プラトン立体

幾何学において、プラトン立体は、 3 次元ユークリッド空間にある凸状の正多面体です。正多面体とは、面が合同(形と大きさが同じ)で、正多角形(すべての角度が合同で、すべての辺が合同) であり、各頂点で面の数が同じであることを意味します。このような多面体は 5 つしかありません。

幾何学者は何千年もの間、プラトン立体を研究してきました。^{[1]プラトン立体は古代ギリシャの哲学者}プラトンにちなんで名付けられました。プラトンは対話篇『ティマイオス』の中で、古典的な要素はこれらの正多面体でできていると仮説を立てました。 ^[2]

プラトン立体は古代から知られていた。スコットランドの新石器時代後期の人々が作った彫刻が施された石球がこれらの形状を表しているのではないかと示唆されてきたが、これらの球は多面体ではなく丸い突起を持ち、突起の数はプラトン立体の頂点の数と異なることが多く、突起が正十二面体の20の頂点と一致する球は存在せず、突起の配置は必ずしも対称的ではなかった。^[3]

古代ギリシャ人はプラトン立体を広範囲に研究した。いくつかの文献（プロクロスなど）では、その発見者はピタゴラスであるとしている。他の証拠によると、彼は四面体、立方体、十二面体しか知らなかった可能性があり、八面体と二十面体の発見はプラトンと同時代のテアイテトスによるものであると示唆されている。いずれにせよ、テアイテトスは 5 つすべてを数学的に記述し、他の凸正多面体は存在しないという最初の証明を行った人物である可能性がある。

プラトン立体は、その名を冠したプラトンの哲学において重要な位置を占めている。プラトンは紀元前360年頃の対話『ティマイオス』 の中で、古典的な4つの要素（土、空気、水、火）をそれぞれ正多面体と関連付けて記述している。土は立方体、空気は八面体、水は二十面体、火は四面体と関連付けられている。プラトンの5番目の立体である十二面体について、プラトンは「神は[それ]を天空全体の星座を配置するために使用した」とあいまいに述べている。アリストテレスは5番目の要素であるアイテル（ラテン語でエーテル、英語ではエーテル）を追加し、天空はこの要素でできていると仮定したが、プラトンの5番目の立体と一致させることには興味がなかった。^[4]

ユークリッドは『原論』の中でプラトン立体を数学的に完全に記述しており、その最後の書（第13巻）はそれらの性質に充てられている。第13巻の命題13～17は、正四面体、正八面体、立方体、正二十面体、正十二面体の構築をこの順序で記述している。ユークリッドは各立体について、外接球の直径と辺の長さの比を求めている。命題18では、これ以外に凸正多面体は存在しないと論じている。アンドレアス・シュパイザーは、 5つの正多面体の構築が『原論』で正典化された演繹体系の主な目的であるという見解を主張している。^[5]第13巻の情報の多くは、おそらくテアイテトスの著作に由来している。

16 世紀、ドイツの天文学者 ヨハネス・ケプラーは、当時知られていた5 つの地球外惑星を5 つのプラトン立体に関連付けようとしました。1596 年に出版された『宇宙の神秘』で、ケプラーは、 5 つの立体が互いに内接し、一連の内接球と外接球で区切られた太陽系のモデルを提唱しました。ケプラーは、当時知られていた 6 つの惑星間の距離関係は、土星の軌道を表す球に囲まれた 5 つのプラトン立体の観点から理解できると提唱しました。6 つの球はそれぞれ、惑星 (水星、金星、地球、火星、木星、土星)の 1 つに対応していました。立体は、最も内側が正八面体、次に正二十面体、正十二面体、正四面体、最後に立方体という順序になっており、それによって太陽系の構造と惑星間の距離関係がプラトン立体によって決定づけられた。結局、ケプラーの当初の考えは放棄されなければならなかったが、彼の研究から軌道力学の3つの法則が生まれ、その最初の法則は惑星の軌道は円ではなく楕円であるというもので、物理学と天文学の方向性を変えた。^{[6]彼はまた、2つの}非凸正多面体であるケプラー立体を発見した。

原点を中心としたプラトン立体の場合、頂点の単純な直交座標は以下のように表されます。ギリシャ文字は黄金比を表すために使用されます。 ${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180}$

四面体、十二面体、二十面体の座標は、それぞれが他方から推測できるように 2 つの位置で与えられます。四面体の場合は、すべての座標の符号を変更することによって (中心対称)、その他の場合は、2 つの座標を交換することによって ( 3 つの対角面のいずれかに対する反射) 推測されます。

