スーパーセレクション

量子力学では、超選択は選択規則の概念を拡張します。

超選択則は、特定の観測量の固有状態間の一貫性を示す量子状態の作成を禁じる仮定の規則である。^{[1]これはもともと、}ジャン・カルロ・ウィック、アーサー・ワイトマン、ユージン・ウィグナーによって、選択則を超える追加の制限を量子理論に課すために 導入された。

数学的に言えば、2つの量子状態と は、与えられたハミルトニアン の場合選択規則によって分離されますが、すべての物理的観測量の場合、それらは超選択規則によって分離されます。なぜなら、観測量が接続されておらず、それらを量子重ね合わせに置くことができないため、および/または量子重ね合わせは2つの状態の古典的な混合と区別できないためです。また、2つの状態の間には異なる古典的に保存される量があることも意味します。^[2]${\displaystyle \psi_{1}}$${\displaystyle \psi_{2}}$${\displaystyle \langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle \psi _{1}|}$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle }$

超選択セクターは、量子力学において、 *-代数の表現が既約成分に分解されるときに使用される概念です。これは、異なる既約成分からの非ゼロ状態の重ね合わせの相対位相が観測可能ではないため（観測可能な値の期待値ではそれらを区別できないため）、すべての自己随伴演算子が観測可能ではないという考えを形式 化したものです。

Aが単位*-代数で、 Oが単位 *-部分代数であり、その自己随伴要素が観測可能量に対応すると仮定します。 Oの単位表現は、Oの既約単位表現の直和として分解できます。この分解の各同型成分は、超選択セクターと呼ばれます。観測可能量は、超選択セクターを保存します。

対称性はしばしば超選択セクターを生じさせる（ただし、これが発生する唯一の方法ではない）。群G がAに作用し、HがAとG の両方のユニタリ表現であり、Gのすべてのg、Aのすべてのa、Hのすべてのψに対して、

${\displaystyle g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )}$

OがGの下でAの不変部分代数であると仮定します(すべての観測量はGの下で不変ですが、 Gの下で不変なすべての自己随伴演算子が必ずしも観測量であるとは限りません)。H は、それぞれがGの既約表現とOの表現のテンソル積である超選択セクターに分解されます。

これは、 H がGの拡張または被覆Kの表現にすぎないと仮定することで一般化できます。(たとえば、G はローレンツ群で、 K は対応するスピン二重被覆です。) あるいは、 G をリー代数、リー超代数、またはホップ代数で置き換えることもできます。

閉ループ（周期Lの周期線）に閉じ込められた量子力学粒子を考える。超選択セクターは0から2πの間の角度θでラベル付けされる。単一の超選択セクター内のすべての波動関数は、

${\displaystyle \psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).}$

無限の自由度を持つ大規模な物理システムは、十分なエネルギーがあっても、常にすべての可能な状態を訪れるわけではありません。磁石が特定の方向に磁化されている場合、各スピンはどの温度でも変動しますが、総合的な磁化は変化しません。その理由は、異なる位置にある無限の数のスピンがすべて同じように変動することは、限りなくありそうにないからです。

大きなシステムには、しばしば超選択セクターがあります。固体では、格子対称性ではないさまざまな回転と並進が超選択セクターを定義します。一般に、超選択ルールは、局所的な変動によって変わることのない量です。磁石の磁化などの秩序パラメータの他に、巻き数などの位相量もあります。弦が円形のワイヤに巻き付けられている場合、巻き付けられる回数の合計は、局所的な変動の下では決して変わりません。これは通常の保存則です。ワイヤが無限の線で、真空がシステム全体で一貫した巻き数の変動を持たないという条件下では、保存則は超選択ルールです。つまり、巻きがほどける確率はゼロです。

量子ゆらぎ、位相型経路積分の異なる構成から生じる重ね合わせ、およびボルツマン型経路積分からの統計ゆらぎがあります。これらの経路積分は両方とも、実質的に無限のシステムにおける大きな変化には、ゆらぎ間のあり得ない共謀が必要であるという特性を持っています。したがって、統計力学的および量子力学的超選択ルールの両方が存在します。

