一般化された旗の種類

数学において、一般化旗多様体（または単に旗多様体）は、体F上の有限次元ベクトル空間V内の旗を点とする同次空間である。Fが実数または複素数のとき、一般化旗多様体は滑らかな多様体または複素多様体であり、実旗多様体または複素旗多様体と呼ばれる。旗多様体は自然に射影多様体である。

旗多様体は、様々な一般性レベルで定義できます。プロトタイプは、体F上のベクトル空間V内の完全旗の多様体であり、 F上の特殊線型群の旗多様体です。他の旗多様体は、部分旗を考慮するか、特殊線型群からシンプレクティック群などの部分群への制限によって生じます。部分旗の場合、考慮する旗の次元のシーケンスを指定する必要があります。線型群の部分群の場合、旗に追加の条件を課す必要があります。

最も一般的な意味では、一般化旗多様体は、射影同次多様体、すなわち、簡約群G （および滑らかな安定化部分群。これは、標数0のFに対する制限ではない）の推移作用を持つ体F上の滑らかな射影多様体X を意味するように定義される。XがF有理点を持つ場合、それはGの何らかの放物型部分群Pに対してG / Pに同型である。射影同次多様体は、 Gの射影表現における最高重みベクトルの軌道として実現されることもある。複素射影同次多様体は、放物型カルタン幾何学のコンパクト平坦モデル空間である。これらは、Gの任意の最大コンパクト部分群の下での同次リーマン多様体であり、コンパクトリー群の余接合軌道とまったく同じである。

旗多様体は対称空間になることができます。複素数上では、対応する旗多様体はエルミート対称空間です。実数上では、R空間は実旗多様体の同義語であり、対応する対称空間は対称R空間と呼ばれます。

体F上の有限次元ベクトル空間Vの旗は、部分空間の増加列であり、ここで「増加」とは、それぞれが次の部分空間の適切な部分空間であることを意味します (フィルタリングを参照)。

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

dim V _i = d _iと書くと、

${\displaystyle 0=d_{0}、{1}、{2}、{\cdots <d_{k}=n,}$

ここで、 n はVの次元です。したがって、 k ≤ nでなければなりません。すべてのiに対してd _i = iである場合、フラグは完全フラグと呼ばれ、そうでない場合は部分フラグと呼ばれます。フラグのシグネチャは、シーケンス ( d ₁、...、d _k ) です。

部分フラグは、完全なフラグからいくつかのサブスペースを削除することで取得できます。逆に、適切なサブスペースを挿入することで、任意の部分フラグを (さまざまな方法で) 完成させることができます。

線型代数の基本的な結果によれば、体F上のn次元ベクトル空間V内の任意の 2 つの完全旗は、幾何学的な観点からは互いに違いはありません。つまり、一般線型群は、すべての完全旗の集合に対して推移的に 作用します。

Vの順序付き基底を固定し、それをF ⁿと同一視する。その一般線型群はn × nの可逆行列の群 GL( n , F )である。この基底に関連付けられた標準旗は、 i番目の部分空間が基底の最初のiベクトルによって張られるものである。この基底に対して、標準旗の安定化子は非特異下三角行列の群であり、これをB _nで表す。したがって、完全な旗多様体は、同次空間GL( n , F ) / B _nとして表すことができ、特にそれがF上でn ( n −1)/2の次元を持つことを示す。

恒等式の倍数はすべてのフラグに自明に作用するため、行列式が 1 である行列の特殊線型群SL( n , F ) に注目することができます。これは半単純代数群です。行列式が 1 である下三角行列の集合はボレル部分群です。

もし体Fが実数または複素数であれば、 Vに内積を導入して、選択された基底が正規直交となるようにすることができる。すると、任意の完全旗は、直交補集合をとることによって1次元部分空間の直和に分割される。したがって、複素数上の完全旗多様体は、同次空間である。

${\displaystyle U(n)/T^{n}}$

ここで、U( n )はユニタリ群、Tn^は対角ユニタリ行列のnトーラスです。実数についても、U( n )を直交群O( n )に、Tn^を 対角直交行列（対角成分が±1）に置き換えた同様の記述があります。

