仮想線（数学）

複素幾何学において、仮想線とは、実数点を1つだけ含む直線のことである。この点は共役線との交点であることが証明できる。^{[ 1 ]}

これは仮想曲線の特殊なケースである。

複素射影平面P ^{2 (C) には、3 つの}同次座標で点が表される仮想線が存在する。${\displaystyle (x_{1},\ x_{2},\ x_{3}),\quad x_{i}\in C.}$

ボイド・パターソンはこの平面上の線を次のように説明した。^{[ 2 ]}

座標が複素係数を持つ同次線形方程式を満たす点の軌跡

${\displaystyle a_{1}\ x_{1}+\ a_{2}\ x_{2}\ +a_{3}\ x_{3}\ =\ 0}$

これは直線であり、その方程式の係数が3つの実数に比例するかどうかに応じて、実数または虚数になります。

フェリックス・クラインは、想像上の幾何学的構造について次のように述べている。「座標がすべて実数でない場合、その幾何学的構造を想像上のものとして特徴づける。^{[ 3 ]}

ハットンによれば：^{[ 4 ]}

重なり合う対合線束（実数）が実数の横断線によって切断される、重なり合う対合線の二重点（虚数）の軌跡は、一対の虚数直線である。

ハットン氏は続けてこう述べている。

したがって、仮想的な直線は、対合の二重点である仮想的な点と、対合ペンシルの頂点である実数点によって決定されることがわかる。

• 円錐曲線
• 虚数
• 仮想点
• 実曲線

• JLS ハットン (1920) 『幾何学における虚数の理論と虚数の三角法』、ケンブリッジ大学出版局（インターネットアーカイブ経由）
• Felix Klein (1928) Vorlesungen über nicht-euklischen Geometrie、Julius Springer。