対称性の下で真空が不変である理論では、電荷が保存される場合、保存された電荷は超選択セクターにつながります。電荷は私たちの宇宙で保存されるため、最初は些細な例のように見えます。しかし、超伝導体が空間を満たす場合、または同等にヒッグス相にある場合、電荷は依然として全体的に保存されますが、超選択セクターを定義しなくなります。超伝導体の揺れにより、ほとんどコストをかけずに任意の体積に電荷を持ち込むことができます。この場合、真空の超選択セクターはヒッグス場の方向によってラベル付けされます。異なるヒッグスの方向は正確な対称性によって関連しているため、それらはすべて正確に等価です。これは、対称性の破れの方向と保存された電荷の間に深い関係があることを示唆しています。

2Dイジング モデルでは、低温では2つの異なる純粋状態が存在します。1 つは平均スピンが上向きで、もう 1 つは平均スピンが下向きです。これが秩序相です。高温では、平均スピンがゼロの純粋状態が 1 つだけ存在します。これが無秩序相です。2つの間の相転移では、スピンが上向きとスピンが下向きの対称性が破れます。

相転移温度以下では、無限イジング モデルは、大部分がプラスの構成か大部分がマイナスの構成のどちらかになります。大部分がプラスのフェーズで開始した場合、すべてのスピンを反転すると同じエネルギーが得られるにもかかわらず、大部分がマイナスになることはありません。温度を変更することで、システムは新しいスーパー選択ルール、つまり平均スピンを獲得しました。スーパー選択セクターには、大部分がマイナスと大部分がプラスの 2 つがあります。

他にもスーパー選択セクターは存在します。たとえば、平面の左半分が主にプラスで、平面の右半分が主にマイナスである状態などです。

新しい超選択ルールが出現すると、システムは自発的に秩序化します。臨界温度を超えると、イジング モデルは無秩序になります。原理的には、すべての状態を訪れることができます。遷移温度以下では、システムは 2 つの可能性のうち 1 つをランダムに選択し、決して考えを変えることはありません。

有限システムでは、超選択は不完全です。有限格子上のイジングモデルは、最終的には、ゼロ以外の任意の温度で、主にプラスから主にマイナスへと変動しますが、非常に長い時間がかかります。相関長で測定されるシステムのサイズに対して、時間は指数的に小さいため、実用上、相関長より数倍大きいシステムでも反転は発生しません。

統計場または量子場が3つの実数値スカラー場を持ち、エネルギーまたは作用がこれらの成分を互いに回転させて対称となる組み合わせにのみ依存する場合、最も次元が低い寄与は次のようになります（和の規則）。 ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}}$

${\displaystyle |\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _{i}^{2})^{2}\,}$

そして、量子場のコンテキストでのアクション、または統計コンテキストでの自由エネルギーを定義します。2 つのフェーズがあります。t が大きい場合、ポテンシャルは平均をゼロに動かす傾向があります。t が大きく負の場合、2 次ポテンシャルは押し出しますが、4 次ポテンシャルは無限大になることを防ぎます。これが量子経路積分で行われる場合、これは量子相転移であり、古典的な分割関数では古典的な相転移です。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

したがって、どちらの状況でも t がより負の値に向かって移動すると、場は指す方向を選択する必要があります。いったんこれを実行すると、場は考えを変えることはできません。システムは秩序を持っています。秩序立った段階では、対称性、つまり破壊の軸の周りの回転が少しだけ残っています。場は、空間内の単位球面上のすべての点によってラベル付けされた任意の方向を指すことができます。単位球面は、完全な対称群 SO(3) の破壊されていない SO(2) サブグループの剰余 類空間です。${\displaystyle \phi }$

無秩序なフェーズでは、スーパー選択セクターは、与えられた構成がグローバルに変化する SO(3) の表現によって記述されます。SO(3) は壊れていないため、異なる表現が互いに混ざることはありません。ローカルな変動によって、無限遠から非自明な SO(3) 構成がもたらされることはありません。ローカルな構成は、その表現によって完全に定義されます。

質量ギャップ、または相関長が存在し、これは、非自明な SO(3) 変換を伴う構成を回転不変の真空から分離します。これは、質量ギャップが消えて相関長が無限大になる t の臨界点まで当てはまります。ギャップが消えることは、SO(3) フィールドの変動が凝縮しようとしていることを示しています。

秩序領域には、トポロジカル電荷を運ぶことができる場の構成があります。これらは、第 2ホモトピー群 の要素でラベル付けされます。これらはそれぞれ、原点から離れた場所では巻き構成となる異なる場の構成を記述します。このような孤立した構成はそれぞれ無限のエネルギーを持ちますが、2 つの状態間のエネルギー差が有限である超選択セクターのラベル付けが行われます。さらに、遷移が下から近づくにつれて、反対のトポロジカル電荷を持つ巻き構成のペアが大量に生成されます。 ${\displaystyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z} }$

