量子力学における共役変数が満たす関係
量子力学 において 、 正準交換関係は、 正準共役量（定義により一方が他方の フーリエ変換 であるような関係にある量） 間の基本的な関係である 。例えば、
[
x ^
、
p ^
x
] = 私 ℏ
私
{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }
1次元の点粒子の x 方向の 位置演算子 x と運動量演算子 p xの 間の関係。ここで、 [ x , p x ] = x p x − p x x は x と p x の 交換子 、 i は 虚数単位 、 ℏ は 縮小プランク定数 h /2π 、は 単位演算子です。一般に、位置と運動量は演算子のベクトルであり、位置と運動量の異なる成分間の交換関係は次のように表すことができます。
ここで 、は クロネッカーのデルタ です。
私
{\displaystyle \mathbb {I} }
[
x ^
私
、
p ^
じ
] = 私 ℏ
δ
私 じ
、
{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}
δ
私 じ
{\displaystyle \delta_{ij}}
この関係は、 ヴェルナー・ハイゼンベルク 、 マックス・ボルン 、 パスクアル・ジョーダン （1925年） [1] [2] に帰属し、彼らはこれを「量子条件」と呼び、理論の公理として機能している。また、 E. ケナード （1927年） [3]は、これが ハイゼンベルクの 不確定性原理 を意味すると指摘した 。 ストーン・フォン・ノイマンの定理は、 標準的な交換関係（の指数形式）を満たす演算子の一意性の結果を与える。
古典力学との関係 対照的に、 古典物理学 では、すべての観測量は交換可能であり、 交換子は ゼロになる。しかし、交換子を ポアソン括弧に i ℏ を 掛けたものに置き換えることで得られる類似の関係が存在する 。
{ x 、 p } = 1 。
{\displaystyle \{x,p\}=1\,.}
この観察から、 ディラックは、古典的な観測量 f 、 g の量子対応物 、 ĝ が 満たす
と提案した。
ふ ^
{\displaystyle {\hat {f}}}
[
ふ ^
、
グ ^
] = 私 ℏ
{ ふ 、 グ }
^
。
{\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}
1946年、 ヒップ・グローネウォルドは、量子交換子とポアソン括弧の間の 一般的な体系的な対応 が一貫して成り立たない ことを実証した。 [4] [5]
しかし、彼はさらに、そのような体系的な対応が、量子交換子と、今日では モヤル括弧 と呼ばれるポアソン括弧の 変形 、そして一般に量子演算子と 位相空間 における古典的な観測量および分布との間に実際に存在することを理解しました。こうして彼は、 ウィグナー・ワイル変換という、量子力学の別の同等な数学的表現である 変形量子化 の基礎となる一貫した対応メカニズムを最終的に解明しました 。 [4] [6]
ハミルトン力学からの導出 対応原理 によれば 、ある限界において量子状態方程式はハミルトンの 運動方程式 に近づく必要がある。後者は、一般化座標 q (位置など) と一般化運動量 p の間に次の関係を規定する。
{
q ˙
=
∂ H
∂ p
= { q 、 H } ;
p ˙
= −
∂ H
∂ q
= { p 、 H } 。
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}
量子力学では、ハミルトニアン 、（一般化）座標 、（一般化）運動量 はすべて線形演算子です。
H ^
{\displaystyle {\hat {H}}}
質問 ^
{\displaystyle {\hat {Q}}}
ポ ^
{\displaystyle {\hat {P}}}
量子状態の時間微分は、演算子 （ シュレーディンガー方程式 ）によって表されます。同様に、シュレーディンガー描像では演算子は明示的に時間に依存しないため、演算子はハミルトニアンとの交換関係に従って時間とともに進化していると見ることができます（演算子が時間に依存する逆の観点については、 ハイゼンベルク描像 を参照してください）。
−
i
H
^
/
ℏ
{\displaystyle -i{\hat {H}}/\hbar }
d
Q
^
d
t
=
i
ℏ
[
H
^
,
Q
^
]
{\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}
d
P
^
d
t
=
i
ℏ
[
H
^
,
P
^
]
.
{\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}
古典的極限でハミルトンの運動方程式と調和するためには、 ハミルトニアンにおける の出現に完全に依存する必要があり、ハミルトニアンにおける の出現に完全に依存する必要があります 。さらに、ハミルトニアン演算子は (一般化された) 座標演算子と運動量演算子に依存するため、関数として見ることができ、次のように記述できます ( 関数導関数 を使用)。
[
H
^
,
Q
^
]
{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}
P
^
{\displaystyle {\hat {P}}}
[
H
^
,
P
^
]
{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}
Q
^
{\displaystyle {\hat {Q}}}
[
H
^
,
Q
^
]
=
δ
H
^
δ
P
^
⋅
[
P
^
,
Q
^
]
{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}
[
H
^
,
P
^
]
=
δ
H
^
δ
Q
^
⋅
[
Q
^
,
P
^
]
.