これらの座標はプラトン立体間の特定の関係を明らかにしている。四面体の頂点は立方体の頂点の半分を表し、{4,3}または、h{4,3}または両方の四面体の位置により、複合星型八面体が形成されます。

二十面体の座標は、不均一な切頂八面体の2つの交互の座標セットt{3,4}または、 s{3,4}またはsnub octahedronとも呼ばれます2 つの 20 面体の複合体として見られます。

正十二面体の頂点のうち 8 つは立方体と共有されています。すべての方向を完了すると、5 つの立方体の複合体になります。

凸多面体は、次の 3 つの要件がすべて満たされている場合にのみ、プラトン立体になります。

• そのすべての面は合同な凸正多角形です。
• 面は、端を除いて交差しません。
• 各頂点には同じ数の面が接します。

したがって、各プラトン立体には整数のペア { p ,  q } を割り当てることができます。ここで、 pは各面の辺（または頂点）の数、q は各頂点で交わる面（または辺）の数です。このペア { p ,  q } はシュレーフリ記号と呼ばれ、多面体の組み合わせ記述を提供します。5 つのプラトン立体のシュレーフリ記号を以下の表に示します。

これらの立体に関する他のすべての組み合わせ情報、例えば頂点 ( V )、辺 ( E )、面 ( F ) の総数は、 pとqから決定できます。どの辺も 2 つの頂点を結び、 2 つの隣接する面を持つため、次のようになります。

$${\displaystyle pF=2E=qV.\,}$$

これらの値間の他の関係はオイラーの公式によって与えられます。

$${\displaystyle V-E+F=2.\,}$$

これはさまざまな方法で証明できます。これら 3 つの関係を組み合わせることで、V、E、F が完全に決定されます。

$${\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}$$

pとq を交換すると、 E は変更されずにFとV が入れ替わります。この特性の幾何学的解釈については、§ 双対多面体を参照してください。

多面体の要素は配置行列で表現できる。行と列は頂点、辺、面に対応する。対角の数字は、多面体全体に各要素がいくつあるかを表す。非対角の数字は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつあるかを表す。多面体の双対は、配置行列が互いに180度回転している。^[7]

古典的な結論は、凸正多面体は 5 つしか存在しないというものです。以下の 2 つの一般的な議論は、プラトン立体は 5 つまでしか存在できないことを示していますが、任意の立体の存在を積極的に証明することは別の問題であり、明示的な構築が必要です。

次の幾何学的議論は、ユークリッドの『原論』で示されたものと非常によく似ています。

純粋に位相的な証明は、立体に関する組み合わせ情報のみを使って行うことができます。鍵となるのは、オイラーの観察であるV  −  E  +  F = 2と、 pF  = 2 E  =  qV という事実です。ここで、p は各面の辺の数、q は各頂点で交わる辺の数を表します。これらの式を組み合わせると、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$$

簡単な代数操作により、

$${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$$

Eは正な ので、

$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$$

pとq はどちらも 3 以上でなければならないという事実を利用すると、{ p ,  q } には 5 つの可能性しかないことが簡単にわかります。

各プラトン立体にはいくつかの角度が関連付けられています。二面角は、任意の2つの面の間の内角です。立体{ p、q }の二面角θは、次の式で与えられます 。

$${\displaystyle \sin(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$$

これは、接線を使って 次のように表現すると便利である。

$${\displaystyle \tan(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.}$$

量h (コクセター数と呼ばれる) は、四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体の場合、それぞれ 4、6、6、10、10 です。

多面体の頂点の角度欠損は、その頂点の面角の合計と2πとの差である。プラトン立体{ p , q } の任意の頂点の欠損δは、

$${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$$

デカルトの定理によれば、これは 4 π を頂点の数で割った値に等しくなります (つまり、すべての頂点の合計欠陥は 4 πです)。

平面角の3次元類似物は立体角である。プラトン立体の頂点における立体角Ωは、二面角で次のように表される。

$${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$$

これは、球面多角形の球面余剰公式と、多面体 { p、q } の頂点図形が正q角形であるという事実から導かれます。

プラトン立体の中心から伸びる面の立体角は、球面の立体角 (4 πステラジアン) を面の数で割った値に等しくなります。これは、その双対面の角度不足に等しくなります。

