ファノ品種のK安定性

ファノ多様体、あるいはより一般的には、K-安定性の定義は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ファノ多様体は、多くの形式で与えられる。テスト構成による K-安定性の一般的な定義 (詳細はK-安定性を参照) は、考慮するテスト構成のタイプが単純化できる場合、単純化できる。たとえば、トーリック多様体の場合、常にトーリックでもあるテスト構成を取ることができ、これにより、ドナルドソンが K-安定性に関する最初の論文で指摘したように、トーリック多様体のモーメント多面体上の凸関数による K-安定性の再特徴付けにつながる。^{[ 4 ]} ファノ多様体の場合、ティアンの研究^{[ 1 ]}では、単純化された中心ファイバーを持つテスト構成に制限できることがすでに暗黙のうちに示されており、その場合、中心ファイバーは正規多様体である。

この場合、通常のテスト構成のドナルドソン・フタキ不変量に対する交差理論的な公式が存在する。${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$のために${\displaystyle (X,-rK_{X})}$具体的には、テスト構成を拡張する。$\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$複素射影線上のテスト構成へ$\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$その時点では些細なこと${\displaystyle \infty }$、式^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]がある。}$${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)(-K_{X})^{n}}}\left(n\left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n+1}+(n+1)K_{{\mathcal {X}}/\mathbb {P} ^{1}}\cdot \left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n}\right).}$$ この不変量に​​関して、もし${\displaystyle X}$は${\displaystyle \mathbb {Q} }$ファノ種、と私たちは言う${\displaystyle X}$[ ^{10 ]​}

• K-半安定である場合${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$通常のテスト構成の場合${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$。
• K安定の場合$\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$通常のテスト構成の場合${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$これは自明なテスト構成とは同型ではない${\displaystyle (X\times \mathbb {C} ,L)}$余次元2の集合の外側。
• 一様にK安定である場合${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}}$通常のテスト構成の場合${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$、 どこ$\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}}$は、テスト構成の最小ノルム^{[ 14 ]}である。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$そして${\displaystyle \varepsilon >0}$は、のみに依存する均一定数です。${\displaystyle X}$。
• K不安定な場合${\displaystyle (X,L)}$K半安定ではない。

上記の定義によれば、次のような意味合いがある。

均一にK安定${\displaystyle \implies }$K安定${\displaystyle \implies }$ K準安定

上記の定義は、ファノ品種の状況には適していません。${\displaystyle X}$自己同型を持つ。自己同型空間が正次元の場合${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} (X)>0}$二木明人によって、自己同型から構成される特定のテスト構成が存在することが観察された。${\displaystyle X}$これらはK安定性のテストという観点からは「自明」である。この場合、最大トーラスの作用に関して同変なテスト構成に限定すべきである。${\displaystyle T\subset \operatorname {Aut} (X)}$そして、これはK-多安定性またはK-安定性の低下という概念につながります。${\displaystyle X}$は

• K-ポリステーブルの場合${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$任意のテスト構成に対して等価性が正確に成り立つのは${\displaystyle {\mathcal {X}}}$は同型である${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$余次元2の集合の外側。
• 均一にK安定に減少する場合${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$どこ$\displaystyle \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$削減された${\displaystyle \operatorname {J} }$-テスト構成のノルム。 ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

自己同型群が正次元でない場合については、

均一にK安定に還元${\displaystyle \implies }$K-多安定${\displaystyle \implies }$K準安定

一様安定性 の条件は、テスト構成のドナルドソン・フタキ不変量に対してゼロより大きい一様境界を仮定するため、安定性よりも先験的に強い。しかし、${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ファノ変種の均一安定性は、実際には安定性と同等である。

一様K安定性の場合、一様境界は非一様境界よりも強いため、多くの結果がより容易に証明できます。そのため、従来のK（多）安定性ではなく、この定義を用いることがよくあります。K安定性に関する記事で検討されている偏極多様体のより一般的なケースでは、（縮小）一様K安定性がK（多）安定性とどのように関連するのかを特徴づけることは、依然として未解決の重要な問題です。

