いとこ問題

数学において、カズン問題とは、局所データによって指定される有理型関数の存在に関する、複素変数が複数ある場合の 2 つの問題です。この問題は、1895 年にピエール・カズンによって特殊なケースで導入されました。現在では、任意の複素多様体Mに対して、 Mの条件に基づいて提起され、解決されています。

どちらの問題でも、集合U _iによるMの開被覆が与えられ、各U _i上の有理型関数f _iも与えられます。

最初のいとこ問題または加法いとこ問題は、各差が

${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

は正則関数であり、定義される。これは、 M上の有理型関数fが次のように 定義されるものを求める。

${\displaystyle f-f_{i}}$

はU _i上で正則である、つまり、f は与えられた局所関数の特異な振る舞いを共有する。 上の与えられた条件は明らかにこれには必要であるので、問題はそれが十分かどうかを問うことに等しい。 1 変数の場合は、M が複素平面の開集合である場合の極の規定に関するミッタク・レフラー定理である。リーマン面理論は、 Mに対する何らかの制限が必要であることを示している。 問題は常にスタイン多様体上で解くことができる。 ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

第一いとこ問題は、層コホモロジーの観点から次のように理解できる。Kを有理型関数の層、OをM上の正則関数の層とする。Kの大域切断は商層K / Oの大域切断に移行する。逆の質問が第一いとこ問題である。K / Oの大域切断が与えられたとき、そこから生じるKの大域切断はあるか？問題は、写像の像を特徴付けることである 。${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi (f)}$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

長完全コホモロジー列により、

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

は正確であり、したがって、最初のコホモロジー群H ¹ ( M , O ) がゼロであれば、最初のカズン問題は常に解くことができます。特に、カルタンの定理 Bにより、 M がスタイン多様体で あれば、カズン問題は常に解くことができます。

2番目のいとこ問題または乗法いとこ問題は、各比率が

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

は、定義される非零正則関数である。これは、M上の有理型関数fが次のように 定義されるものを求める。

${\displaystyle f/f_{i}}$

は正則かつ非ゼロです。第 2 カズン問題は、指定されたゼロを持つ 1 変数の正則関数の存在に関する ワイエルシュトラスの定理の多次元一般化です。

この問題に対する対数によるアプローチは、加法問題に還元するために、最初のチャーン類という形で障害に遭遇する（指数層列も参照）。層理論では、をどこにも消えない正則関数の層、を同じくゼロではない有理型関数の層とする。これらは両方ともアーベル群の層であり、商層は明確に定義される。乗法カズン問題は、商写像の像を特定しようとする。${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf { O} ^{*}).}$

商に関連する長完全層コホモロジー列は

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

したがって、第 2 カズン問題は、次の条件を満たすすべての場合に解くことができます。商層は、M上のカルティエ因子の芽の層です。したがって、すべての大域セクションが有理型関数によって生成されるかどうかという問題は、M上のすべての直線束が自明かどうかを判断することと同じです。 ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$

上の乗法構造のコホモロジー群は、対数をとることによって、その加法構造のコホモロジー群と比較することができる。つまり、層の正確な列が存在する。 ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

ここで、最も左の層はファイバー を持つ局所定数層である。H 1^のレベルで対数を定義する際の障害は、長完全コホモロジー列から に ある。${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Mがスタイン多様体の場合、中央の矢印は同型である。なぜなら、に対してであり、その場合、第2カズン問題が常に解けるための必要十分条件は、${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

• カルタンの定理AとB