部分旗の種類

${\displaystyle F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )}$

は、 F上のn = d _k次元のベクトル空間Vにおける、署名 ( d ₁、d ₂、 ... d _k )のすべての旗の空間です。完全な旗多様体は、すべてのiに対してd _i = iとなる特別な場合です。k =2のとき、これはVのd ₁次元部分空間のグラスマン多様体です。

これは、 F上のVの一般線型群Gの同次空間です。明示的には、V = F ⁿとして、G = GL( n , F ) とします。次元d _iの入れ子になった部分空間V _iの旗の安定化因子は、ブロックの次元がn _i  := d _i − d _{i −1} (ただし、d ₀ = 0) である、非特異ブロック下三角行列の群とすることができます。

行列式が1の行列に制限すると、これはSL( n , F )の放物線部分群Pであり、したがって部分旗多様体は同次空間SL( n , F )/ Pに同型である。

Fが実数または複素数の場合、内積を使用して任意のフラグを直和に分割できるため、部分フラグ多様体は同次空間にも同型です。

${\displaystyle U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})}$

複雑なケースでは、

${\displaystyle O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})}$

実際のところ。

行列式 1 の上三角行列は SL( n , F )のボレル部分群であり、したがって部分旗の安定化群は放物線部分群である。さらに、部分旗はそれを安定化する放物線部分群によって決定される。

したがって、より一般的には、G が半 単純代数群またはリー群である場合、 Gの（一般化）旗多様体はG / Pであり、ここでP はGの放物型部分群です。放物型部分群と一般化旗多様体間の対応により、それぞれを他方の観点から理解することができます。

「旗多様体」という用語の拡張は合理的である。なぜなら、G / Pの点は依然として旗を使用して記述できるからである。Gがシンプレクティック群や直交群などの古典的な群である場合、これは特に明白である。( V、ω ) がシンプレクティックベクトル空間である場合、シンプレクティック形式が旗内のVの適切な部分空間上で消える場合、 Vの部分旗は等方性である。等方性旗の安定群は、シンプレクティック群 Sp( V、ω ) の放物線部分群である。直交群の場合、同様の図式が存在するが、いくつかの複雑な点がある。まず、F が代数的に閉じていない場合、等方性部分空間は存在しない可能性がある。一般理論では、分割直交群を使用する必要がある。第二に、偶数次元 2 mのベクトル空間の場合、次元mの等方性部分空間には 2 つの種類 (「自己双対」と「反自己双対」) があり、同次空間を得るにはこれらを区別する必要があります。

G がコンパクトで連結なリー群である場合、それは最大トーラス T を含み、商位相を持つ左剰余類の空間G / Tはコンパクトな実多様体です。H が T を含む G のその他の連結な閉部分群である場合、G / Hは別のコンパクトな実多様体です。(実際には、どちらも複素化を通じて標準的な方法で複素同次空間です。)

複素構造と細胞的 (コ) ホモロジーの存在により、 G / Hのコホモロジー環が偶数次に集中していることは容易にわかりますが、実際には、もっと強いことが言えます。 G → G/Hは主Hバンドルであるため、分類空間BHを対象とする分類写像G / H → BHが存在します。 G / Hを、シーケンスG → G/H → BH のホモトピー商 G H に置き換えると、 H の G への右乗法作用のボレルファイバリングと呼ばれる主 G バンドルが得られ、このバンドルのコホモロジー的セールスペクトルシーケンスを使用して、ファイバー制限準同型 H *( G / H ) → H * ₍ G )と特性写像H * ( BH ) → H *( G / H ) を理解できます。これは、その像であるH * ( G / H )の特性部分環が、元のバンドルH → G → G / Hの特性類を保持するため、このように呼ばれます。

