隠れ変数理論

1926年6月、マックス・ボルンは論文^{[ 6 ]}を発表し、その中で、同年先にエルヴィン・シュレーディンガーによって導入された量子波動関数の確率的解釈を初めて明確に述べた。ボルンは論文を次のように締めくくっている。

ここで決定論の問題が浮上する。量子力学の観点からすれば、個々の事例において衝突の結果を因果的に決定づける量は存在しない。しかし、実験的にも、衝突の結果を決定づける原子の内部特性が存在すると考える根拠は今のところない。将来、そのような特性を発見し、個々の事例においてそれを決定づけることを期待すべきだろうか？それとも、因果的進化の条件を規定することは不可能であるという点での理論と実験の一致は、そのような条件の非存在に基づいた、あらかじめ定められた調和であると考えるべきだろうか？私自身は、原子の世界においては決定論を放棄する傾向にある。しかし、これは哲学的な問題であり、物理的な議論だけでは決定的な結論は出せない。

ボルンの波動関数の解釈は、以前にそれを実際の物理的用語で解釈しようと試みたシュレーディンガーによって批判されたが、アルバート・アインシュタインの反論は、量子力学が不完全であるという最も初期の、そして最も有名な主張の一つとなった。

量子力学は非常に尊敬に値する。しかし、内なる声が、これは結局本物ではないと告げている。この理論は多くのことを教えてくれるが、古き者の秘密に近づくことはほとんどない。いずれにせよ、私は彼がサイコロ遊びをしているのではないと確信している。^{[ 7 ] [ 8 ]}

ニールス・ボーアは、アインシュタインが後にこの考えを表明した際に、「神に何をすべきかを指図するのはやめなさい」と助言したと伝えられている。^{[ 9 ]}

アインシュタインは有名な「神はサイコロを振らない」という発言をした直後、量子力学に対する決定論的な反論を定式化しようと試み、1927年5月5日にベルリンで開催された科学アカデミーの会合で、「シュレーディンガーの波動力学はシステムの運動を完全に決定するのか、それとも統計的な意味でのみ決定するのか？」と題する論文を発表した。^{[ 10 ] [ 11 ]} しかし、この論文がアカデミーの機関誌に掲載される準備段階にあったとき、アインシュタインは論文を取り下げることにした。おそらく、意図とは裏腹に、局在粒子を導くためにシュレーディンガー場を使用したことで、まさに彼が避けようとしていた非局所的な影響が生じてしまったことに気づいたためだろう。^{[ 12 ]}

1927年10月にベルギーで開催された第5回ソルベー会議には、当時の主要な理論物理学者が一同に会したが、ルイ・ド・ブロイは、決定論的な隠れた変数理論の独自のバージョンを発表した。彼は、その年の初めにアインシュタインが試みたものの失敗に終わったことを知らなかったようである。彼の理論では、すべての粒子には、空間における軌道を導く隠れた「パイロット波」が関連付けられていた。この理論は会議で、特にヴォルフガング・パウリから批判を受けたが、ド・ブロイはそれに適切に答えることができず、その後まもなくこの理論を放棄した。

また、第5回ソルベー会議では、マックス・ボルンとヴェルナー・ハイゼンベルクが量子力学の近年の驚異的な理論的発展を要約した発表を行った。発表の最後に、彼らは次のように宣言した。

電磁場の量子力学的扱いはまだ完了していないと考えている一方で、量子力学は閉じた理論であり、その基本的な物理的および数学的仮定はもはやいかなる修正も受けないと考えている。因果律の妥当性の問題に関して、我々は次のような見解を持っている。現在我々が獲得した物理的および量子力学的経験の領域にある実験のみを考慮に入れる限り、ここで基本的とみなされる原理的非決定論の仮定は経験と一致する。^{[ 13 ]}

アインシュタインが第5回ソルベー会議の技術セッションでボルンとハイゼンベルクに返答した記録はないものの、彼は様々な時期に量子力学の完全性に疑問を呈した。ボルンの引退を記念した記事の中で、彼は剛体障壁の間で弾性的に跳ね返る巨視的な球の量子表現について論じた。彼は、そのような量子表現は特定の球ではなく「システムの時間アンサンブル」を表していると主張した。そのため、表現は正しいが、実際の個々の巨視的なケースを表していないため不完全である。^{[ 14 ]}アインシュタインは、量子力学は「一般に、状態関数は個々の事象/システムさえ記述していない」ため不完全であると考えていた。^{[ 15 ]}

ジョン・フォン・ノイマンは、1932年の著書『量子力学の数学的基礎』の中で、量子力学には「隠れたパラメータ」は存在しないという証明を提示した。フォン・ノイマンの証明の妥当性は、1935年にグレーテ・ヘルマンによって疑問視され、彼女は証明の欠陥を発見した。重要な問題は、アンサンブルの平均に関するものであった。フォン・ノイマンは、異なる観測可能な量の期待値間の関係が、「隠れたパラメータ」のそれぞれの可能な値に対して成り立つと仮定したが、実際にはそれらの統計的平均に対してのみ成り立つとは考えていなかった。^{[ 16 ] [ 17 ]}しかし、ヘルマンの研究は、30年以上後にジョン・スチュワート・ベルによって再発見されるまで、ほとんど注目されなかった。^{[ 18 ] [ 19 ]}

