局所凸位相ベクトル空間

関数解析や数学の関連分野において、局所凸位相ベクトル空間( LCTVS ) または局所凸空間は、ノルム空間を一般化する位相ベクトル空間(TVS)の例である。これらは、平衡で吸収性のある凸集合の変換によって位相が生成される位相ベクトル空間として定義できる。あるいは、これらは半ノルムの族を持つベクトル空間として定義することもでき、位相はその族に関して定義できる。一般にこのような空間は必ずしもノルム可能ではないが、零ベクトルの凸局所基底の存在は、ハーン-バナッハの定理が成り立つのに十分強く、連続線型関数の十分に豊富な理論をもたらす。

フレシェ空間は、完全に距離化可能な（完全な距離を選択できる）局所凸位相ベクトル空間です。これらは、ノルムによって生成される距離に関する完全なベクトル空間であるバナッハ空間の一般化です。

ベクトル空間上の距離化可能な位相は、モーリス・フレシェの1902 年の博士論文Sur quelques points du calcul fonctionnel (この論文で距離の概念が初めて導入された) で紹介されて以来研究されてきた。1914年にフェリックス・ハウスドルフが一般位相空間の概念を定義した後^[1]、局所凸位相は一部の数学者によって暗黙的に使用されていたものの、1934 年までジョン・フォン・ノイマンだけがヒルベルト空間上の弱位相とヒルベルト空間上の作用素上の強作用素位相を明示的に定義したようである^{[2] [3] 。最終的に、1935 年にフォン・ノイマンは局所凸空間 (彼自身は}凸空間と呼んだ)の一般的な定義を導入した^{[4] [5] 。}

完全な一般性が証明されるには、一般的な局所凸空間（ネット、積位相、チコノフの定理など他の概念や結果とともに）の開発と普及を待たなければならなかった結果の注目すべき例は、1932年にステファン・バナッハが可分ノルム空間の場合の基本的な対角線上の議論によって初めて確立したバナッハ・アラオグルの定理である^[6]（この場合、双対の単位球は距離化可能）。

が複素数の部分体（通常はそれ自身または）上のベクトル空間であるとします。局所凸空間は凸集合によって定義されるか、またはそれと同値な半ノルムによって定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

位相ベクトル空間（TVS）は局所的に凸とは、原点に均衡凸近傍基数（つまり局所基数）を持つことを意味する。^[7]局所凸位相ベクトル空間は、次のように短縮されることもある。局所凸空間またはLCTVS。

のサブセットは ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

1. 凸であるならば、すべての点と、言い換えれば、点間のすべての線分を含む。${\displaystyle x,y\in C,}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C.}$
2. すべてに対して円で囲まれ、スカラーの場合 、これは原点を通る反射に等しいことを意味します。これは、任意のに対して、原点を中心とする円を含むことを意味します。これは、によって生成される1次元複素部分空間内にあります。${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle |s|=1}$${\displaystyle sx\in C.}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x.}$
3. すべてのおよび スカラーに対して であればバランスが取れており、であればであれば であり、これ はである場合を意味し、である場合には と の間の線分が含まれます。に対してはを意味し、任意の に対して には によって生成される 1 次元複素部分空間内に、境界上に原点を中心とする円板が含まれます。 同様に、バランスの取れた集合は「円で囲まれた円錐」です^[要出典]。TVS では、 は半径 の原点を中心とする球に属しますが、は属さないことに注意してください。実際、C は円錐ではありませんが、バランスが取れています。${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle |s|\leq 1}$${\displaystyle sx\in C.}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\in C,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x.}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle x=(1,1)}$${\textstyle C=({}}$${\textstyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {})}$${\textstyle 2x=(2,2)}$
4. 錐体（基底体が の順序付きの場合）は、すべての に対して、および${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle t\geq 0,}$ ${\displaystyle tx\in C.}$
5. 任意の に対して、 を満たすすべてに対してが存在する場合、吸収性または吸収性です。このセットは、空間内のすべての点を吸収するように任意の「大きな」値でスケールアウトできます。 ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in tC}$${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$${\displaystyle |t|>r.}$${\displaystyle C}$
   • どのようなTVSでも、原点のあらゆる近傍は吸収性である。^[7]
6. 絶対凸または凸かつバランスが取れている場合、円板である。これは、係数の絶対和が となる線形結合の下で閉じていることと同値である。そのような集合は、 の全てを張る場合、吸収性である。${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle X.}$