前述のように、検討すべきテスト構成の種類は簡略化できる場合があります。ファノ多様体の場合、特別なテスト構成はテスト構成です。${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$有理数の同値関係が存在する${\displaystyle {\mathcal {L}}\sim _{\mathbb {Q} }-rK_{\mathcal {X}}}$一部の人にとって${\displaystyle r}$、そして中央の光ファイバー$\displaystyle {\mathcal {X}}_{0}}$また、${\displaystyle \mathbb {Q} }$ファノ種。

Li-Xuによって証明されたように、任意のテスト構成が与えられた場合${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$特別なテスト構成が存在する${\displaystyle ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})}$^[ 13 ^]​

$$\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})\leq \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}}).}$$

これは、K安定性をテストする目的で、${\displaystyle X}$したがって、特定のテスト構成におけるK安定性の上記の定義のみを参照すれば十分である。テスト構成の中心ファイバーもファノであると仮定できるという事実は、双有理幾何学および最小モデルプログラムとの強い関連性をもたらし、以下のセクションで説明するK安定性のいくつかの代替的な特徴付けを提供する。

主な代替的特徴付けは、 Ding 安定性の異なる概念によるものであり、これはDing 不変量に対する K-安定性条件の変形である。

$${\displaystyle \operatorname {Ding} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-{\frac {({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}})^{n+1}}{(n+1)(-K_{X})^{n}}}-1+\operatorname {lct} ({\mathcal {X}},{\mathcal {D}}_{({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})};{\mathcal {X}}_{0})}$$

ここで、テスト構成の対数正準閾値を加える。^{[ 18 ] [ 19 ]} Ding不変量はFano多様体の設定でのみ定義できる。この新しい不変量の代わりに${\displaystyle \operatorname {DF} }$、上記のように Ding 安定性のすべての概念を正確に定義することができ、Ding (半/多) 安定性と均一バージョンにつながります。Ding 不変量は、Donaldson–Futaki 不変量よりも代数幾何学に関して優れた形式的性質を持っています。テスト構成が特別な場合、Ding 不変量は定数係数を除いて Donaldson–Futaki 不変量と一致することが知られており、したがって Fano 多様体の場合、Ding 安定性は K-安定性と同等です。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 10 ]}

K-安定性をテストするための最初の有効な基準はTianによって開発されました。^{[ 22 ]}元々Tianの研究は、ファノ多様体上のケーラー-アインシュタイン計量の存在基準を直接提供するように設計されていましたが、後の研究により、すべてのケーラー-アインシュタインファノ多様体はK-多安定であることが知られています。Tianのアルファ不変量の元の定義は解析的なものでしたが、実際にはケーラー-アインシュタイン計量の存在を検証するために使用できます。

ティアンのアルファ不変量は、自己同型群に関して定義することができる。${\displaystyle G}$、そしてアルファ不変量$\displaystyle \alpha _{G}}$これは、上記の縮小K安定性またはK多安定性の概念に対応します。${\displaystyle G}$-不変ケーラー計量${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ファノ多様体上。ケーラーポテンシャルの特別なクラスを次のように定義する。

$${\displaystyle P_{G}(X,\omega )=\{\varphi \in C^{\infty }(X,\mathbb {R} )\mid \varphi {\text{ is }}G{\text{ invariant}},\sup \varphi =0,\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$$

すると、アルファ不変量は次のように定義される。

$${\displaystyle \alpha _{G}(X):=\sup \left\{\alpha >0\mid \exists C(\alpha )>0{\text{ such that }}\int _{X}e^{-\alpha \varphi }\omega ^{n}<C(\alpha ){\text{ for all }}\varphi \in P_{G}(X,\omega )\right\}.}$$ この不変量の重要性は以下のとおりです。