フォン・ノイマンの証明の妥当性と決定性は、ハンス・ライヘンバッハによっても疑問視され、おそらくアルベルト・アインシュタインも、印刷物には残さなかったものの、会話の中で疑問を呈した。伝えられるところによると、1938年頃、アインシュタインは助手であるペーター・ベルクマンとヴァレンタイン・バーグマンとの会話の中で、フォン・ノイマンの本を棚から取り出し、ヘルマンとベルが批判したのと同じ仮定を指摘し、なぜそれを信じる必要があるのか​​と尋ねた。^{[ 20 ] [ 21 ]}サイモン・コーヘンとエルンスト・シュペッカーは、1961年にはすでにフォン・ノイマンの主要な仮定を否定していたが、1967年までその批判を発表しなかった。^{[ 22 ]}

アインシュタインは、量子力学は物理的現実の完全な理論にはなり得ないと主張した。彼はこう書いている。

限られた時間だけ相互作用する2つの部分系AとBからなる力学系を考えます。相互作用前のψ関数（すなわち波動関数）が与えられているとします。すると、シュレーディンガー方程式によって、相互作用後のψ関数が得られます。次に、測定によって部分系Aの物理状態を可能な限り完全に決定します。すると、量子力学によって、測定結果と全体の系のψ関数から、部分系Bのψ関数を決定できます。しかし、この決定結果は、Aのどの物理量（観測量）が測定されたか（例えば、座標や運動量）に依存します。相互作用後のBの物理状態は1つしか存在せず、それがBから分離された系Aに対して行う特定の測定に依存するとは考えられないため、 ψ関数は物理状態に一意に結び付けられていないと結論付けられます。複数のψ関数がシステムBの同じ物理状態に協調していることは、 ψ関数が単一システムの物理状態の（完全な）記述として解釈できないことを改めて示している。 ^{[ 23 ]}

アインシュタインはボリス・ポドルスキーとネイサン・ローゼンと共に、量子力学の完全性に対する関連性はあるものの異なる反論を提示する論文を発表した。^{[ 24 ]}彼らは、後にエンタングル状態として知られるようになる状態に準備された一対の粒子に関する思考実験を提案した。アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは、この状態では、最初の粒子の位置を測定すれば、2番目の粒子の位置を測定した結果を予測できることを指摘した。代わりに、最初の粒子の運動量を測定すれば、2番目の粒子の運動量を測定した結果を予測できることも指摘した。彼らは、最初の粒子に対して行われたいかなる作用も、他の粒子に瞬時に影響を与えることはできないと主張した。なぜなら、これは光速よりも速く情報が伝達されることを意味し、これは相対性理論によれば不可能だからである。彼らは後に「EPR現実基準」として知られる原理を提唱し、「システムをいかなる形でも乱すことなく、物理量の値を確実に（すなわち、確率が1に等しい）予測できるならば、その量に対応する現実の要素が存在する」と主張した。このことから、彼らは、2番目の粒子は、位置と運動量のいずれの量が測定される前にも、位置と運動量の両方について確定した値を持たなければならないと推論した。しかし、量子力学ではこれら2つの観測量は両立しないと考えられており、したがって、いずれのシステムにも両方の同時値を関連付けることはない。そのため、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは、量子論は現実の完全な記述を提供しないと結論付けた。^{[ 25 ]}

ボーアはアインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンの挑戦に対し、次のように答えた。

アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンの議論には、「いかなる形でもシステムを乱すことなく」という表現の意味に関して曖昧さがある。…この段階（例えば、もつれ合ったペアの一部である粒子の測定）においても、システムの将来の振る舞いに関する予測の可能なタイプを定義する条件そのものに影響が及ぶという問題が本質的に存在する。これらの条件は、「物理的現実」という用語を適切に付与できるあらゆる現象の記述に内在する要素であるため、前述の著者らの議論は、量子力学的記述が本質的に不完全であるという結論を正当化するものではないことがわかる。^{[ 26 ]}

ボーアはここで、「物理的現実」を、彼独自の「現象」の定義を用いて、任意に選択され明示的に指定された手法によって直接観察可能な現象に限定して定義している。彼は1948年に次のように書いている。

より適切な表現方法として、現象という言葉の使用を、実験全体の説明を含め、特定の状況下で得られた観察のみを指すように限定することを強く主張することができる。^{[ 27 ] [ 28 ]}

これはもちろん、EPRの現実基準とは矛盾するものであった。

1964年、ジョン・スチュワート・ベルは、有名な定理によって、局所的な隠れた変数が存在する場合、量子もつれを伴う特定の実験を行うことができ、その結果がベルの不等式を満たすことを示した。一方、量子もつれから生じる統計的相関が局所的な隠れた変数によって説明できない場合、ベルの不等式は破られることになる。隠れた変数理論に関するもう一つの不可能性定理は、コーヘン・スペッカーの定理である。

アラン・アスペやポール・クウィアットなどの物理学者は、これらの不等式が最大で242標準偏差まで破られていることを発見する実験を行ってきた。 ^{[ 29 ]}これは局所的な隠れた変数理論を排除するが、非局所的な理論を排除するものではない。理論的には、実験結果の妥当性に影響を与える実験上の問題がある可能性がある。

ジェラルド・ト・フーフトは、超決定論の抜け穴に基づいてベルの定理の妥当性に異議を唱え、局所決定論モデルを構築するためのいくつかのアイデアを提案した。^{[ 30 ] [ 31 ]}

多世界解釈の抜け穴により、解釈において複数の実験結果が存在するため、局所的実在論理論がベルの不等式に違反することが可能になる。^{[ 32 ]}