実際、すべての局所凸TVSは原点の近傍基底を持ち、それは絶対凸集合（つまり、円板）であり、この近傍基底は、完全に開集合で構成されるか、完全に閉集合で構成されるようにさらに選択することもできます。^[8] すべての TVS は、バランスの取れた集合で構成される原点の近傍基底を持ちますが、局所凸 TVS のみが、バランスの取れた凸の両方である集合で構成される原点の近傍基底を持ちます。いくつかの可能です。これは、完全に凸集合で構成される原点の近傍基底がないため（つまり、原点のすべての近傍基底に何らかの非凸集合が含まれているため）、たとえば、すべての非局所凸 TVS は、それ自体（つまり、）を原点の凸近傍として持っています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

変換は連続的であるため（位相ベクトル空間の定義により）、すべての変換は同相写像であり、したがって原点の近傍のすべての基底は、任意の与えられたベクトルの近傍の基底に変換できます。

上の半ノルムとは、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$非負または半正定値です: ;${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle p}$は正同次または正スケーラブルです。つまり、すべてのスカラーに対してです。したがって、特に、${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle p(0)=0}$
3. ${\displaystyle p}$は劣加法性を持ちます。三角不等式を満たします。${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

が正定値性を満たす場合、である場合はがノルムであることを示します。一般に半ノルムはノルムである必要はありませんが、半ノルムの族に対するこの基準の類似物として、以下で定義される分離性があります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle p}$

がベクトル空間であり、が上の半ノルム族である場合、の部分集合は、すべての に対して および が存在する実数が存在する場合、の半ノルムの基底と呼ばれる^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p\leq rq.}$

定義（第2版）：局所凸空間は、ベクトル空間とその上の半ノルム族として定義される。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X.}$

が上のベクトル空間で、が実数または複素数であるとします。ベクトル空間上の半ノルムの族は上に標準ベクトル空間位相を誘導します。これは半ノルムによって誘導される初期位相と呼ばれ、位相ベクトル空間(TVS)になります。定義により、これは内のすべての写像が連続する 上の最も粗い位相です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

空間上の局所凸位相は、ノルムの族によって誘導されるが、ノルム可能ではない（つまり、その位相が単一のノルムによって誘導される） 可能性がある。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

の開集合はという形式を持ち、 は正の実数である。が半ノルムの族上の値域であり、 が正の実数上の値域であるような逆像の族は、 によって誘導される位相の原点における部分基底である。これらの集合は、半ノルムの特性 2 および 3 からわかるように凸である。したがって、有限個のこのような集合の交差も凸であり、このような有限交差すべての集合は原点における基底であるため、上記の最初の定義の意味で位相は局所的に凸であることがわかる。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle [0,r)}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{-1}\left([0,r)\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

TVS の位相は並進不変であることを思い出してください。つまり、 が原点を含むの任意の部分集合である場合、任意の に対して が原点の近傍である場合は、 がの近傍である場合に限ります。したがって、原点での位相を定義すれば十分です。この位相に対する の近傍の基底は、次の方法で得られます。の任意 の有限部分集合に対して、および任意の${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle x+S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r>0,}$$${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(xy)<r\ {\text{すべてのp\in F\}に対して}.}$$

