有理関数

複素解析の数学分野において、開集合上の有理型関数${\displaystyle D}$複素平面の は、すべての 上で正則な関数である。${\displaystyle D}$関数の極である孤立点 の集合を除いて。 ^{[ 1 ]}この用語はギリシャ語のmeros ( μέρος ) に由来し、「部分」を意味します。^{[ a ]}

上のすべての有理型関数${\displaystyle D}$は、上で定義された 2 つの正則関数(分母が定数 0 ではない)の比として表現できます。${\displaystyle D}$: 極は分母の零点と一致しなければならない。

直感的に言えば、有理型関数は、性質の良い（正則な）2つの関数の比です。このような関数は、分数の分母がゼロになる点を除いて、性質の良い関数であり続けます。分母がゼロになる点がある場合、${\displaystyle z}$分子がゼロでない場合、関数の値は無限大に近づきます。${\displaystyle z}$すると、これらのゼロの重複度を比較する必要がある。

代数的な観点から言えば、関数の定義域が連結であれば、有理型関数の集合は、正則関数の集合の整数定義域の分数体となる。これは、有理数と整数の関係に類似している。

20世紀には、この用語が使用される研究分野と、この用語の正確な意味の両方が変化しました 。1930年代の群論では、有理型関数（または有理型）は、群GからG自身への関数で、群上の積を保存するものでした。この関数の像はGの自己同型と呼ばれていました。^{[ 2 ]}同様に、準同型関数（または準同型）は、群間の関数で、積を保存するものであり、準同型は準同型の像でした。この用語の形式は現在では廃れており、関連する用語である有理型は群論ではもはや使用されていません。現在では、関数自体に対して自己同型という用語が使用され、関数の像には特別な名前は付けられていません。

有理型関数は必ずしも自己準同型ではない。なぜなら、その極にある複素点は定義域には含まれないが、値域には含まれる可能性があるからである。

極は孤立しているため、有理型関数には可算個しか存在しない。 ^{[ 3 ]}関数の例のように、極の集合は無限になる可能性がある。$${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$$

解析接続を用いて除去可能な特異点を消去することで、有理型関数は加算、減算、乗算、商演算が可能になる。${\displaystyle f/g}$形成されない限り${\displaystyle g(z)=0}$Dの連結成分上。したがって、Dが連結である場合、有理型関数は体を形成し、実際には複素数の体拡張を形成します。

• すべての有理関数、^{[ 3 ]}例えば$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$$これらは複素平面全体で有理型関数である。さらに、これらは拡張複素平面上で唯一の有理型関数である。
• 機能$${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$$ガンマ関数とリーマンゼータ関数は複素平面全体で有理型である。^{[ 3 ]}
• 機能$${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$$は原点 0 を除く複素平面全体で定義されます。しかし、0 はこの関数の極ではなく、本質的な特異点です。したがって、この関数は複素平面全体では有理型ではありません。しかし、 上では有理型（正則）です。${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$。
• 複素対数関数$${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$$は、孤立点の集合だけを除外して複素平面全体で定義することはできないため、複素平面全体で有理型ではありません。^{[ 3 ]}
• 機能$${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$$は平面全体で有理型ではない。なぜなら、点${\displaystyle z=0}$は極の集積点であり、したがって孤立した特異点ではない。^{[ 3 ]}
• 機能$${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$$0 に本質的な特異点を持つため、有理型でもありません。

リーマン面上では、すべての点が複素平面の開部分集合と双正則な開近傍を持つ。したがって、すべてのリーマン面に対して有理型関数の概念を定義することができる。

Dがリーマン球面全体である場合、有理型関数の体は複素体上の1変数有理関数の体と等しくなります。なぜなら、球面上の任意の有理型関数は有理関数であることが証明できるからです。（これは、いわゆるGAGA原理の特殊な場合です。）

あらゆるリーマン面において、有理型関数は、リーマン球面に写像される正則関数であり、かつ定数関数（∞）ではない関数である。極は、∞に写像される複素数に対応する。

非コンパクトリーマン面上では、すべての有理型関数は、2つの（大域的に定義された）正則関数の商として実現できる。一方、コンパクトリーマン面上では、すべての正則関数は定数であるが、非定数の有理型関数は常に存在する。

孤立した極のみを持つ有理型関数とは対照的に、複素解析において、本質的特異点を持つ関数を表す普遍的に確立された用語は存在しない。有理型関数は、関数が無限大に発散する「穏やかな」特異点を持つことが特徴であるのに対し、孤立した本質的特異点を持つ関数は、はるかに複雑な振る舞いを示す。

孤立した本質的特異点を持つ関数は、アポロモルフィック（ギリシャ語のἄπορος aporos、「通過不可能な」または「神秘的な」に由来）と呼ばれることがあるが、この用語は数学文献では確立されていない。この呼称は、カソラティ＝ワイエルシュトラスの定理で説明されているように、そのような関数が特異点付近で示す予測不可能で混沌とした振る舞いを反映している。

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