連接層コホモロジー

数学、特に代数幾何学と複素多様体理論において、連接層コホモロジーは、指定された特性を持つ関数を作成するための手法です。多くの幾何学的な問題は、線束の切断またはより一般的な連接層の切断の存在に関する問題として定式化できます。このような切断は、一般化された関数として考えることができます。コホモロジーは、切断を作成する、または切断が存在しない理由を説明する計算可能なツールを提供します。また、1 つの代数多様体を別の代数多様体と区別するための不変量も提供します。

代数幾何学と複素解析幾何学の多くは、連接層とそのコホモロジーに基づいて定式化されます。

連接層は、ベクトル束の一般化と見ることができます。複素解析空間上の連接解析層の概念と、スキーム上の類似の概念である連接代数層があります。どちらの場合も、与えられた空間には、環の層、正則関数の層、または正則関数の層が付属しており、連接層は、 -加群のカテゴリの完全なサブカテゴリ（つまり、-加群の層）として定義されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

接線束などのベクトル束は、幾何学において基本的な役割を果たします。より一般的には、を含むの閉部分多様体に対して、上のベクトル束は上の連接層、つまり の外部では 0 である直接像層を決定します。このように、 の部分多様体に関する多くの疑問は、上の連接層で表現できます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:Y\to X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ベクトル束とは異なり、連接層（解析的または代数的の場合）はアーベル圏を形成するため、核、像、余核を取るなどの操作に対して閉じています。スキーム上では、準連接層は、無限階数の局所自由層を含む連接層の一般化です。

位相空間上のアーベル群の層 に対して、整数 の層コホモロジー群 は、大域切断の関数 の右導来関数として定義されます。結果として、 に対して はゼロとなり、 と同一視できます。任意の層の短完全列に対して、コホモロジー群の長完全列が存在する: ^[1]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle i<0}$${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .}$

がスキーム 上の- 加群の層である場合、コホモロジー群( の基礎となる位相空間を使用して定義される) は、正則関数の環上の加群です。たとえば、が体 上のスキームである場合、コホモロジー群は-ベクトル空間です。がコヒーレント層または準コヒーレント層である場合、次の一連の結果により、 理論は強力になります。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

複素解析は、1953 年にカルタンの定理 A と Bによって革命を起こしました。これらの結果によれば、がスタイン空間上のコヒーレント解析層である場合、 はその大域セクション によって張られ、すべての に対してとなります。(複素空間がスタインであるための必要十分条件は、それが何らかの に対しての閉じた解析的部分空間に同型である場合です。) これらの結果は、与えられた特異点やその他の特性を持つ複素解析関数の構築に関する多くの古い研究を一般化します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$

1955 年、セールは代数幾何学に連接層を導入した (最初は代数的に閉じた体上であったが、その制限はグロタンディークによって取り除かれた)。カルタンの定理の類似物は非常に一般的に成り立つ。 がアフィンスキーム上の準連接層である場合、 はその大域セクションによって張られ、に対して となる。^[2]これは、アフィンスキーム 上の準連接層のカテゴリが -加群のカテゴリと同値であり、同値性により層が -加群に渡されるという事実と関連している。実際、アフィンスキームは、すべての準コンパクトスキームの中で、準連接層の高次コホモロジーが消滅することを特徴とする。^[3]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$

アフィンスキームのコホモロジーが消滅することの結果として、分離スキーム 、のアフィン開被覆、および上の準コヒーレント層に対して、コホモロジー群は開被覆 に関してチェフコホモロジー群と同型です。^[2]言い換えると、アフィン開部分スキームのすべての有限交差上の の切断がわかれば、に係数を持つのコホモロジーが決定されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

チェフコホモロジーを用いると、任意の直線束に係数を持つ射影空間のコホモロジーを計算することができる。すなわち、体、正の整数、任意の整数に対して、直線束に係数を持つ射影空間のコホモロジーは次のように与えられる: ^[4]${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}}}}0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{ケース}}}$

特に、この計算は、任意の直線束に係数を持つ上の射影空間のコホモロジーが-ベクトル空間として有限次元を持つことを示しています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

次元を超えるこれらのコホモロジー群の消失は、グロタンディークの消失定理の非常に特殊なケースです。次元 のネーター位相空間上の任意のアーベル群の層に対して、すべての に対して が成立します。^{[5]これは、}ネータースキーム（たとえば、体上の多様体）と準コヒーレント層 の場合に特に便利です。${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n<\infty }$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle i>n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

