完全にポジティブマップ

数学において、正写像とは、正の元を正の元に写すC* 代数間の写像です。完全な正写像とは、より強力で堅牢な条件を満たす写像です。

およびをC*-代数とします。が正の元を正の元に写像する場合、線型写像は正写像と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi :A\to B}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle a\geq 0\implies \phi (a)\geq 0}$

任意の線形写像は別の写像を誘導する ${\displaystyle \phi :A\to B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

自然な方法で。が の要素を持つ - 行列のC*-代数と同一視される場合、 は次のように作用する。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$${\displaystyle A^{k\times k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \phi }$が正の写像である場合はk 正と呼ばれ、すべての k に対して が k 正である 場合は完全に正と呼ばれます。${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$${\displaystyle \phi }$

• 正の写像は単調である、つまりすべての自己随伴要素に対してである。${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• すべての自己随伴要素に対して、すべての正の写像は C* ノルムに関して自動的に連続し、その演算子ノルムはに等しいため、非ユニタル代数に対しても、近似単位を持つ同様の記述が成り立ちます。${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$${\displaystyle a\in A_{sa}}$${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• 正関数の集合は、の正元錐の双対錐です。${\displaystyle \to \mathbb {C} }$${\displaystyle A}$

• すべての*-準同型は完全に正である。^[1]
• ヒルベルト空間間のすべての線型作用素に対して、写像は完全に正である。^[2]スタインスプリングの定理によれば、すべての完全に正の写像は、*-準同型写像とこれらの特殊写像の合成である。${\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• すべての正関数（特にすべての状態）は自動的に完全に正になります。${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• コンパクト ハウスドルフ空間上の複素数値連続関数の代数とが与えられると、すべての正の写像は完全に正になります。${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• 行列の転置は、2 正値にならない正写像の標準的な例です。上のこの写像をT で表します。次は の正行列です。の下にあるこの行列の像はであり、これは明らかに正ではなく、行列式は −1 です。さらに、この行列の固有値は 1,1,1 および −1 です。(この行列は、実際にはTのChoi 行列です。)${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle I_{2}\otimes T}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$
  ちなみに、写像 Φ は、合成 Φ Tが正である場合に、共正写像であるといわれます。転置写像自体は共正写像です。${\displaystyle \circ }$

• 完全正値写像におけるチェの定理