上のファイバーはミルナーファイバーと呼ばれています。 ${\displaystyle s}$

解析関数の単一の芽には、多くの変形が存在する可能性があることは明らかである。このため、この情報すべてを整理するために必要な記録装置がいくつかある。これらの組織装置は、接コホモロジーを使用して構築される。^{[1]これは、} Koszul-Tate 分解を使用して形成され、非正則代数の追加生成子を追加することで修正される可能性がある。解析代数の場合、これらの分解は、そのようなオブジェクトを最初に研究した数学者Galina TyurinaにちなんでTjurina 分解と呼ばれる。これは、解析代数の射影写像であるような次数可換微分次数代数であり、この写像は正確なシーケンスに適合する。${\displaystyle A}$${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$${\displaystyle R_{0}\to A}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

そして、微分次数付き微分モジュールをとることで、そのコホモロジーは解析代数の芽の接線コホモロジーを形成する。これらのコホモロジー群は と表記される。 には および のすべての変形に関する情報が含まれており、正確なシーケンスを使用して簡単に計算できる。${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T^{k}(A)}$${\displaystyle T^{1}(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

が代数${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

するとその変形は次のようになる。

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

は のヤコビ行列である。例えば、 で与えられる超曲面の変形は、${\displaystyle df}$${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

特異点の場合、これはモジュールです${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

したがって、変形は定数または線形因子を追加することによってのみ与えられるため、 の一般的な変形は、が変形パラメータであるときになります。 ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$${\displaystyle a_{i}}$

変形理論を定式化するもう一つの方法は、体上の局所アルティン代数のカテゴリ上の関数を使うことである。変形前関数は関数として定義される。 ${\displaystyle {\text{Art}}_{k}}$

${\displaystyle F:{\text{Art}}_{k}\to {\text{Sets}}}$

が点であるようなモジュライ空間を考える。その考え方は、その点より上にある空間が関心のある空間である点の周りのモジュライ空間の微小構造を研究したいというものである。典型的には、実際の空間を見つけるよりも、モジュライ問題に対する関数を記述する方が簡単である。例えば、の次数超曲面のモジュライ空間を考えたい場合、関数 ${\displaystyle F(k)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle F:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

どこ

${\displaystyle F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ each fiber is a degree }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb {P} ^{n}\right\}}$

一般的には、集合ではなく群体の関数を扱う方が便利/必要です。これは曲線のモジュライにも当てはまります。

無限小は、微積分学における厳密でない議論のために数学者によって長い間使用されてきた。その考え方は、無限小を持つ多項式を考えるとき、実際に問題となるのは1次の項だけである、つまり、 ${\displaystyle F(x,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

これを簡単に応用すると、無限小を使って単項式の導関数を求めることができます。

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

項には単項式の導関数が含まれており、微積分での使用が実証されています。この式は、単項式のテイラー展開の最初の 2 つの項として解釈することもできます。局所アルチン代数の冪零元を使用すると、無限小数を厳密にすることができます。環では、無限小数を使用した議論が機能することがわかります。これが、双対数環と呼ばれる表記法の根拠となっています。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$

さらに、テイラー近似の高次の項を考慮したい場合、アルティン代数を考慮することができます。単項式について、2次の展開を書きたいとします。 ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

テイラー展開（ゼロ点）は次のように書けることを思い出してください。

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(0)}{1!}}x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

したがって、前の 2 つの式は、 の 2 次導関数がであることを示しています。 ${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle 6x}$

一般に、任意の数の変数における任意順序のテイラー展開を考慮したいので、体上のすべての局所アルティン代数のカテゴリを考慮します。

変形前関手の定義を動機付けるために、体上の射影超曲面を考える。

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

この空間の無限小変形を考えたい場合、直交座標の正方形を次のように書き表すことができる。

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

ここで、 である。すると、右手隅の空間は無限小変形の一例である。（位相的には点である）のべき零元の追加スキーム理論構造により、この無限小データを整理することができる。 あらゆる可能な展開を考慮したいので、前変形関数をオブジェクト上で次のように定義する。 ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

ここで、 は局所アルティン代数です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$

変形前関手は、核内の任意の要素の2乗がゼロとなるような 任意の全射に対して、全射が存在する場合、滑らかと呼ばれる。${\displaystyle A'\to A}$