次数 の滑らかな射影平面曲線が与えられれば、コホモロジーの長完全列を使って層コホモロジーを簡単に計算できる。まず、埋め込みに対してコホモロジー群の同型性がある ことに注意する。${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$${\displaystyle i:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$

は正確である。これは、コヒーレント層の短完全列が ${\displaystyle i_{*}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

の理想列^[6]と呼ばれる列は、コホモロジーの長完全列を介してコホモロジーを計算するために使用できる。この列は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

これは射影空間上のこれまでの計算を使って簡略化できる。簡単のため、基底環は（または代数的に閉じた任意の体）であると仮定する。すると同型写像が ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}}$

これは曲線が階数の有限次元ベクトル空間である ことを示す。${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$。

キュネス公式 の類似は、多様体の積に対するコヒーレント層コホモロジーにも存在する。^[7]体 上のアフィン対角線を持つ準コンパクトスキーム（例えば分離スキーム）が与えられ、 および とすると、同型が存在する。${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)}$

${\displaystyle H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})}$

ここで、から への標準射影は です。 ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$${\displaystyle X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}$${\displaystyle X,Y}$

では、 の一般的なセクションは曲線 を定義し、理想的なシーケンスを与える。${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

そして、長完全列は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

与える

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}$

は曲線の種数なので、キュネスの公式を使ってベッティ数を計算することができます。これは${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))}$

ランクの

${\displaystyle {\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1}$^[8]

に対してである。特に、が の属断面の消失点によって定義される場合、 は属${\displaystyle -a,-b\leq -2}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)}$

${\displaystyle 2k-2-k+1=k-1}$

したがって、任意の種数の曲線は の内部に存在します。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

体上の適切なスキーム と上の任意の連接層に対して、コホモロジー群は-ベクトル空間として有限次元を持ちます。^[9]が上に射影的な特殊なケースでは、これは上で議論した射影空間上の線束の場合に還元することで証明されます。体上の適切なスキームの一般的なケースでは、グロタンディークはチョウの補題を使って、射影的なケースに還元することでコホモロジーの有限性を証明しました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

コホモロジーの有限次元性は、任意のコンパクト複素空間上の連接解析層の類似の状況でも、非常に異なる議論によって成り立ちます。カルタンとセールは、フレシェ空間のコンパクト作用素に関するシュワルツの定理を使用して、この解析的な状況での有限次元性を証明しました。適切な射に対するこの結果の相対バージョンは、グロタンディーク (局所ノイザンスキームの場合) とグラウアート(複素解析空間の場合)によって証明されました。つまり、適切な射(代数的または解析的設定で) と上の連接層に対して、高次の直接像層は連接です。^[10]が点のとき、この定理はコホモロジーの有限次元性を与えます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$

コホモロジーの有限次元性は、射影多様体に対する多くの数値的不変量につながる。例えば、が代数的に閉じた体 上の滑らかな射影曲線である場合、の種数は-ベクトル空間の次元として定義される。 が複素数体 である場合、これはその古典的な（ユークリッド）位相における複素点の空間 の種数と一致する。（その場合、は閉じた有向面である。）多くの高次元の一般化が可能であるが、次元の滑らかな射影多様体の幾何学的種数は の次元であり、算術的種数は（ある慣例^[11]によれば）交代和である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )=X^{an}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

セール双対性は、コヒーレント層コホモロジーに対するポアンカレ双対性の類似である。この類似性では、標準バンドルが 配向層の役割を果たす。つまり、体 上の次元の滑らかな適切なスキームに対して、自然なトレースマップが存在する。これは、 が幾何学的に連結である場合に同型であり、つまり の基底変換から の代数的閉包への変換が連結であることを意味する。 上のベクトルバンドルに対するセール双対性は、積${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

は任意の整数に対して完全なペアリングである。^[12]特に、-ベクトル空間とは同じ（有限）次元を持つ。（セールは任意のコンパクト複素多様体上の正則ベクトル束に対してセール双対性も証明した。）グロタンディークの双対性理論には、任意のコヒーレント層とスキームの任意の固有射への一般化が含まれるが、記述はそれほど初歩的ではない。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{i}(X,E)}$${\displaystyle H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})}$

たとえば、代数的に閉じた体 上の滑らかな射影曲線の場合、セール双対性は、上の 1-形式の空間の次元が の種数( の次元)に等しいことを意味します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

GAGA定理は、複素数上の代数多様体を対応する解析空間に関連付ける。C上の有限型のスキームXに対して、 X上の連接代数層から関連する解析空間X ^an上の連接解析層への関数が存在する。鍵となる GAGA定理 (グロタンディークによる、射影的ケースに関するセールの定理の一般化) は、X がC上で適切であれば、この関数はカテゴリの同値であるということである。さらに、 C上の適切なスキームX上のすべての連接代数層Eに対して、自然な写像