が局所凸空間であり、が 上の連続半ノルムの集まりである場合、が上の連続半ノルムのすべての集まりに対する半ノルムの基底であるとき、は連続半ノルムの基底と呼ばれます。^[9]明示的には、上のすべての連続半ノルムに対して、および実数が存在して、^[9]が局所凸 TVS の連続半ノルムの基底である 場合、が 上で変化し、 が正の実数 上で変化するような形式のすべての集合の族は、における原点の近傍の基底です(単なる部分基底ではないため、そのような集合の有限の共通集合を取る必要はありません)。^{[9] [証明 1]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p\leq rq.}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$

ベクトル空間上の半ノルム族は、任意の に対して、およびによって定義される半ノルムが以下に属するとき飽和していると呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {P}},}$${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

が連続半ノルムの飽和族で、上の位相を誘導する場合、が 上の範囲、 がすべての正の実数上の範囲となる形式の集合全体の集合は、原点で凸開集合からなる近傍基底を形成する。 ^[9] これは、単に部分基底ではなく原点で基底を形成するため、特に、そのような集合の有限交差を取る必要がない。 ^[9]${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r}$

次の定理は、 が局所凸空間である場合、 の位相が 上の連続ノルムの族によって定義される になり得ること と、 上に少なくとも 1 つの連続 ノルムが存在することが等しいことを意味しています(ノルムはがを意味する半ノルムです) 。^[10]これは、ノルムと半ノルムの和がノルムであるため、局所凸空間が半ノルムの族 (それぞれが必然的に連続している) によって定義される場合、各要素に何らかの連続ノルムを追加して得られる (これも連続している) ノルムの族は、必然的にこの同じ局所凸位相を定義するノルムの族になるためです。位相ベクトル空間上に連続ノルムが存在する場合、 は必然的にハウスドルフですが、その逆は一般には真ではありません (局所凸空間やフレシェ空間の場合でも真ではありません)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

局所凸空間の位相が上の連続半ノルムの族によって誘導されるとする。 が 内のネットである場合、 がである場合、かつ がすべての に対して である場合に限ります^[12]さらに、が 内のコーシーである 場合、 がすべての に対してである場合に限ります^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

近傍基数による定義は幾何学的な図としてより優れていますが、半ノルムによる定義の方が実際には扱いやすいです。2 つの定義の同値性は、ミンコフスキー関数またはミンコフスキー ゲージと呼ばれる構成から得られます。半ノルムの球面の凸性を保証する主な特徴は、三角不等式です。 ${\displaystyle \epsilon }$

吸収集合が の場合、ミンコフスキー関数を次のように定義する。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle x\in C,}$${\displaystyle tx\in C}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

この定義から、 がバランスのとれた凸である場合 (仮定により吸収性でもある)、 は半ノルムであることがわかります。逆に、半ノルムの族が与えられた場合、集合は 凸吸収性バランス集合の基底を形成します。 ${\displaystyle \mu_{C}}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$

例: 補助ノルム空間

が凸でで吸収的である場合、対称集合はで吸収的であることに加えて凸で平衡（絶対凸集合またはディスクとも呼ばれる）になります。 これにより、のミンコフスキー関数が上で半ノルムになることが保証され、 は標準擬似距離化可能位相を保持する半ノルム空間になります。上の範囲（または を極限点として持つ他の任意の非ゼロのスカラー集合上）としてのスカラー倍数の集合は、この局所凸位相の原点で吸収ディスクの近傍基を形成します。 が位相ベクトル空間であり、この凸吸収部分集合が の有界部分集合でもある場合、吸収ディスクも有界になり、その場合 はノルムになり、補助ノルム空間と呼ばれるものを形成します。このノルム空間がバナッハ空間である場合、 はバナッハディスクと呼ばれます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$${\displaystyle rD}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$