プラトン立体に関連するさまざまな角度を以下の表に示します。立体角の数値はステラジアンで表されます。定数φ = ⁠1 + √ 5/2⁠ は黄金比です。

規則性のもう一つの利点は、プラトン立体はすべて 3 つの同心球を持っていることです。

• すべての頂点を通る外接球、
• 各辺の中点で各辺に接する中球、および
• 各面の中心で各面に接する内接球面。

これらの球の半径は、外接半径、中点半径、内接半径と呼ばれます。これらは、それぞれ多面体の中心から頂点、辺の中点、面の中心までの距離です。辺の長さがaである立体{ p、  q }の外接半径Rと内接半径rは、次のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

ここでθは二面角である。中心半径ρは次のように与えられる。

$${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}$$

ここでh は二面角の定義で上で使用した量です ( h = 4、6、6、10、または 10)。円周半径と内接円半径の比はpとqで対称です。

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}$$

プラトン立体 { p ,  q } の表面積Aは、正p角形の面積に面の数F を掛けることで簡単に計算できます。

$${\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}$$

体積は、底辺が正p角形であり、高さが内接円半径rであるピラミッドの体積のF倍として計算されます。つまり、

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}$$

次の表は、プラトン立体のさまざまな半径と、その表面積および体積を示しています。全体のサイズは、辺の長さaを 2 に等しくすることで固定されます。

上記の 定数φとξは次のように与えられる。

$${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.}$$

プラトン立体のうち、正十二面体または正二十面体は球に最も近似していると考えられます。正二十面体は面の数と二面角が最も多く、内接球に最も密着し、表面積と体積の比率は同じサイズ (つまり、同じ表面積または同じ体積) の球に最も近いです。一方、正十二面体は角度の欠陥が最も小さく、頂点立体角が最も大きく、外接球を最も満たします。

円周半径Rのプラトン立体の空間内の任意の点について、その点からプラトン立体の重心までの距離はL 、そのn頂点までの距離はd _iであり、

$${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$$、

我々は^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}$$ 5つのプラトン立体すべてについて、^[8]

$${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}$$

d _{i が}プラトン立体のn頂点からその外接球面上の任意の点までの距離である場合、 ^[8]

$${\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$$

多面体P は、 Pと同じかそれ以上の大きさで同じ形の多面体がPの穴を通過できる場合、ルパート特性を持つと言われます。^[9] 5つのプラトン立体はすべてこの特性を持っています。^{[9] [10] [11]}

すべての多面体には、面と頂点が入れ替わった双対（または「極性」）多面体 があります。すべてのプラトン立体の双対は別のプラトン立体であるため、5 つの立体を双対のペアに配置できます。

• 四面体は自己双対です（つまり、その双対は別の四面体です）。
• 立方体と八面体は二重のペアを形成します。
• 正十二面体と正二十面体は双対を形成します。

多面体がシュレーフリ記号 { p ,  q } を持つ場合、その双対多面体は記号 { q ,  p } を持ちます。実際、1 つのプラトン立体のすべての組み合わせ特性は、双対多面体の別の組み合わせ特性として解釈できます。

双対多面体の頂点を元の図形の面の中心にすることで、双対多面体を構築できます。元の図形の隣接する面の中心を接続すると、双対多面体の辺が形成され、辺の数は維持したまま、面と頂点の数を入れ替えることができます。

より一般的には、プラトン立体を、その立体と同心の半径dの球に関して双対化することができる。立体の半径（R、  ρ、  r ）とその双対の半径（ R *、  ρ *、  r *）は、次のように関係付けられる。

$${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$$

中球 ( d  =  ρ )に関して双対化すると、中球が両方の多面体に対して同じ関係を持つため、便利なことがよくあります。d ²  =  Rrとすると、同じ外接半径と内接半径を持つ双対立体が生成されます (つまり、R * =  Rおよびr * =  r )。

数学では、対称性の概念は数学的群の概念で研究されます。すべての多面体には、多面体を不変にするすべての変換 (ユークリッド等長変換)の集合である対称群が関連付けられています。対称群の順序は、多面体の対称性の数です。多くの場合、反射を含む完全な対称群と、回転のみを含む適切な対称群を区別します。

プラトン立体の対称群は、多面体群として知られる3 次元点群の特殊なクラスです。プラトン立体の高度な対称性は、さまざまな方法で解釈できます。最も重要なのは、各立体の頂点は、対称群の作用の下で、辺や面と同様にすべて同等であるということです。対称群の作用は、頂点、辺、面に対して推移的であると言われています。実際、これは多面体の規則性を定義する別の方法です。多面体は、頂点が均一で、辺が均一で、面が均一である場合にのみ規則的です。

