量子計測器

量子物理学において、量子計測器は量子測定の数学的記述であり、古典的出力と量子的出力の両方を捉える。^[1]これは、量子システムを入力として受け取り、測定結果を含む古典的システムと測定後の状態を含む量子システムの2つのシステムを出力する量子チャネルとして同等に理解できる。 ^[2]

を量子測定の結果を記述する可算集合とし、をトレース非増加完全正写像の集合とし、その総和がトレース保存となるようにする、すなわちすべての正の演算子に対して${\displaystyle X}$${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$${\textstyle \operatorname {tr} \left(\sum _{x}{\mathcal {E}}_{x}(\rho )\right)=\operatorname {tr} (\rho )}$${\displaystyle \rho .}$

計測器による測定を記述するために、マップは、古典的な測定結果に条件付けられた測定の入力状態から出力状態へのマッピングをモデル化するために使用されます。したがって、特定の測定結果が状態で発生する確率は、^{[3] [4]}で与えられます。${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho}$ $${\displaystyle p(x|\rho )=\operatorname {tr} ({\mathcal {E}}_{x}(\rho )).}$$

特定の結果を伴う測定後の状態は^{[3] [4]}で与えられる。${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \rho _{x}={\frac {{\mathcal {E}}_{x}(\rho )}{\operatorname {tr} ({\mathcal {E}}_{x}(\rho ))}}).}$$

測定結果が古典的なレジスタに記録され、その状態が正規直交投影の集合によってモデル化される場合、計測器の動作は量子チャネルによって与えられ、 [ ^2]${\textstyle |x\rangle \langle x|\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ^{|X|})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{1})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{2})\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ^{|X|})}$

$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\rho ):=\sum _{x}{\mathcal {E}}_{x}(\rho )\otimes \vert x\rangle \langle x|.}$$

ここで、およびは、機器の入力システムと出力システムに対応するヒルベルト空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\otimes \mathbb {C} ^{|X|}}$

完全に正のトレース保存（CPTP）マップが、最初はエンタングルされていない補助を持つシステム上のユニタリー進化の縮小として常に考えることができるのと同様に、量子計器は条件付きユニタリーを持つ射影測定の縮小であり、測定結果と状態進化を無視すると、それぞれCPTPマップとPOVMに縮小されます。^[4]ジョン・スモーリンの用語では、これは「より大きなヒルベルト空間の教会に行く」例です。

システム上の任意の量子計測器は、上の射影測定と（共同で）相関のない補助測定、それに続く測定結果に対するユニタリ条件としてモデル化できる。 ^{[3] [4]}（および）を の正規化された初期状態と し、（および）を 上の射影測定とし、（）を 上のユニタリとすると、次のことが確認できる。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta >0}$${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\eta =1}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$${\displaystyle \Pi _{i}=\Pi _{i}^{\dagger }=\Pi _{i}^{2}}$${\displaystyle \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}}$${\displaystyle {\mathcal {SA}}}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle U_{i}^{\ダガー }=U_{i}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {SA}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}(\rho ):=\mathrm {Tr} _{\mathcal {A}}\left(U_{i}\Pi _{i}(\rho \otimes \eta )\Pi _{i}U_{i}^{\dagger }\right)}$

は量子楽器を定義します。^[4]さらに、この構成により、およびの任意の選択に対して 任意の量子楽器が得られることも確認できます。^[4]${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{i}\}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$

この意味で、量子計測器は、条件付きユニタリと組み合わせた射影測定の 縮小として考えることができます。

あらゆる量子計測器は即座にCPTPマップ、つまり量子チャネルを誘導する: ^[4]${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho ):=\sum _{i}{\mathcal {E}}_{i}(\rho ).}$

これは、測定結果が破棄された場合の、測定が量子システムに与える全体的な影響と考えることができます。

あらゆる量子計測器は、正の演算子値測定(POVM) を即座に誘導します。${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{i}\}}$

${\displaystyle M_{i}:=\sum _{a}K_{a}^{(i)\dagger }K_{a}^{(i)}}$

ここで、に対する任意のクラウス演算子を選択できる。^[4]${\displaystyle K_{a}^{(i)}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}(\rho )=\sum _{a}K_{a}^{(i)}\rho K_{a}^{(i)\dagger }.}$

クラウス演算子はCPマップによって一意に決定されるわけではないが、上記のPOVM要素の定義はどの選択でも同じである。^[4] POVMは、測定によってシステムがどのように影響を受けるかに関する情報を捨てれば、量子システムの測定と考えることができる。 ${\displaystyle K_{a}^{(i)}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$