デマイリーは、アルファ不変量は、すべての対数正準閾値の下限値に関して、純粋に代数幾何学的な定義を与えることができることを指摘した。${\displaystyle \mathbb {Q} }$線形システムにおける除数${\displaystyle \left|-K_{X}\right|_{\mathbb {Q} }}$[ ^{23 ]}正確には、デマイリーは^、$${\displaystyle \alpha (X)=\operatorname {lct} (X)=\inf _{m\in \mathbb {Z} _{>0}}\inf _{D\sim -mK_{X}}\operatorname {lct} \left(X,{\frac {1}{m}}D\right).}$$これにより、ケーラー・アインシュタイン計量の存在を純粋に代数幾何学的に証明することが可能になる。荘は後に、すべてのファノ多様体に対する田の定理の代数的証明を与えた。

ベータ不変量${\displaystyle \beta _{X}(E)}$双有理幾何学と密接な関係を持つ。この不変量は、ファノ多様体の因子または値を用いてK安定性の特徴付けを発見しようとした藤田と李によって開発された。${\displaystyle X}$^{[ 21 ] [ 24 ]}この研究は、多様体の部分スキームから生じる代数的不変量を用いて K-安定性を記述しようとしたロス-トーマスの以前のアイデアに触発されたものである。${\displaystyle X}$[ ^{25 ]この「傾斜」K安定性がK安定性}と等価であることを示すことはできませんが、内部の因子に渡されるだけでなく${\displaystyle X}$しかし、双有理モデル内の除数は${\displaystyle X}$そうすれば、K安定性を正確にテストするのに十分な数の対象が得られます。

特に藤田は、ロス・トーマスの傾斜K安定性の概念は、部分スキームのセシャドリ定数までしか積分できないため、ブローアップの自然因子が過剰になることに気づいた。これとは対照的に、${\displaystyle \beta }$-不変量は、自然因子が正の体積を持つ擬似有効閾値まで積分されます（すべての十分因子は正の体積を持つため、擬似有効閾値はセシャドリ定数を超えます）。この追加情報により、藤田と李の評価基準はK安定性を完全に特徴付けるのに十分な情報を得ることができます。

仮定する${\displaystyle X}$通常の品種で${\displaystyle \mathbb {Q} }$-カルティエの正準除数${\displaystyle K_{X}}$一人はこう言う${\displaystyle E}$は、${\displaystyle X}$もし${\displaystyle E}$ある正規多様体に含まれる約数である${\displaystyle Y}$適切な双有理射が存在する${\displaystyle \mu :Y\to X}$（例えば、拡大によって与えられる${\displaystyle X}$) ^{[ 26 ]}除数の対数不一致を定義する${\displaystyle E}$以上${\displaystyle X}$として $${\displaystyle A_{X}(E):=a(E,X)+1}$$

どこ${\displaystyle a(E,X)}$除数の不一致${\displaystyle E}$双有理幾何学の意味で（標準特異点を参照）。因子の不一致${\displaystyle E}$以上${\displaystyle X}$は次のように定義される。双有理射の例外的な位置から離れた${\displaystyle \mu :Y\to X}$の標準約数${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle X}$同意する。したがって、それらの差は素因数の和で与えられる。${\displaystyle E_{i}}$例外的な場所に含まれる${\displaystyle \mu }$つまり、 $${\displaystyle K_{Y}-\mu ^{*}K_{X}=\sum _{i}a_{i}E_{i}}$$

どこ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} }$定義上${\displaystyle a(E_{i},X)=-a_{i}}$そして${\displaystyle a(E,X)=0}$いつ${\displaystyle E}$素因数ではない${\displaystyle E_{i}}$例外的な場所で。対数不一致${\displaystyle X}$はファノ多様体の特異点を測定する。特に、X が川俣対数終端であるのは、以下の条件を満たす場合のみである。${\displaystyle A_{X}(E)\geq 0}$いかなる場合でも${\displaystyle E}$以上${\displaystyle X}$。

ベータ不変量を定義するには、体積項も必要です。除数の場合${\displaystyle E}$以上${\displaystyle X}$、 定義する $${\displaystyle S_{X}(E):={\frac {1}{(-K_{X})^{n}}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Vol} (\mu ^{*}(-K_{X})-tE)dt.}$$