プラトン立体に関連する対称群は 5 つではなく 3 つだけです。これは、多面体の対称群がその双対の対称群と一致するためです。これは、双対多面体の構成を調べると簡単にわかります。元の多面体の対称性は双対の対称性でなければならず、その逆も同様です。3 つの多面体群は次のとおりです。

• 四面体 群T、
• 八面体群 O （立方体の対称群でもある）、および
• 二十面体群 I (十二面体の対称群でもある)。

固有（回転）群の次数はそれぞれ 12、24、60 で、それぞれの多面体の辺の数のちょうど 2 倍です。完全対称群の次数はさらに 2 倍（24、48、120）です。これらの事実の導出については、(Coxeter 1973) を参照してください。四面体を除くすべてのプラトン立体は中心対称であり、つまり原点を通した鏡映の下でも対称性が保たれます。

次の表は、プラトン立体のさまざまな対称性特性をリストしたものです。リストされている対称群は、回転サブグループが括弧内に示されている完全な群です (対称の数も同様)。ワイトフの万華鏡構成は、対称群から直接多面体を構築する方法です。参考のために、プラトン立体のそれぞれに対するワイトフの記号をリストします。

四面体、立方体、八面体はすべて結晶構造に自然に存在します。これらは、結晶の可能な形状の数をすべて網羅するものではありません。ただし、正二十面体も正十二面体もその中には含まれていません。その形状の 1 つである黄鉛面体(代表的な鉱物のグループにちなんで名付けられました) には、正十二面体の面と同じパターンで配置された 12 個の五角形の面があります。ただし、黄鉛面体の面は規則的ではないため、黄鉛面体も規則的ではありません。ホウ素の同素体や、炭化ホウ素などの多くのホウ素化合物には、結晶構造内に個別の B _{12二十面体が含まれています。}カルボラン酸も、正二十面体に近い分子構造を持っています。

20 世紀初頭、エルンスト・ヘッケルは、いくつかの放散虫種について記述しました (Haeckel, 1904)。放散虫種のいくつかの骨格は、さまざまな正多面体のような形をしています。例としては、Circoporus octahedrus、Circogonia icosahedra、Lithocubus geometricus、Circorrhegma dodecahedraなどがあります。これらの生物の形状は、名前から明らかです。

ヘルペスウイルス^[12]など多くのウイルスは正二十面体の形をしています。ウイルスの構造は同一のタンパク質サブユニットの繰り返しで構築されており、二十面体はこれらのサブユニットを使用して組み立てる最も簡単な形状です。正多面体が使用されるのは、単一の基本単位タンパク質を繰り返し使用して構築できるためであり、これによりウイルスゲノムのスペースを節約できます。

気象学と気候学では、大気の流れのグローバル数値モデルがますます関心を集めています。このモデルでは、より一般的に使用されている経度/緯度グリッドの代わりに、（三角測量によって精緻化された）二十面体に基づく測地線グリッドが使用されています。このモデルには、数値計算が多少難しくなるという代償として、特異点（つまり極）がなく、空間解像度が均等に分散されるという利点があります。

スペースフレームの幾何学は、多くの場合、プラトン立体に基づいています。MERO システムでは、さまざまなスペースフレーム構成の命名規則にプラトン立体が使用されます。たとえば、⁠1/2⁠ O+T は、八面体の半分と四面体からなる構成を指します。

四面体ではなく、キュバンや十二面体を含むいくつかのプラトン炭化水素が合成されています。

• 
  テトラヘドラン
• 
  キューバ語
• 
  十二面体

プラトン立体は、サイコロを公平にすることができるため、サイコロを作るのによく使われます。6面のサイコロは非常に一般的ですが、他の面のサイコロはロールプレイング ゲームでよく使われます。このようなサイコロは、一般に d nと呼ばれます。ここで、n は面の数です (d8、d20 など)。詳細については、 サイコロの表記法を参照してください。

これらの形状は、他のゲームやパズルによく登場します。ルービック キューブに似たパズルには、5 つの形状すべてがあります。マジック多面体を参照してください。

液晶と呼ばれる中間物質相では、このような対称性の存在は1981年にH.クライナートとK.マキによって初めて提案されました。^{[13] [14]アルミニウムでは、この3年後に}ダン・シェヒトマン によって二十面体構造が発見され、2011年に ノーベル化学賞を受賞しました。

建築家たちは、物質世界の物体の中に魂が見ることができるプラトンの永遠の形という考えを好んだが、これらの形を建設に適した球、円柱、円錐、四角錐に変えた。^[15]特に、新古典主義の指導者の一人であるエティエンヌ＝ルイ・ブーレは、建築家版の「プラトン立体」に夢中になっていた。^[16]

ケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれる凸面ではない正多面体が 4 つ存在します。これらはすべて20 面体対称性を持ち、 12 面体と 20 面体の 星型配置として得られます。

プラトンの立体の次に規則的な凸多面体は、立方体と正八面体を平行移動させた立方八面体と、正十二面体と正二十面体を平行移動させた二十十二面体（自己双対四面体を平行移動させると正八面体になる）である。これらは両方とも準規則的であり、頂点と辺が均一で面が規則的であるが、面がすべて合同というわけではない（2 つの異なるクラスになる）。これらは、多面体対称性を持つ凸均一多面体である13 個のアルキメデスの立体のうちの 2 つを形成します。それらの双対である菱形十二面体と菱形三十面体は、辺と面が推移的であるが、面は規則的ではなく、頂点はそれぞれ 2 種類あります。これらはカタルーニャの13の固体のうちの2つです。

一様多面体は、多面体のより広いクラスを形成します。これらの図形は頂点が一様で、面には 1 つ以上の種類の正多角形または星形多角形があります。これらには、上記のすべての多面体に加えて、無限のプリズムセット、無限の反プリズムセット、および 53 の他の非凸形状が含まれます。

ジョンソン立体は、規則的な面を持つが均一ではない凸多面体です。その中には、8 つの凸デルタ面体のうち 5 つがあり、これらは同一の規則的な面 (すべて正三角形) を持ちますが均一ではありません。(他の 3 つの凸デルタ面体は、プラトンの四面体、八面体、および二十面体です。)

平面の3 つの規則的なモザイク模様は、プラトン立体と密接な関係があります。実際、プラトン立体は球面の規則的なモザイク模様と見なすことができます。これは、各立体を同心球に投影することによって行われます。面は、球面を正確に覆う規則的な球面多角形に投影されます。球面タイリングは、規則的なタイル模様の無限の追加セットを 2 つ提供します。1 つは、極に 2 つの頂点と三日月面を持つ細面体、 {2, n } で、もう1 つは、赤道上に 2 つの半球面と等間隔の頂点を持つ双対二面体、{ n ,2} です。このようなモザイク模様は、真の 3D 空間では多面体として退化します。

球面上のすべての正則なタイル分割は、次の整数のペア { p ,  q }によって特徴付けられる。1/p⁠  +  ⁠1/q⁠  >  ⁠1/2⁠ . 同様に、平面の正則なタイル張りは、条件 ⁠ によって特徴付けられます。1/p⁠  +  ⁠1/q⁠  =  ⁠1/2⁠ . 3つの可能性があります:

同様に、双曲面の正則なタイル張りを考えることもできる。これらは、条件 ⁠ によって特徴付けられる。1/p⁠  +  ⁠1/q⁠  <  ⁠1/2⁠。このようなタイル張りのファミリーは無限にあります。

3 次元を超えると、多面体は多面体に一般化され、高次元の凸正多面体は3 次元のプラトン立体に相当します。

19 世紀半ば、スイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリは、プラトン立体の 4 次元類似体である凸正 4 多面体を発見しました。この図形は 6 個あり、そのうち 5 つはプラトン立体に類似しています。5 セルは {3,3,3}、16 セルは {3,3,4}、600 セルは {3,3,5}、四次元体は{ 4,3,3 } 、 120セルは{ 5,3,3 }、そして 6 つ目は自己双対の24 セル{3,4,3} です。

4次元より高い次元では、凸正多面体は3つしかありません。{3,3,...,3}の単体、{4,3,...,3}の超立方体、 {3,3,...,4}の交差多面体です。^[17] 3次元では、これらは{3,3}の四面体、{4,3}の立方体、{3,4}の八面体と一致します。

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• 視覚的多面体におけるプラトン立体
• Solid Body Viewer は、モデルを svg、stl、または obj 形式で保存できるインタラクティブな 3D 多面体ビューアです。
• インタラクティブなプラトン立体の折り畳み/展開 2007-02-09にWayback Machineでアーカイブされました(Java)
• Stellaソフトウェアによって生成されたネットを使用して作成されたプラトン立体の紙モデル
• プラトン立体 無料ペーパーモデル（ネット）
• グライム、ジェームズ、ステックルズ、ケイティ。「プラトン立体」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2018年10月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年4月13日閲覧。
• 生徒が作成したモデルを使ってアートで数学を教える
• 数学と美術を教える教師による模型作りの指導
• プラトン立体のフレーム代数面の画像
• プラトン立体といくつかの公式の導出
• 立方体から4つの正多面体を作る方法