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

これは次の疑問から生まれたものである。変形が与えられた場合

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

この直交図を直交図に拡張したものは存在するか

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

スムーズという名前は、スキームのスムーズな射の持ち上げ基準に由来しています。

スキームの接空間は-集合 として記述できることを思い出してください${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

ここで、ソースは双対数の環である。我々は何らかのモジュライ空間の点の接空間を考えているから、（事前）変形関数の接空間を次のように定義できる。

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ]).}$

代数曲線のモジュライ の最初の性質の1つは、初等変形理論を用いて導くことができる。その次元は次のように計算できる。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

変形空間はモジュライ空間の接空間であるため、種数の任意の滑らかな曲線に対しては、セール双対性を用いると、接空間は${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

したがって、リーマン・ロッホの定理は

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

種族の曲線の場合、${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

程度は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

負の次数の線束に対してはとなる。したがってモジュライ空間の次元は となる。 ${\displaystyle h^{0}(L)=0}$${\displaystyle 3g-3}$

変形理論は、森重文が双有理幾何学において多様体上の有理曲線の存在を研究するために応用したことで有名である。^{[2]正の次元の}ファノ多様体に対して、森はすべての点を通過する有理曲線が存在することを示した。その証明方法は後に森の曲げと破断として知られるようになった。大まかな考え方は、選ばれた点を通る何らかの曲線Cから始めて、それがいくつかの成分に分解されるまでそれを変形し続けるというものである。C を成分の 1 つに置き換えると、 Cの種数または次数が減少する効果が得られる 。したがって、この手順を数回繰り返すと、最終的に種数 0 の曲線、つまり有理曲線が得られる。 Cの変形の存在と特性は、変形理論からの議論と正の標数への還元を必要とする。

変形理論の主な応用の一つは算術である。これは次の質問に答えるために使用できる。多様体 がある場合、 の可能な拡張は何か？多様体が曲線である場合、 の消失はあらゆる変形が 上の多様体を誘導することを意味する。つまり、滑らかな曲線がある場合、 ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

そして変形

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

これを次の図に拡張することができます。

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

これは、上の曲線を与える正式なスキーム を構築できることを意味します。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

セール・テイトの定理は、大まかに言えば、アーベル方式 Aの変形は、そのpべき捩れ点からなるp可分群 の変形によって制御されると主張しています。 ${\displaystyle A[p^{\infty }]}$

変形理論のもう一つの応用はガロア変形である。これにより、次のような疑問に答えることができる。ガロア表現

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

それを表現に拡張するにはどうすればいいか

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

代数学（およびホックシルトコホモロジー）の文脈で生じたいわゆるドリーニュ予想は、弦理論に関連した変形理論（大まかに言えば、弦理論は点粒子理論の変形と見なすことができるという考えを形式化する）への大きな関心を刺激した^[要出典]。これは、初期の発表でいくつかの問題があった後、現在では証明済みとして受け入れられている。マキシム・コンツェビッチは、この一般に受け入れられている証明を提示した人々の一人である^[要出典]。

• 小平・スペンサー地図
• 二重番号
• シュレシンジャーの定理
• エクサルコム
• 余接複素数
• グロモフ・ウィッテン不変量
• 代数曲線の係数
• 退化（代数幾何学）

• 「変形」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ゲルステンハーバー、マレー、スタシェフ、ジェームズ編 (1992)。変形理論と量子群の数理物理学への応用、アメリカ数学会(Google eBook) ISBN 0821851411 

• パラモドフ、VP、III。複素空間の変形。複素変数IV（非常に現実的な入門）
• 変形理論に関するコースノート（Artin）
• スキームの変形理論を学ぶ
• セルネシ、エドゥアルド、代数スキームの変形
• ハーツホーン、ロビン、変形理論
• ハーツホーンの変形理論講座のノート
• MSRI – 代数幾何学における変形理論とモジュライ

• マズール、バリー(2004)、「摂動、変形、変動（および幾何学、物理学、数論における「ニアミス」）」(PDF)、アメリカ数学会誌、41 (3): 307–336、doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9、MR  2058289
• Anel, M., 変形がコホモロジー的である理由(PDF)

• 「変形理論の概要」（PDF）。ブライアン・オッサーマンの講義ノート