ここで、除数の体積は、その分割空間が期待される次元と比較してどれだけの速度で成長するかを測定する。すなわち、 $${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\limsup _{m\to \infty }{\frac {\dim H^{0}(X,{\mathcal {O}}(mD))}{m^{n}/n!}}}$$ どこ${\displaystyle \dim X=n}$。

最後に、ベータ不変量は藤田と李によって次のように定義された。 $${\displaystyle \beta _{X}(E):=A_{X}(E)-S_{X}(E).}$$

定義は複雑であるものの、双有理幾何学の強力なツールのおかげで、この不変量は、双有理モデルにおける因子の構造が既知である多くのファノ多様体クラスにおいて、実際には明示的に計算できる。これは多くの場合、計算代数幾何学を用いるか、手計算によって達成できる。

関連性${\displaystyle \beta }$-不変量は、藤田と李が独立に（一方向で）最初に観察したK安定性の以下の特徴付けに含まれる。

デルタ不変量は、「加法」ベータ不変量の「乗法」バージョンとして定義できます。除数のデルタ不変量は${\displaystyle E}$以上${\displaystyle X}$定義される

$${\displaystyle \delta (X,E):={\frac {A_{X}(E)}{S_{X}(E)}}.}$$

デルタ不変量${\displaystyle X}$は、すべての因子のデルタ不変量の均一な測定によって与えられる。${\displaystyle X}$。

$${\displaystyle \delta (X):=\inf _{E{\text{ over }}X}\delta (X,E).}$$ 除数のデルタ不変量は概念的にはベータ不変量と似ているが、藤田・小高はデルタ不変量を「量子化された」デルタ不変量の極限として計算できることを発見した。${\displaystyle \delta _{m}}$として${\displaystyle m\to \infty }$量子化されたデルタ不変量は、固定された有限次元ベクトル空間における基底の選択によって与えられるm基底型の因子を用いて計算することができる。${\displaystyle H^{0}(X,-mK_{X})}$したがって、デルタ不変量は一般的に、その前身となるものよりも計算しやすく、理論的にも強力であり、ファノ多様体のK安定性の明示的な計算やファノ多様体のモジュライ理論において、その導入以来、大きな進歩が遂げられてきた。K安定性理論におけるその初期の重要性は、以下の特徴付けに表れている。

代数的${\displaystyle \delta }$-不変量は、ケーラー・アインシュタイン計量の明示的な解析的性質と接触することができる。特に、最大のリッチ下限を定義することができる。${\displaystyle R(X)}$すべてのものの最高位として${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ケーラー計量が存在する${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$そのため${\displaystyle \operatorname {Ric} \omega >t\omega }$これは、ケーラー・アインシュタイン方程式を解くために自然連続法をたどることができる限界です。最大のリッチ下限が値を取る場合${\displaystyle t=1}$すると、連続性法を完了してケーラー・アインシュタイン計量の存在を導出できる。この連続性法をどこまで進めることができるか、つまり最大のリッチ下限は、正確には次のように与えられることがわかる。${\displaystyle \delta }$-不変。つまり、 $${\displaystyle R(X)=\min\{1,\delta (X)\}.}$$ トーリックファノ多様体の場合、デルタ不変量のさらに幾何学的な解釈がLiによって導出された。^{[ 27 ]}このようなトーリックファノ多様体の場合${\displaystyle X_{P}}$起源${\displaystyle O}$モーメント多面体の内部に常に含まれている${\displaystyle P}$。 もし${\displaystyle B}$は多面体の重心を表す${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$は、多面体の境界上で光線と交差する点を表す。${\displaystyle OB}$そして、Li は、最大の Ricci 下限は比率で与えられることを示した。${\displaystyle |BQ|/|OQ|}$特に、トーリック・ファノは${\displaystyle R(X)=1}$重心が原点である場合に限り、トーリック ファノ多様体は K-安定である。デルタ不変量（および以前の結果）を使用して解釈すると、トーリック ファノ多様体は、その多面体の重心が原点である場合に限り、K-安定であると結論付けられる。${\displaystyle P}$それが起源です。