• 任意の に対して が成り立つとき、 が必ず成り立つ場合、半ノルムの族は全点または分離点と呼ばれ、または分離点であると言われます。 局所凸空間がハウスドルフである場合、かつその場合に限り、それは半ノルムの分離族を持ちます。多くの著者は、定義においてハウスドルフ基準を採用しています。${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0.}$
• 擬計量とは、局所凸空間 A が擬計量化可能である場合 、つまりその位相が擬計量から生じるのは、半ノルムの可算な族がある場合に限り、という条件を満たさない計量の一般化です。実際、同じ位相を誘導する擬計量は、次のように定義されます(ただし、 は任意の正の加算可能なシーケンスで置き換えることができます)。この擬計量は、並進不変ですが同次ではないため、(擬)ノルムを定義しません。擬計量が正直な計量であるのは、半ノルムの族が分離している場合に限ります。これは、空間がハウスドルフである場合に限り当てはまるからです。さらに、空間が完備である場合、その空間はフレシェ空間と呼ばれます。${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x=y.}$$${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$$${\displaystyle 1/2^{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• 任意の位相ベクトル空間と同様に、局所凸空間も一様空間です。したがって、一様連続性、一様収束、コーシー列について語ることができます。
• 局所凸空間のコーシーネットとは、あらゆる半ノルムに対して、すべてのインデックスに対してとなるようなインデックスが存在するネット のことです 。言い換えれば、ネットはすべての半ノルムにおいて同時にコーシーでなければなりません。完全性の定義は、ここではより一般的なシーケンスではなくネットの観点から与えられています。これは、距離化可能なフレシェ空間とは異なり、一般の空間は擬距離の非可算な族によって定義できるためです。定義により可算なシーケンスは、そのような空間の収束を特徴付けるのに十分ではありません。局所凸空間が完全であるためには、すべてのコーシーネットが収束する必要があります。${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p_{\alpha },}$${\displaystyle c\in A}$${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.}$
• 半ノルムの族が関係 の下で順序付き集合となるのは、すべて に対して となるような が存在する場合のみである。族が を結合として加算する有向集合である場合、つまり、任意の に対して となるようなが存在する場合、それは半ノルムの有向族であると言われる。すべての半ノルム の族には、同値な有向族、つまり同じ位相を定義する族が存在する。実際、族が の有限部分集合の集合であるとすると、すべての に対して を定義する。 は同値な有向族であることを確認できます。${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.}$${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle I}$${\displaystyle F\in \Phi }$$${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$${\displaystyle \left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }}$
• 空間の位相が単一の半ノルムから誘導される場合、その空間は半ノルム可能です。有限の半ノルム族を持つ任意の局所凸空間は半ノルム可能です。さらに、空間がハウスドルフ (族が分離している) である場合、空間はノルム可能であり、ノルムは半ノルムの和で与えられます。開集合の観点では、局所凸位相ベクトル空間が半ノルム可能であるのは、原点が有界近傍を持つ場合のみです。

をTVSとする。上の任意の連続線型関数が上の連続線型関数に拡張できるとき、のベクトル部分空間は拡張特性を持つと言う。 ^{[13]のすべてのベクトル部分空間が}拡張特性を持つとき、 はハーン-バナッハ拡張特性（HBEP）を持つ と言う。^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ハーン・バナッハの定理は、すべてのハウスドルフ局所凸空間が HBEP を持つことを保証します。完全距離化可能な TVSの場合、逆が成り立ちます。

ベクトル空間が無数次元を持ち、それに最微細ベクトル位相を与えると、これは局所凸でも距離化可能でもないHBEPを持つTVSとなる。^[13]${\displaystyle X}$

全体を通して、連続半ノルムの族は、${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X.}$

位相的閉包

ならば、そして、もしも任意の有限集合に対して、それが存在するならば、そしてその場合のみ、 ^[14]の 閉包は^[15]に等しい。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$

ハウスドルフ局所凸空間の位相

任意のハウスドルフ局所凸空間は、バナッハ空間の積のベクトル部分空間に同相である。^[16] アンダーソン-ケーデックの定理は、任意の無限次元可分フレシェ空間はの可算個数のコピーの積空間に同相である（この同相は線型写像である必要はない）ことを述べている。^[17] ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