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})}$

（有限次元）複素ベクトル空間の同型は、すべてのiに対して同型である。^[13]（ここで最初のグループはザリスキ位相を使用して定義され、2番目のグループは古典的（ユークリッド）位相を使用して定義される。）たとえば、射影空間上の代数的連接層と解析的連接層が同値であることは、CP ⁿのすべての閉じた解析的部分空間が代数的であるというチョウの定理を意味する。

セールの消失定理は、ネーター環上の適切なスキーム上の任意の豊富な直線束 と、上の任意の連接層に対して、すべての に対して、その層がその大域切断によって張られ、正の次数でコホモロジーを持たないような整数が存在することを述べている。 ^{[14] [15]}${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle m\geq m_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}}$

セールの消失定理は有用であるが、数の不明確さが問題となることがある。小平の消失定理は重要な明示的な結果である。すなわち、 が特性 0 の体上の滑らかな射影多様体であり、が 上の十分な直線束であり、 が標準束である場合、 ${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

すべての に対して成立します。セールの定理は の大きなべき乗に対しても同じ消失を保証することに注意してください。小平消失とその一般化は代数多様体の分類と極小モデルプログラムの基本です。小平消失は正の特性を持つ体では成立しません。^[16]${\displaystyle j>0}$${\displaystyle L}$

ホッジ定理は、連接層コホモロジー と特異コホモロジー(またはド・ラームコホモロジー) を関連付ける。つまり、が滑らかな複素射影多様体である場合、複素ベクトル空間の標準的な直和分解が存在する。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),}$

任意の に対して成り立ちます。左側の群は、古典的（ユークリッド）位相における の特異コホモロジーを意味します。一方、右側の群は、連接層のコホモロジー群であり、（GAGA により）ザリスキ位相または古典的位相のどちらでも取れます。上の任意の滑らかな適切なスキーム、または任意のコンパクトなケーラー多様体に対して、同じ結論が成り立ちます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle X(\mathbf {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

例えば、ホッジの定理は、任意の体 上で意味をなす の次元としての滑らかな射影曲線の種数の定義が、 が複素数であるときの位相的な定義（第 1ベッチ数 の半分として）と一致することを意味します。ホッジ理論は、複素代数多様体の位相的性質に関する膨大な研究に影響を与えてきました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

体k上の適切なスキームXに対して、X上の連接層Eのオイラー特性は整数

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).}$

連接層Eのオイラー特性は、リーマン・ロッホの定理とその一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理に従って、 Eのチャーン類から計算できる。例えば、L が体k上の滑らかな適切な幾何学的に連結な曲線X上の線束である場合、

${\displaystyle \chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,}$

ここで、deg( L )はLの次数を表します。

リーマン・ロッホの定理は、消失定理と組み合わせると、直線束の切断のベクトル空間の次元を決定するためによく使用されます。X 上の直線束に十分な切断があることがわかれば、今度は、 Xから射影空間、おそらくは閉じた浸漬への写像を定義するために使用できます。このアプローチは、代数多様体の分類に不可欠です。

リーマン・ロッホの定理は、アティヤ・シンガーの指数定理によって、コンパクト複素多様体上の正則ベクトル束に対しても成り立ちます。

n次元のスキーム上のコホモロジー群の次元は、最大でn次多項式のように大きくなります。

X をn次元 の射影スキームとし、D をX上の因子とする。 がX上の任意の連接層である場合、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})}$すべてのiに対して。

X上のnef 因子 Dの高次コホモロジーの場合;

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})}$

体k上のスキームXが与えられたとき、変形理論はXの無限小近傍への変形を研究する。最も単純なケースは、双対数環上の変形に関するもので、 Spec R上のスキームX _Rが存在し、特殊ファイバー${\displaystyle R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k}$

は与えられたXと同型である。接層 に係数を持つ連接層コホモロジーは、Xが滑らかである限り、Xのこの変形のクラスを制御する。すなわち、 ${\displaystyle T_{X}}$

• 上記のタイプの変形の同型類は、第一コヒーレントコホモロジーによってパラメータ化され、${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$
• 上記のようにSpec R上のXの変形が存在する場合にのみ、 が消える要素 (障害クラスと呼ばれる) が存在します。${\displaystyle H^{2}(X,T_{X})}$

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• スタックス プロジェクト 著者、スタックス プロジェクト