{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.}
古典的極限を得るためには、
[
Q
^
,
P
^
]
=
i
ℏ
I
.
{\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}
ワイル関係 交換関係によって決定される 3次元 リー代数の べき乗 によって生成される 群 は ハイゼンベルク群 と呼ばれる。この群は 対角線上に1を持つ上三角行列 の群として実現できる。 [7]
H
3
(
R
)
{\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}
[
x
^
,
p
^
]
=
i
ℏ
{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
量子力学の 標準的な数学的定式化によれば、 や などの量子観測量は、 何らかの ヒルベルト空間上の 自己随伴演算子 として表現される必要がある。 上記の標準的な交換関係を満たす2 つの 演算子が両方とも 有界に なることはないことは比較的容易にわかる。確かに、 とが トレース クラス 演算子である 場合 、関係式は 右側にゼロ以外の数、左側にゼロを与える。
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
Tr
(
A
B
)
=
Tr
(
B
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}
あるいは、 および が有界演算子である場合、 であることに注意します。したがって、 演算子ノルムは を満たす
ため、任意の n に対して が成り立ちます。
ただし、 n は 任意の大きさになる可能性があり、したがって少なくとも 1 つの演算子は有界にできず、基になるヒルベルト空間の次元は有限にできません。演算子がワイル関係 (以下で説明する標準交換関係の累乗バージョン) を満たす場合、 ストーン–フォン ノイマンの定理 の結果として、 両方の 演算子は有界でなければなりません。
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
[
x
^
n
,
p
^
]
=
i
ℏ
n
x
^
n
−
1
{\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}
2
‖
p
^
‖
‖
x
^
n
−
1
‖
‖
x
^
‖
≥
n
ℏ
‖
x
^
n
−
1
‖
,
{\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}
2
‖
p
^
‖
‖
x
^
‖
≥
n
ℏ
{\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }
それでも、これらの標準的な交換関係は、（有界） ユニタリ演算子 とで記述することで、いくぶん「穏やか」にすることができます 。これらの演算子の結果の編み込み関係は、いわゆる ワイル関係です。これらの関係は、標準的な交換関係の累乗バージョンと考えることができます。位置の変換と運動量の変換は交換できないことを反映しています。ワイル関係は 、ハイゼンベルク群の表現
で簡単に再定式化できます 。
exp
(
i
t
x
^
)
{\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}
exp
(
i
s
p
^
)
{\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}
exp
(
i
t
x
^
)
exp
(
i
s
p
^
)
=
exp
(
−
i
s
t
/
ℏ
)
exp
(
i
s
p
^
)
exp
(
i
t
x
^
)
.
{\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}
ワイル関係の形での標準的な交換関係の一意性は、 ストーン・フォン・ノイマンの定理 によって保証されます。
技術的な理由により、ワイル関係は、正準交換関係 と厳密には同等で はありません 。 および が有界演算子である場合 、 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式 の特別なケースにより、正準交換関係をワイル関係に「累乗」することができます。 [8] 前述のように、正準交換関係を満たす演算子は有界でなければならないため、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式は追加の領域仮定なしでは適用できません。実際、正準交換関係を満たす反例は存在しますが、ワイル関係は満たしません。 [9] (これらの同じ演算子は、不確定性原理の単純な形式に対する 反例 となります。) これらの技術的な問題が、 ストーン・フォン・ノイマンの定理 がワイル関係で定式化される理由です。
[
x
^
,
p
^
]
=
i
ℏ
{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
パラメータ s と t の範囲が であるワイル関係式の離散バージョンは、 クロック行列とシフト行列 によって有限次元ヒルベルト空間上で実現できます 。
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
一般化 それは次のことが証明できる
[
F
(
x
→
)
,
p
i
]
=
i
ℏ
∂
F
(
x
→
)
∂
x
i
;
[
x
i
,
F
(
p
→
)
]
=
i
ℏ
∂
F
(
p
→
)
∂
p
i
.
{\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}
を用いると、
一般にマッコイの公式として知られる 数学的帰納法 によって、であることが証明できる。 [10]
C
n
+
1
k
=
C
n
k
+
C
n
k
−
1
{\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}
[
x
^
n
,
p
^
m
]
=
∑
k
=
1
min
(
m
,
n
)
−
(
−
i
ℏ
)
k
n
!
m
!
k
!
