マルチインデックス表記

マルチインデックス表記法は、整数インデックスの概念をインデックスの 順序付けられたタプルに一般化することにより、多変数微積分、偏微分方程式、および分布の理論で使用される式を簡略化する数学表記法です。

n次元のマルチインデックスは、タプルである。${\textstyle n}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

非負の整数（つまり、次元の自然数集合の要素、 と表記される）。 ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

多重インデックスおよびに対して、次のように定義されます。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

成分ごとの和と差

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

部分的な順序

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

成分の合計（絶対値）

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

階乗

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

二項係数

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

多項係数

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$どこ。${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

力

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$。

高階偏微分

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$ここで（ 4-gradientも参照）。表記法が使われることもある。^[1]${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

多重インデックス表記法を使用すると、初等微積分学の多くの公式を対応する多変数の場合に拡張できます。以下にいくつかの例を示します。以下のすべてにおいて、(または)、、および(または) です。 ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

多項式定理

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

多項式定理

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$x + yはベクトルであり、α は多重インデックスであるため、左側の式は( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n}の短縮形であることに注意してください。

ライプニッツの公式

スムーズな機能と、${\textstyle f}$${\textstyle g}$$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

テイラー級数

変数の解析関数 の場合、次の式が得られます。実際、十分に滑らかな関数の場合、同様のテイラー展開があり、最後の項（剰余）はテイラー公式の正確なバージョンに依存します。たとえば、コーシー公式（整数剰余付き）の場合、次の式が得られます。${\textstyle f}$${\textstyle n}$$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

一般線形偏微分演算子

変数の形式的な線型-階偏微分演算子は次のように記述される。${\textstyle N}$${\textstyle n}$$${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

部品ごとの統合

有界領域におけるコンパクトな台を持つ滑らかな関数の場合、次の式が得られます。この式は、超関数と弱導関数の定義に使用されます。${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$

が多重インデックスで の場合、 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

証明は、通常の微分 のべき乗則から導かれる。αとβがの場合、 ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

、、と仮定すると、 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

の各 に対して、関数 はのみに依存します。したがって、上記では、各偏微分は対応する常微分 に簡約されます。したがって、式 ( 1 ) から、の少なくとも 1 つに対してがゼロになることがわかります。そうでない場合、つまり、 が複数のインデックスとして である場合、 各および に対して定理が成り立ちます。QED${\textstyle i}$${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle d/dx_{i}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$${\textstyle i}$${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$${\textstyle \alpha \leq \beta }$$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$${\displaystyle i}$

• アインシュタイン記法
• インデックス表記
• リッチ計算

• セント・レイモンド、ザビエル (1991)。擬微分作用素の理論への初等入門。第 1.1 章。CRC プレス。ISBN 0-8493-7158-9 

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