ここで係数環を特性0の体kに制限すると、ホップの定理により、H *( G )は奇数次生成子（原始元の部分空間）上の外積代数となる。従って、辺準同型は

${\displaystyle E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}}$

スペクトル列の は、最終的にはページE _2の左列H *( G )の原始元の空間を最下行H *( BH ) に全単射に取る必要があります。GとH は同じランクを持つことがわかっているので、エッジ準同型のコレクションが原始部分空間上でフルランクでない場合、列の最終ページ H *( G / H ) の最下行 H *( BH ) の像はkベクトル空間として無限次元になりますが、これは、たとえばセルラコホモロジーによっても不可能です。コンパクトな同次空間は有限のCW 構造を許容するためです。

したがって、環写像H *( G / H ) → H *( G ) はこの場合自明であり、特性写像は射影的であるため、H *( G / H ) はH *( BH )の商である。写像の核は、辺準同型写像の下での原始元の像によって生成されるイデアルであり、これはまた、 HをGに含めることによって誘導される標準写像H *( BG ) → H * ( BH )の像の正次元によって生成されるイデアルでもある。

H *( BG ) → H *( BT ) は写像Hに対して単射であり、同様に、ワイル群の作用に対して不変な要素の部分環H *( BT ) ^{W ( G )}をイメージすると、最終的に簡潔な記述が得られる。

${\displaystyle H^{*}(G/H)\cong H^{*}(BT)^{W(H)}/{\big (}{\widetilde {H}}^{*}(BT)^{W(G)}{\big )},}$

ここで、 は正の次数元を表し、括弧はイデアルの生成を表す。例えば、完全な複素旗多様体U ( n )/ T ⁿの場合、 ${\displaystyle {\ワイドティルダ {H}}^{*}}$

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

ここでt _{j は}次数 2 で、 σ _{j は}変数t _jの最初のn 個 の基本対称多項式です。より具体的な例として、n = 2 とすると、U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] は複素グラスマン多項式Gr(1, ² ) ≈ P ¹ ≈ S ^{2になります。すると、コホモロジー環は次数 2 の生成元 (}基本クラス)上の外積代数であることが期待され、実際、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}$

期待通り。

Gが半単純代数群（またはリー群）であり、VがGの（有限次元の）最高重み表現である場合、最高重み空間は射影空間P( V )内の点であり、 Gの作用によるその軌道は射影代数多様体である。この多様体は（一般化）旗多様体であり、さらに、 Gのすべての（一般化）旗多様体はこのようにして生じる。

アルマン・ボレルは、これが一般の半単純代数群Gの旗多様体を特徴付けることを示しました^[要出典]。旗多様体はまさにGの完全な同次空間、または同等に (この文脈では) 射影同次G多様体です。

G を最大コンパクト部分群Kを持つ半単純リー群とする。このときK は任意の放物型部分群の共役類に推移的に作用し、したがって一般化旗多様体G / P は等長変換群Kを持つコンパクト同次リーマン多様体 K /( K ∩ P ) となる。さらに、G が複素リー群であれば、G / P は同次ケーラー多様体となる。

これを逆にすると、リーマン同次空間は

M = K /( K∩P )である。

は、厳密により大きなリー変換群、つまりGを許容します。Mが対称空間である場合に特化すると、この観察は、そのようなより大きな対称群を許容するすべての対称空間をもたらし、これらの空間は小林と長野によって分類されています。

G が複素リー群である場合、このようにして生じる対称空間Mはコンパクトエルミート対称空間である。Kは等長変換群であり、G はMの双正則同型群である。

実数上では、実旗多様体は R 空間とも呼ばれ、Kのもとでリーマン対称空間である R 空間は対称 R 空間として知られています。エルミート対称でない対称 R 空間は、 P := P c ∩ G が G の放物型部分群となるようなエルミート対称空間 G c / P c の双正則同型群 G c の実形式を G とすることで得^られます。例としては、射影空間⁽ Gは^射影変換^の群)や球面( Gは共形変換の群)などがあり  ます。

• 放物型リー代数
• ブルハット分解

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• Jürgen Berndt、Sergio Console、Carlos Olmos、『サブマニフォールドとホロノミー』、Chapman & Hall/CRC Press、2003年。
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