ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理

数学において、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、フリードリヒ・ヒルツェブルッフ、ベルンハルト・リーマン、グスタフ・ロッホにちなんで名付けられ、リーマン面上の古典的なリーマン・ロッホの定理を高次元のすべての複素代数多様体に一般化したヒルツェブルッフの1954年の結果である。この結果は、約3年後に証明されたグロタンディーク・ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理への道を開いた。

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、コンパクト複素多様体X上の任意の正則ベクトル束 Eに適用され、層コホモロジーにおけるEの正則オイラー特性、すなわち交代和 を計算する。

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

次元を複素ベクトル空間として表します。ここで、nはXの複素次元です。

ヒルツェブルッフの定理は、 χ( X , E ) はEのチャーン類 c _k ( E )とXの正則接束のトッド類によって計算可能であることを述べている。これらはすべてXのコホモロジー環に含まれる。基本類（言い換えれば、X上の積分）を使用することで、X の類から数を得ることができる。ヒルツェブルッフ の公式は、 ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$${\displaystyle H^{2n}(X).}$

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum \operatorname {ch} _{nj}(E)\operatorname {td} _{j}(X),}$

ここで、和はコホモロジーにおけるチャーン指標ch( E ) を用いて、関連するすべてのj (つまり 0 ≤ j ≤ n )についてとられる。言い換えれば、積は合計が 2 nになるすべての「一致する」次数のコホモロジー環で形成される。別の言い方をすると、等式は次のようになる。

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

ここで、 はXの接バンドルのトッド類です。 ${\displaystyle \operatorname {td} (X)}$

重要な特殊なケースとしては、E が複素線束である場合と、X が代数曲面(ノイマンの公式)である場合が挙げられます。曲線上のベクトル束に対するヴェイユのリーマン-ロッホの定理、および代数曲面に対するリーマン-ロッホの定理 (下記参照) は、この定理の範囲に含まれます。この公式は、トッド類が、ある意味ではチャーン指標の逆数であるという漠然とした概念も正確に表現しています。

曲線の場合、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は本質的に古典的なリーマン・ロッホの定理です。これを理解するには、曲線上の各因子 Dに対して、可逆な層O( D ) (線束に対応) が存在し、 Dの線型システムは多かれ少なかれ O( D ) の切断空間であることを思い出してください。曲線の場合、トッド類はであり、層 O( D )のチャーン指標は1+ c ₁ (O( D )) であるため、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は次のように述べています。 ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$( X上で積分)。

しかし、h ⁰ (O( D )) は単にl ( D )、つまりDの線型システムの次元であり、セール双対性 によりh ¹ (O( D )) = h ⁰ (O( K  −  D )) = l ( K  −  D ) となります。ここでKは標準因子です。さらに、 X上で積分されたc ₁ (O( D )) はDの次数であり、X上で積分されたc ₁ ( T ( X )) は曲線Xのオイラー類 2 − 2 gです。ここでgは種数です。したがって、古典的なリーマン・ロッホの定理が得られます。

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

ベクトル束Vの場合、チャーン指標は rank( V ) + c ₁ ( V ) なので、曲線上のベクトル束に対するヴェイユのリーマン・ロッホの定理が得られます。

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank} (V)(1-g).}$

表面の場合、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、本質的には表面のリーマン・ロッホの定理である。

${\displaystyle \chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((DD)-(DK))/2.}$

ノイマンの公式と組み合わせます。

必要であれば、セール双対性を使用してh ² (O( D )) をh ⁰ (O( K  −  D )) と表すことができますが、曲線の場合とは異なり、層コホモロジーを含まない形式でh ¹ (O( D )) 項を書く簡単な方法は一般にありません(ただし、実際には層コホモロジーが消えることがよくあります)。

Dをn次元の既約射影多様体X上の十分な カルティエ因子とする。すると

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

より一般的には、X上の任意の連接層であれば、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理- 多くの計算と例が含まれています
• ヒルベルト多項式- HRRはヒルベルト多項式を計算するために使用できます。

• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ『代数幾何学における位相的手法』 ISBN  3-540-58663-6

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