巻き数がゼロで、フィールドがどこでも同じ方向を向いている場合、それぞれが連続SO(2)電荷の異なる値でラベル付けされた超選択セクターが無限に追加されます。

秩序化された状態では、トポロジカルソリトンが質量を持ち、無限大の質量を持つため、ゼロ以外の整数でラベル付けされた超選択セクターに質量ギャップが存在します。しかし、凝縮体の方向の変動を記述する 質量のないゴールドストーン粒子が存在するため、ゼロでラベル付けされたすべての超選択セクターに質量ギャップは存在しません。

フィールド値がZ ₂反射（すべてのフィールドの符号を反転することに対応）で識別される場合、スーパー選択セクターは非負の整数（トポロジカル電荷の絶対値）によってラベル付けされます。 ${\displaystyle \phi }$

O(3) 電荷は、無秩序相でのみ意味を持ち、秩序相ではまったく意味を持ちません。これは、対称性が破れると、対称群の下で不変ではない電荷を帯びた凝縮体が存在するためです。逆に、トポロジカル電荷は、秩序相でのみ意味を持ち、無秩序相ではまったく意味を持ちません。これは、無秩序相に、フィールドを点から点へとランダム化する「トポロジカル凝縮体」が存在するためです。ランダム化は、多くの凝縮されたトポロジカルな曲がりくねった境界を横切ることとして考えることができます。

どの電荷が意味を持つかという問題は、位相に大きく依存します。無秩序な側から相転移に近づくと、電荷粒子の質量はゼロに近づきます。秩序のある側から相転移に近づくと、トポロジカルソリトンの変動に関連する質量ギャップはゼロに近づきます。

ヒッグス機構

素粒子物理学の標準モデルでは、電弱セクターにおいて、低エネルギーモデルは SU(2) であり、U(1) はヒッグス二重項によって U(1) に破れます。構成を決定する唯一の超選択規則は総電荷です。単極子がある場合は、単極子電荷を含める必要があります。

ヒッグスの t パラメータが真空期待値を獲得しないように変化した場合、宇宙は SU(2) と U(1) ゲージ群が切れていない状態で対称になります。SU(2) の結合が極小に弱く、非常に遠い距離にしか閉じ込められない場合、SU(2) 群の表現と U(1) 電荷は両方とも超選択規則になります。しかし、SU(2) の結合がゼロでない場合、非自明な表現におけるどの状態の質量も無限大であるため、超選択セクターは無限大の質量で分離されます。

温度を変えることで、ヒッグスゆらぎは有限温度で期待値をゼロにすることができます。この温度以上では、SU(2) と U(1) の量子数が超選択セクターを記述します。相転移以下では、電荷のみが超選択セクターを定義します。

カイラルクォーク凝縮

クォークの質量がゼロであるカイラル限界におけるQCDのグローバルフレーバー対称性について考えてみましょう。これは、アップクォークとダウンクォークが小さいながらもゼロではない質量を持つ、まさに私たちが住んでいる宇宙ではありませんが、アイソスピンが保存される限り、非常に良い近似です。

対称性回復温度である特定の温度以下では、位相は整列します。カイラル凝縮が形成され、質量の小さいパイオンが生成されます。SU(N _f ) 電荷、アイソスピン、ハイパー電荷、SU(3) が意味を持ちます。QCD 温度を超えると、SU(N _f )×SU(N _f ) とカラー SU(3) 電荷が意味を持つ 無秩序な位相が存在します。

QCD の非閉じ込め温度がカイラル凝縮体が融解する温度でもあるかどうかは未解決の問題です。

• ホルジー、セルゲイ・セルゲイヴィッチ; ホルジー、SS (1990)、代数的量子場理論入門、Springer、ISBN 978-90-277-2722-0。
• モレッティ、ヴァルター（2017）、スペクトル理論と量子力学：量子理論の数学的基礎、対称性、代数定式化入門、シュプリンガー、ISBN 978-3-319-70705-1。
• モレッティ、ヴァルター（2019）、量子理論の基礎的な数学的構造：スペクトル理論、基礎的問題、対称性、代数的定式化。、シュプリンガー、ISBN 978-3-030-18345-5。
• Halvorson, Hans; Mueger, Michael (2006). 「代数的量子場理論」. arXiv : math-ph/0602036 .