ケーラー・アインシュタイン計量を持つファノ多様体が K-多安定であるという予想の順方向は、ファノ多様体が離散自己同型群を持つ場合、すなわち、Tian が彼の元の論文で証明しました。${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (X)\right|<\infty }$[ ^{1 ]この方向性は、}自己同型群が離散的であるという仮定を取り除いたバーマンによって完全に一般的に証明された。^{[ 19 ]}

Yau–Tian–Donaldson予想の逆方向は、上記のように、Chen–Donaldson–Sunによって滑らかなケースで最初に解決され、^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}同時にTianによっても解決されました。^{[ 8 ]} Chen、Donaldson、Sunは、Tianが証明の優先権を同等に主張しているのは誤りであると主張し、彼を学術的不正行為で告発しました。^{[ a ]} Tianは彼らの主張に異議を唱えました。^{[ b ]} Chen、Donaldson、Sunは、この予想を解決したとして、アメリカ数学会の権威ある2019年ヴェブレン賞を受賞しました。 ^{[ 28 ]}ブレークスルー賞は、 Donaldsonに数学ブレークスルー賞を、Sunにニューホライズンズブレークスルー賞を授与しましたが、これは部分的に、Chenとの予想に関する共同研究に基づいています。^{[ 29 ] [ 30 ]}

Chen–Donaldson–SunとTianの証明は、Ricci曲率境界を持つFano多様体のGromov–Hausdorff極限の精緻な研究に基づいていた。より最近では、Ved DatarとGabor Székelyhidiによって「古典的な」連続性法に基づく証明が提供され、^{[ 31 ] [ 32 ]}続いてKähler–Ricciフローを使用したChen、Sun、Bing Wangによる証明が行われた。^{[ 33 ]}

Robert Berman、Sébastien Boucksom 、および Mattias Jonsson も、 K-安定性を非アルキメデス幾何学の観点から解釈する新しい変分アプローチによる証明を提供しました。^{[ 34 ]}特に興味深いのは、Berman–Boucksom–Jonsson の証明は滑らかな log Fano ペアの場合にも適用され、K-多安定性の概念ではなく、Dervan と Boucksom–Hisamoto–Jonsson によって導入された均一 K-安定性の概念を使用していることです。^{[ 14 ] [ 15 ]}現在では、均一 K-安定性は K-安定性と同等であることが知られており^{[ 17 ]}、したがって BBJ の証明は完全な YTD 予想の新しい証明を提供します。

バーマン・ボウクソム・ヨンソン変分法と藤田・小高のいわゆる量子化デルタ不変量に基づいて、張は滑らかなファノ多様体に対するYTD予想の短い量子化に基づく証明を作成した。^{[ 35 ]}

バーマンは、全く別の手法を用いて、均一ギブス安定性と呼ばれる熱力学的アプローチで YTD 型の予想の証明も行っており、ランダムな点過程を通してケーラー・アインシュタイン計量が構築されている。^{[ 36 ] [ 37 ]}

平滑化可能なファノ多様体の場合、Yau-Tian-Donaldson 予想の証明は、Spotti-Sun-Yao によって最初に与えられました。^{[ 38 ]} Berman-Boucksom-Jonsson による変分法を用いた Yau–Tian–Donaldson 予想の新しい証明は、一般的な特異なファノ多様体に対する K-安定性と Kähler–Einstein 計量の研究の可能性を開きました。使用された変分法は、上述のように一様K-安定性に依存しています。

ケーラー・アインシュタイン計量を許容するファノ多様体は K-多安定であるというバーマンの結果は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$-log Fano ペア、弱い Kähler–Einstein 計量を許容する。${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ファノ種${\displaystyle X}$ポジティブ${\displaystyle (1,1)}$-現在${\displaystyle \theta _{\operatorname {KE} }}$これは滑らかなケーラー・アインシュタイン計量を与えるように制限する。${\displaystyle \omega _{\operatorname {KE} }}$滑らかな軌跡上${\displaystyle X_{\operatorname {reg} }}$の${\displaystyle X}$[ ^{39 ]}除数との互換性を要求すること^によって${\displaystyle \Delta }$この定義は、ペア上の弱いケーラー・アインシュタイン計量に拡張できる。${\displaystyle (X,\Delta )}$。

