ユニタリー変換（量子力学）

量子力学では、シュレーディンガー方程式はシステムが時間とともにどのように変化するかを記述します。これは、システムの状態の変化をシステム内のエネルギー（ハミルトニアンと呼ばれる演算子によって与えられる）に関連付けることによって行われます。したがって、ハミルトニアンがわかれば、時間ダイナミクスは原理的にわかります。残っているのは、ハミルトニアンをシュレーディンガー方程式に代入し、システムの状態を時間の関数として解くことです。^{[1] [2]}

しかし、シュレーディンガー方程式は（コンピュータを使っても）解くのが難しいことがよくあります。そのため、物理学者はこれらの問題を単純化し、物理的に何が起こっているかを明らかにする数学的手法を開発しました。そのような手法の 1 つは、ハミルトニアンにユニタリ変換を適用することです。これにより、シュレーディンガー方程式の単純化されたバージョンが得られますが、それでも元の方程式と同じ解が得られます。

ユニタリ変換（またはフレーム変更）は、時間依存のハミルトニアンとユニタリ演算子で表現できます。この変更により、ハミルトニアンは次のように変換されます。 ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle H\to UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{{\dot {U}}U^{\dagger }}=:{\breve {H}}\quad \quad (0)}$。

シュレーディンガー方程式は新しいハミルトニアンに適用されます。変換されていない方程式と変換された方程式の解も によって関連付けられます。具体的には、波動関数が元の方程式を満たす場合、 は新しい方程式を満たします。^[3]${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle U\psi (t)}$

ユニタリ行列の定義により、 であることを思い出してください。シュレーディンガー方程式から始めると、 ${\displaystyle U^{\ダガー }U=1}$

${\displaystyle {\dot {\psi}}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi }$、

したがって、恒等式を任意に挿入することができます。特に、恒等式の後に挿入し、両辺に を掛けると、 ${\displaystyle U^{\ダガー }U=I}$${\displaystyle H/\hbar }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)}$。

次に、積の法則により、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}}$。

もう1つを挿入して並べ替えると、 ${\displaystyle U^{\dagger }U}$

${\displaystyle U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)}$。

最後に、上記の（1）と（2）を組み合わせると、目的の変換が得られます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)}$。

変換された波動関数を記述する表記法を採用すると、方程式はより明確な形で記述できる。例えば、次のように書き直すことができる 。${\displaystyle {\breve {\psi }}:=U\psi }$${\displaystyle (3)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)}$、

これは元のシュレーディンガー方程式の形に書き直すことができる。

${\displaystyle {\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.}$

元の波動関数は として復元できます。 ${\displaystyle \psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}}$

ユニタリー変換は相互作用（ディラック）描像の一般化として見ることができる。後者のアプローチでは、ハミルトニアンは時間に依存しない部分と時間に依存する部分に分割される。

${\displaystyle H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)}$。

この場合、シュレーディンガー方程式は

${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}}$、と。^[4]${\displaystyle \psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi }$

ユニタリ変換への対応は を選択することで示せます。その結果、${\textstyle U(t)=\exp \left[{+iH_{0}t/\hbar }\right]}$${\displaystyle {U^{\dagger }}(t)=\exp \left[{-iH_{0}t}/\hbar \right].}$

上記の表記法を用いると、変換されたハミルトニアンは ${\displaystyle (a)}$

${\displaystyle {\breve {H}}=U\left[H_{0}+V(t)\right]U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)}$

まず、は の関数なので、2つは可換である必要があることに注意してください。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}}$、

これは における変換の最初の項、すなわちを処理します。次に連鎖律を使用して計算します。 ${\displaystyle (b)}$${\displaystyle {\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}}$

これはもう 1 つの と打ち消されます。明らかに が残り、上記のようになります。 ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle {\breve {H}}=UVU^{\dagger }}$${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}}$

ただし、一般的なユニタリ変換を適用する場合、それを部分に分割する必要はなく、ハミルトニアンの任意の部分の関数である必要さえありません。 ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle U(t)}$