凸集合の代数的性質

部分集合が凸集合であるのは、すべてに対してであるとき、かつその場合のみで^ある[18]、または、同様に、すべて正の実数に対してであるとき、かつその場合のみである^[19]。ここで、常に成り立つため、等号は次のように置き換えることができる。原点を含む凸集合である場合、原点において星形であり、すべて非負の実数に対してである。${\displaystyle C}$${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$ ${\displaystyle \,=\,}$${\displaystyle \,\supseteq .\,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$ ${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

2つの凸集合のミンコフスキー和は凸集合である。さらに、凸集合のスカラー倍もまた凸集合である。^[20]

凸集合の位相的性質

• が実数または複素数上のTVS（必ずしも局所凸またはハウスドルフではない）であると仮定する。すると、の開凸部分集合は、あるとある正連続部分線型関数に対しての形になるものとまったく同じになる^[21]。${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle Y.}$
• TVSの凸集合の内部と閉包もまた凸である。^[20]
• が内部が空でない凸集合である場合、 の閉包はの内部の閉包に等しい。さらに、 の内部は の閉包の内部に等しい^{[20] [22]}${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C.}$
  • したがって、凸集合の内部が空でない場合、それが正則閉集合（正則開集合）である場合にのみ、凸集合は閉集合（正則開集合）となります。${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$
• が凸ならば、[ 23 ^]明示的には、がTVSの凸部分集合（必ずしもハウスドルフ凸または局所凸である必要はない）であれば、の閉包に属し、の内部に属し、とを結ぶ開線分はの内部に属する、つまり、^{[22] [24] [証明2]}${\displaystyle C}$${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C;}$${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$
• が（必ずしもハウスドルフではない）局所凸空間の閉ベクトル部分空間である場合、はにおける原点の凸近傍であり、がにないベクトルである場合、における原点の凸近傍が存在し、かつ[ ^20]${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V=U\cap M}$${\displaystyle z\not \in U.}$
• 局所凸ハウスドルフ空間の凸部分集合の閉包は、とその連続双対空間との間の双対性と両立するすべての局所凸ハウスドルフTVS位相に対して同じである。 ^[25]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 局所凸空間では、全有界集合の凸包と円包は全有界である。 ^[7]
• 完全な局所凸空間では、コンパクト集合の凸包と円板包は両方ともコンパクトである。^[7]
  • より一般的には、が局所凸空間のコンパクトな部分集合である場合、凸包（または円板包）がコンパクトであるための必要十分条件は、それが完全であるときである。^[7]${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {co} K}$${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• 局所凸空間では、有界集合の凸包は有界である。これは一般的なTVSには当てはまらない。^[26]
• フレシェ空間では、コンパクト集合の閉じた凸包はコンパクトである。^[27]
• 局所凸空間では、全有界集合の任意の線形結合は全有界である。^[26]

TVSの任意の部分集合に対して、（それぞれ、 ）で表されるの凸包（それぞれ、閉じた凸包 、バランスのとれた包、凸バランスのとれた包）は、を含むの最小の凸（それぞれ、閉じた凸、バランスのとれた、凸バランスの）部分集合である。${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$