(
n
−
k
)
!
(
m
−
k
)
!
x
^
n
−
k
p
^
m
−
k
=
∑
k
=
1
min
(
m
,
n
)
(
i
ℏ
)
k
n
!
m
!
k
!
(
n
−
k
)
!
(
m
−
k
)
!
p
^
m
−
k
x
^
n
−
k
,
{\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},}
さらに、
最も単純な古典システムの 量子化
に有効な簡単な式は、任意の ラグランジアン の場合に一般化できます 。 [11] 我々は、 正準座標 （上記の例では x 、または 量子場の理論 の場合はフィールド Φ( x ) など ）と 正準運動量 πx （上記の例では p 、またはより一般的には、時間に関する正準座標の
微分を 含むいくつかの関数）を 識別します。
[
x
,
p
]
=
i
ℏ
I
,
{\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
π
i
=
d
e
f
∂
L
∂
(
∂
x
i
/
∂
t
)
.
{\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}
この正準運動量の定義により、 オイラー・ラグランジュ方程式 の1つが次の形式になる
ことが保証される。
∂
∂
t
π
i
=
∂
L
∂
x
i
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}
すると、標準的な交換関係は次のようになります
。
ここで、 δ ij はクロネッカーのデルタ です 。
[
x
i
,
π
j
]
=
i
ℏ
δ
i
j
{\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}
ゲージ不変性 正準量子化は定義により 正準座標に適用されます。しかし、 電磁場 が存在する場合 、正準運動量 pは ゲージ不変で はありません 。正しいゲージ不変運動量（または「運動運動量」）は
p
kin
=
p
−
q
A
{\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}
( SI単位 ) ( cgs単位 )、
p
kin
=
p
−
q
A
c
{\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}
ここで、 q は粒子の 電荷 、 A は ベクトルポテンシャル 、 c は 光速 です 。量 p kin は「物理的運動量」であり、実験室実験で運動量と同一視される量ですが、標準的な交換関係を満たして いません 。それを満たすのは標準的な運動量だけです。これは次のように考えることができます。
古典的な電磁場における
質量 m の量子化された荷電粒子の 非相対論的 ハミルトニアンは (cgs 単位) で、
ここで A は 3 ベクトルポテンシャル、 φ は スカラーポテンシャル です。この形式のハミルトニアンは、 シュレーディンガー方程式 Hψ = iħ∂ψ/∂t 、 マクスウェル方程式 、 ローレンツ力法則 と同様に、 ゲージ変換に対して不変です
。
ここで 、 Λ = Λ( x 、 t ) はゲージ関数です。
H
=
1
2
m
(
p
−
q
A
c
)
2
+
q
ϕ
{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }
A
→
A
′
=
A
+
∇
Λ
{\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }
ϕ
→
ϕ
′
=
ϕ
−
1
c
∂
Λ
∂
t
{\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}
ψ
→
ψ
′
=
U
ψ
{\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }
H
→
H
′
=
U
H
U
†
,
{\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}
U
=
exp
(
i
q
Λ
ℏ
c
)
{\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}
角運動量演算子 は 、
リー代数
を定義している
標準量子化関係に従う
ので (3) 、ここで レヴィ・チヴィタ記号 は である 。ゲージ変換の下では、角運動量は次のように変換される。
L
=
r
×
p
{\displaystyle L=r\times p\,\!}
[
L
i
,
L
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
⟨
ψ
|
L
|
ψ
⟩
→
⟨
ψ
′
|
L
′
|
ψ
′
⟩
=
⟨
ψ
|
L
|
ψ
⟩
+
q
ℏ
c
⟨
ψ
|
r
×
∇
Λ
|
ψ
⟩
.