基底状態と励起状態の2つの状態を持つ原子を考えてみましょう。原子はハミルトニアン を持ち、ここで は基底状態から励起状態への遷移に関連する光の周波数です。ここで、2つの状態を結合する周波数で駆動して原子を照射し、時間依存の駆動ハミルトニアンが次の式であるとします。 ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|}$

複雑な駆動力の強さの場合。競合する周波数スケール ( 、、および) のため、駆動力の効果を予測することは困難です (駆動調和運動を参照)。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{d}}$${\displaystyle \Omega }$

駆動がなければ、 の位相はに対して振動する。2状態システムのブロッホ球表現では、これはz軸の周りの回転に対応する。概念的には、ユニタリ変換 によって定義される回転参照フレームを入力することで、このダイナミクスの要素を取り除くことができる。この変換では、ハミルトニアンは ${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}}$

${\displaystyle H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|}$。

駆動周波数がGe遷移の周波数に等しい場合、共鳴が発生し、上記の式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle \omega _{d}=\omega }$

${\displaystyle {\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|}$。

このことから、詳細に立ち入らなくても、ダイナミクスには周波数での基底状態と励起状態の間の振動が含まれることが明らかです。^[4]${\displaystyle \Omega }$

別の極限ケースとして、駆動が共鳴から大きく外れている場合、 と仮定します。その場合のダイナミクスは、シュレーディンガー方程式を直接解かなくても理解できます。システムが基底状態 で始まると仮定します。最初は、ハミルトニアンは の何らかの成分を占めます。しかし、少し時間が経つと、 はほぼ同じ量の を占めますが、位相はまったく異なります。したがって、共鳴外の駆動の効果は、それ自体を打ち消す傾向があります。これは、共鳴外の駆動が原子 のフレーム内で急速に回転していると言っても表現できます。 ${\displaystyle |\omega _{d}-\omega |\gg 0}$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle |e\rangle }$

これらの概念は下の表に示されています。球はブロッホ球、矢印は原子の状態、手は駆動力を表しています。

上記の例は、相互作用図でも分析できます。ただし、次の例は、ユニタリ変換の一般的な定式化なしでは分析が難しくなります。2つの調和振動子を考えてみましょう。この2つの振動子の間にビームスプリッター相互作用を設計します。

${\displaystyle g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$。

これは、2つのマイクロ波空洞共振器を と として利用して実験的に達成されました。[ ^5]以下では、この実験の簡略化されたバージョンの分析を概説します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

マイクロ波空洞に加えて、実験には両方のモードに結合されたトランスモン 量子ビット、も使用されました。量子ビットは 2 つの周波数 、 で同時に駆動され、となります。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left[\epsilon _{1}e^{i\omega _{1}t}+\epsilon _{2}e^{i\omega _{2}t}\right](c+c^{\dagger }).}$

さらに、モードを結合する4次の項が多数あるが、そのほとんどは無視できる。この実験では、重要になる2つの項は次の通りである。

${\displaystyle H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c}$。

（Hcはエルミート共役の略記です。）変位変換 をモード^{[明確化が必要]}に適用することができます。振幅を注意深く選択すると、この変換はラダー演算子 を変位させると同時にキャンセルされます。これにより、次のようになります 。${\displaystyle U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{\textrm {drive}}}$${\displaystyle c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}}$

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$。

この式を展開し、高速回転する項を省くと、望ましいハミルトニアンが得られる。

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$。

ユニタリ変換に関係する演算子は、上記のように演算子の指数関数として記述されるのが一般的です。さらに、指数関数内の演算子は一般に関係 に従うため、演算子の変換は です。ここで反復子交換子を導入すると、 ${\displaystyle U=e^{X}}$${\displaystyle X^{\dagger }=-X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle UYU^{\dagger }=e^{X}Ye^{-X}}$

${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の特別な結果を使って、この変換を次のように簡潔に書くことができる。

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}},}$

あるいは、完全性のために長い形で言えば、

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$