• ヒルベルト空間のコンパクト部分集合の凸包は必ずしも閉じているわけではなく、したがって必ずしもコンパクトであるわけでもない。例えば、を通常のノルムを持つ平方和可能列の可分ヒルベルト空間とし、を標準の正規直交基底（つまり-座標にある）とすると、閉集合はコンパクトであるが、その凸包は閉集合ではない。なぜなら はの閉包に属するが、 （すべての列はの元の有限凸結合であり、したがって は有限個以外のすべての座標で必然的に成り立つが、 では成り立たないからである）。^{[28]しかし、すべての}完全なハウスドルフ局所凸空間と同様に、このコンパクト部分集合の閉じた凸包はコンパクトである。ベクトル部分空間は、ヒルベルト空間がその上に誘導する部分構造を備えているときはプレヒルベルト空間であるが、は完全ではなく、（ であるため）である。の閉じた凸包(ここで「閉じている」とは、以前とは異なり に関して閉じているという意味) は に等しく、これはコンパクトではありません (完全な部分集合ではないため)。これは、完全ではないハウスドルフ局所凸空間では、コンパクトな部分集合の閉じた凸包がコンパクトにならない可能性があることを示しています (ただし、プレコンパクト/完全に有界 になります)。${\displaystyle H}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$${\displaystyle h\not \in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K\cap X,}$
• ハウスドルフ局所凸空間では、コンパクト部分集合の閉じた凸包は、プレコンパクト（「全有界」とも呼ばれる）部分集合であるにもかかわらず、必ずしもコンパクトではありません。つまり、の完備化でその閉包をとった場合、コンパクトになります（ここでは、 が完全である場合に限ります）。つまり、はコンパクトになります。したがって、たとえば、プレヒルベルト空間の のコンパクト部分集合の閉じた凸包は常に のプレコンパクト部分集合であり、したがってを含む任意のヒルベルト空間（たとえば のハウスドルフ完備化など）での の閉包はコンパクトになります（これは上記の前の例の場合です）。${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$${\displaystyle X={\widehat {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 準完全な局所凸 TVSでは、コンパクト部分集合の凸包の閉包は再びコンパクトになります。
• ハウスドルフ局所凸TVSでは、プレコンパクト集合の凸包は再びプレコンパクトである。^[29]結果として、完全なハウスドルフ局所凸空間では、コンパクト部分集合の閉じた凸包は再びコンパクトである。^[30]
• どのようなTVSでも、コンパクトな凸集合の有限和の凸包はコンパクト（かつ凸）である。^[7]
  • これは、任意のハウスドルフTVSにおいて、コンパクト凸集合の有限和の凸包が閉じている（コンパクト^[31]かつ凸であることに加えて）ことを意味する。特に、そのような和の凸包は、その和の閉じた凸包に等しい。
  • 一般に、コンパクト集合の閉じた凸包は必ずしもコンパクトではない。しかし、（ただし）のすべてのコンパクト部分集合はコンパクトな凸包を持つ。^[31]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n<\infty }$
  • 非ハウスドルフ TVS には、コンパクト (したがって完全) だが閉じていないサブセットが存在します。
• 双極定理は、局所凸ハウスドルフTVSの部分集合の双極（つまり、極の極）がその集合の閉じた凸均衡包に等しいことを述べています。^[32]
• 凸集合の平衡包は必ずしも凸であるとは限りません。
• とが位相ベクトル空間の凸部分集合であり、とが成り立つ実数が存在する場合、^[20]${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• がTVSのベクトル部分空間であり、がの凸部分集合であり、がの凸部分集合であって、^[20]${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$
• 集合を含むの最小のバランスのとれた部分集合はのバランス包と呼ばれ、 と表記されることを思い出してください。で表記される の凸バランス包の任意の部分集合は、 を含む凸かつバランスのとれた の最小の部分集合です。 ^{[33] の}凸バランス包はのバランス包の凸包に等しい(つまり) が、 の凸バランス包はの凸包のバランス包に必ずしも等しいとは限りません(つまり はに必ずしも等しいとは限りません)。^[33]${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
• がTVSの部分集合であり、がスカラーである場合は^[34]、さらにがコンパクトである場合は^[35]である。しかし、閉集合の凸包は必ずしも閉じている必要はない。^[34]例えば、集合は閉じているが、その凸包は開集合である。${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• がTVSの部分集合であり、その閉じた凸包がコンパクトである場合、 ^[35]${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• が複素ベクトル空間の凸集合であり、となるようなものが存在する場合、となる実数すべてに対してとなる。特に、となるスカラーすべてに対してとなる。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$${\displaystyle rz+siz\in S}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$${\displaystyle az\in S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• カラテオドリの定理: が の任意の部分集合(ただし)である場合、任意の に対して最大で 個の点を含む有限部分集合が存在し、その凸包は を含む(つまり、および)。^[36]${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n<\infty }$${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$${\displaystyle F\subseteq S}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |F|\leq n+1}$${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$