この一般性において、YTD予想の逆方向は、自己同型群が離散的である場合にLi–Tian–Wangによって証明され、完全な一般性においてはLiによって証明された。^{[ 40 ] [ 16 ]}

Liu–Xu–Zhuangによる有限世代予想の解決により、縮小一様K安定性はK多安定性と同等であることが知られており、Bermanの結果と組み合わせると、Yau–Tian–Donaldson予想は特異Fano多様体に対して完全に一般的に真である。^{[ 17 ]}

次元１には、独特な滑らかなファノ多様体、複雑な射影線が存在する。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$この多様体は、ケーラー・アインシュタイン計量であるフビニ・スタディ計量の存在により、K-安定であることが容易にわかる。これは、K-多安定性を意味する。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$滑らかなリーマン面の K 安定性の純粋に代数幾何学的な証明は、1 次元の K 安定性と同等の傾斜 K 安定性に関する Ross–Thomas の研究から導かれる。^{[ 25 ]}この場合、曲線上の点の集合からテスト構成を構築することができ、曲線が滑らかな場合、どの点も不安定化しない。

2次元空間において、ケーラー・アインシュタイン計量を許容する空間は、Tianによって分類された。2次元空間には、デル・ペッツォ曲面と呼ばれる滑らかなファノ多様体の変形族が10種類存在する。Tianは、アルファ不変量を用いて、滑らかなファノ曲面がケーラー・アインシュタイン計量を許容し、かつK-多安定であるのは、それが複素射影平面のブローアップではない場合に限ることを示した。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$1つまたは2つの点で。^{[ 22 ]}したがって、これら10クラスのうち8つはK-多安定ファノ曲面で構成されています。

ファノ曲面の K モジュライは、Tian と Mabuchi–Mukai によって具体的な例で研究されました。^{[ 53 ] [ 54 ]}ケーラー–アインシュタイン ファノ曲面のコンパクトなモジュライ空間の明示的な構成は、Odaka–Spotti–Sun によって達成されました。^{[ 55 ]}これらの空間は、Gromov–Hausdorff コンパクト化として構成されましたが、log ファノ曲面の明示的な代数空間と同一視されました。Odaka–Spotti–Sun の結果は、K 多安定性条件の明示的な検証を回避し、代わりに K 安定性の考察に基づいて GIT モジュライ空間を修正する新しい「モジュライ連続性法」に基づいています。

例えば、小高-スポッティ-サンによって、4次の平滑化可能なケーラー-アインシュタイン曲面のコンパクトモジュライ空間は重み付き射影空間によって与えられることが証明されている。${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3)}$軌跡に対応する4次の滑らかなケーラー・アインシュタイン曲面${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3)\backslash D}$どこ${\displaystyle D}$は、方程式を満たす点からなる十分な約数である。${\displaystyle z_{1}^{2}=128z_{2}}$。

3 次元では、純粋に代数的な手法を用いて、Kähler–Einstein 計量を許容することが事前に知られていない K-安定 Fano 多様体の例を見つけることができます。滑らかな Fano 3 次元多様体の Iskovskikh–Mori–Mukai 分類^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}は、K-安定 Fano 3 次元多様体の研究問題をその構成要素に分解する自然な方法を提供します。滑らかな Fano 3 次元多様体の変形族は 105 個あることが知られており、Fujita–Li の beta 不変量と Fujita–Odaka の delta 不変量を用いた明示的な計算により、どの変形族が K-安定代表を含むかを決定することができます。

すべての変形ファミリーについて、そのファミリーの一般要素が K-(ポリ)安定であるかどうかがわかっています。^{[ 60 ]}特に、105 ファミリーのうち 78 ファミリーには、変形クラスに K-ポリ安定な代表要素が含まれていることがわかっています。105 ファミリーのうち 71 ファミリーについては、変形クラスのすべてのメンバーが K-ポリ安定であるかどうかがわかっています。105 の変形ファミリーの多くの例について、代表的 3 次元多様体の K-安定性は、そのファミリーを記述する自然な GIT 問題の観点から解釈できるため、ファノ 3 次元多様体の K-モジュライの明示的な例も GIT 商として見つけることができます。

