乗数理想

可換代数では、複素多様体上のイデアルの層と実数cに関連付けられた乗数イデアルは、（局所的には）関数hで構成され、

${\displaystyle {\frac {|h|^{2}}{\sum |f_{i}^{2}|^{c}}}}$

は局所的に積分可能であり、ここでf _{i は}イデアルの局所生成元の有限集合である。乗数イデアルは、イデアルではなく複素多様体上の層を扱った Nadel (1989) と Lipman (1993) によって独立に導入され、Lipman はそれを随伴イデアルと呼んだ。

乗数理想については、調査論文 Blickle & Lazarsfeld (2004)、Siu (2005)、および Lazarsfeld (2009) で説明されています。

代数幾何学において、有効-因子の乗数イデアルは、 Dの小数部から生じる特異点を測定します。乗数イデアルは、小平消失定理や川又–フィーウェグ消失定理などの消失定理と連動して適用されることがよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

X を滑らかな複素多様体とし、 D をその有効因子とする。Dの対数分解（例えば、弘中の分解）をDとする。D の乗数イデアルは ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mu :X'\to X}$

${\displaystyle J(D)=\mu _{*}{\mathcal {O}}(K_{X'/X}-[\mu ^{*}D])}$

ここで は相対標準因子です: 。これは のイデアル層です。Dが整列している場合、 となります。 ${\displaystyle K_{X'/X}}$${\displaystyle K_{X'/X}=K_{X'}-\mu ^{*}K_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle J(D)={\mathcal {O}}_{X}(-D)}$

• 正準特異点
• テスト理想
• ネーデル消失定理

• ブリックル、マヌエル、ラザースフェルド、ロバート (2004)、「乗数イデアルの非公式入門」、可換代数の動向、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、vol. 51、ケンブリッジ大学出版局、pp. 87–114、CiteSeerX  10.1.1.241.4916、doi :10.1017/CBO9780511756382.004、ISBN 9780521831956、MR  2132649、S2CID  10215098
• ラザースフェルド、ロバート (2009)、「乗数イデアルに関する短期講座」、2008 PCMI 講義、arXiv : 0901.0651、Bibcode :2009arXiv0901.0651L
• ラザースフェルト、ロバート (2004)。『代数幾何学における正値性 II』ベルリン: Springer-Verlag。
• Lipman, Joseph (1993)、「二次元の規則的な局所リングにおける単純な完全イデアルの随伴体と極子」(PDF)、Bulletin de la Société Mathématique de Belgique。セリエ A、45 (1): 223–244、MR  1316244
• ナデル、アラン・マイケル (1989)、「乗数理想層と正のスカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量の存在」、米国科学アカデミー紀要、86 (19): 7299–7300、Bibcode :1989PNAS...86.7299N、doi : 10.1073/pnas.86.19.7299、JSTOR  34630、MR  1015491、PMC  298048、PMID  16594070
• Siu, Yum-Tong (2005)、「複素幾何学と代数幾何学における乗数イデアル層」、Science China Mathematics、48 (S1): 1–31、arXiv : math/0504259、Bibcode :2005ScChA..48....1S、doi :10.1007/BF02884693、MR  2156488、S2CID  119163294