{\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}
ゲージ不変角運動量（または「運動角運動量」）は、
交換関係式を持つ
で与えられます。
ここで、は 磁場 です。これら 2 つの定式化の不等性は、 ゼーマン効果 と アハラノフ・ボーム効果 に現れます 。
K
=
r
×
(
p
−
q
A
c
)
,
{\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}
[
K
i
,
K
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
(
K
k
+
q
ℏ
c
x
k
(
x
⋅
B
)
)
{\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}
B
=
∇
×
A
{\displaystyle B=\nabla \times A}
不確定性関係と交換子 演算子のペアに対するこのような非自明な交換関係はすべて 、対応する 不確定性関係 [12] につながり、それぞれの交換子と反交換子による半正定値の期待値の寄与を伴います。一般に、2つの エルミート演算子 A と Bについて、 状態 ψ のシステムの期待値を考えます 。対応する期待値の周りの分散は (ΔA ) 2≡⟨ ( A − ⟨A⟩ ) 2⟩ など です。
ここ
で、 [ A , B ] ≡ A B − B A はA と B の 交換子 であり 、 { A , B } ≡ A B + B A は反交換子 です 。
Δ
A
Δ
B
≥
1
2
|
⟨
[
A
,
B
]
⟩
|
2
+
|
⟨
{
A
−
⟨
A
⟩
,
B
−
⟨
B
⟩
}
⟩
|
2
,
{\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}
これはコーシー・シュワルツの不等式 を用いることでわかります 。なぜなら
|⟨ A 2 ⟩| |⟨ B 2 ⟩| ≥ |⟨ A B ⟩| 2 であり、 A B = ([ A , B ] + { A , B })/2 だからです。シフトされた演算子 A − ⟨ A ⟩ と B − ⟨ B ⟩ についても同様です。( 不確定性原理の導出を 参照してください。)
A と B を 代入すると （そして分析に注意すると）、 いつものように
x と pについてハイゼンベルクのよく知られた不確定性関係が得られます。
角運動量演算子の不確定性関係 角運動量演算子 L x = y p z − z p y などについては、 となります。ここ
で は レヴィ・チヴィタ記号 であり、添字を 2 つずつ入れ替えて答えの符号を単純に反転します。 スピン 演算子についても同様の関係が成り立ちます 。
[
L
x
,
L
y
]
=
i
ℏ
ϵ
x
y
z
L
z
,
{\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}
ϵ
x
y
z
{\displaystyle \epsilon _{xyz}}
ここで、 L x と L y について 、 [12] 角運動量多重項 ψ = | ℓ , m ⟩ において、 カシミール不変量 L x 2 + L y 2 + L z 2 の横方向成分に対して、 z 対称関係が
成り立つ。
⟨ L x 2 ⟩ = ⟨ L y 2 ⟩ = ( ℓ ( ℓ + 1) − m 2 ) ℏ 2 /2 、 また、 ⟨ L x ⟩ = ⟨ L y ⟩ = 0 です。
その結果、この交換関係に上記の不等式を適用する
と
、したがって
が指定され、したがって となり 、 カシミール不変量
の下限値 ℓ ( ℓ + 1) ≥ | m | (| m | + 1) 、したがって ℓ ≥ | m | などの有用な制約が得られます。
Δ
L
x
Δ
L
y
≥
1
2
ℏ
2
|
⟨
L
z
⟩
|
2
,
{\displaystyle \Delta L_{x}\,\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}
|
⟨
L
x
2
⟩
⟨
L
y
2
⟩
|
≥
ℏ
2
2
|
m
|
{\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }
ℓ
(
ℓ
+
1
)
−
m
2
≥
|
m
|
,
{\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}
参照
参考文献
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ホール、ブライアン C. (2013)、 「数学者のための量子理論」 、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer 。 ホール、ブライアン C. (2015)、 リー群、リー代数および表現、初等入門 、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer 。
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2a5584c5b377f65afb20dcff0b5254dab3c77e)
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1d4955c83c1406fda6c02343f967d734433136)
![{\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3793c6bacffce22601dac9acf78a8d8462b16acf)
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d03b2828a9705763864ec89adc470ea2ffa5916)
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e921ea2e87f770314b623c397e72fa9acae9e5a)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c13d58f6e254c05d28a13d6dea93c8ccfda00f)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59c96abe77a8214e36c7b0f48a9c7beb91cbd4e)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4779e4c14205ebfa46840fc125d393d35c3d64)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39312cec84e71fd81ba8ced8142c42eb7deba029)
![{\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b668bb2478b17f597500d4e09c08ff70f94c8ab3)
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbbd0db710385288536bcf4f4a1b7cceb75d9a)
![{\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bcc601af9c7a3054e923037db2248928991fed)
![{\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945c49ff83f1564df126e9b6ec4df620c193205f)
![{\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {x}}^{nk}{\hat {p}}^{mk}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {p}}^{mk}{\hat {x}}^{nk}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87207c4fd983d3643d541602eed602a27ca32329)
![{\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec50abb564490946c2f0d170b249f1ee601689df)
![{\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb1fc62f88cd127624f4f76d7ae36d2d53d5999)
![{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163dfdb14c8096b5b7c4e5d71107fbaab7ecfe18)
![{\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5649c0f538fb17bce5423dd761abd0899c9f216)
![{\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff8bd2caaa29e16e902ee5be7951a8ec5ee3d69)
![{\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e8c32d52f5f09e8fee02ebda3ad0e2254b51ed)