ファノ3次元多様体のいくつかのクラスについては、分類問題が未解決のままである。例えば、向井・梅村3次元多様体は、${\displaystyle X_{\operatorname {MU} }}$^{[ 61 ]}変形クラスにおいて${\displaystyle V_{22}}$ケーラー・アインシュタイン計量を許容し、ドナルドソンの研究によりK-多安定である。ドナルドソンは上記の基準を用いてティアンのアルファ不変量を明示的に計算した。^{[ 62 ]}この多様体は非離散自己同型群を持つ。${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$そして、その近くの変形は${\displaystyle X_{\operatorname {MU} }}$また、K-ポリ安定であることは知られていない。普遍変形空間内のGIT-ポリ安定点に対応する変形は、${\displaystyle \mathbb {X} _{\operatorname {MU} }}$近くの K-多安定多様体に対応するはずである。^{[ 63 ] [ 64 ]}

任意の次元における K-多安定ファノ多様体の最初で最も単純な例は複素射影空間であり、これは常に任意の次元でケーラー-アインシュタインであるフビニ-スタディ計量を持つため、すべての射影空間は K-多安定である。

一般的に、高次元ではそのような「明白な」ケーラー・アインシュタイン計量は多くなく、例を見つけるには最近の安定性解析手法を用いる必要がある。ファノ多様体の特定の族については、アルファ不変量を用いた解析的手法、あるいはベータ不変量またはデルタ不変量を用いた純粋に代数幾何学的手法のいずれかを用いて、高次元におけるK安定性を証明できる。例として、フェルマー超曲面は、次の形式の多様体である。$${\displaystyle F_{n,d}=\left\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots +z_{n+1}^{d}=0\right\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}.}$$ これらの超曲面は、離散自己同型群を持つ滑らかなファノ多様体である。${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$、そして、Tianはアルファ不変量を用いて、${\displaystyle \alpha _{G}(F_{n,d})>{\frac {2}{n+2-d}}}$暗示する${\displaystyle F_{n,d}}$ケーラー・アインシュタインを認める${\displaystyle n\leq d\leq n+1}$、そして、より詳細な議論を用いて、Tianは、次の場合にケーラー・アインシュタイン計量の存在を証明した。${\displaystyle d\leq n}$. ^{[ 22 ] [ 65 ]}一方、デルタ不変量を用いて、荘は完全に代数的な証明を与えた。${\displaystyle F_{n,d}}$K安定である${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$したがって、これらの場合、ケーラー・アインシュタイン計量を許容する。^{[ 66 ]}一様K安定性とK半安定性の開放性結果を用いると、次数 の一般的な滑らかな超曲面は、${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$内部${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+1}}$K安定である。場合によっては、すべての次数が実際に知られている。${\displaystyle d}$超曲面はK安定であり、例えばすべての${\displaystyle d=n,n+1}$滑らかな超曲面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+1}}$[ ^{10 ]​}

特定のファノ多様体の研究に加えて、特定の設定では、Kモジュライを高次元で明示的に記述することができます。たとえば、Kモジュライが「明らかな」GIT解釈を許容する場合、ベータ不変量またはデルタ不変量の代数的ツールを使用して、その特定の問題に対してGIT安定性がK安定性と同等であることを検証できます。たとえば、Liuはモジュライ連続性法を使用して、3次4重超曲面に対して、${\displaystyle \mathbb {CP} ^{5}}$（おそらく特異な）3次4次元多様体のGITモジュライ空間はKモジュライ空間と同型であり、したがって、GIT安定性と特異構造の観点から、K安定、K多安定、K半安定の3次4次元多様体の明示的な記述が得られる。^{[ 67 ]}特に、すべての滑らかな3次4次元多様体はK安定である。