絶対凸集合

数学では、実数または複素数ベクトル空間の部分集合 Cは、凸かつバランスが取れている場合(「バランス」ではなく「円状」という用語を使用する人もいます)、絶対凸または円板状であると言われ、その場合は円板と呼ばれます。集合の円板包または絶対凸包は、その集合を含むすべての円板の 共通部分です。

実数ベクトル空間または複素数ベクトル空間の部分集合は${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$ディスクであり、ディスクに保存された、絶対凸であり、以下の同等の条件のいずれかが満たされる場合、 凸バランスとなります。

1. ${\displaystyle S}$凸かつ均衡のとれた集合です。
2. 任意のスカラーに対して、そして${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. すべてのスカラーに対して、そして${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. 任意のスカラーに対して、そして${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. 任意のスカラーに対して、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

与えられた集合を含むの最小の凸（またはバランスのとれた）部分集合は、その集合の凸包（またはバランスのとれた包）と呼ばれ、（または）で表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

同様に、ディスク状の船体、絶対凸包、そして集合の凸包は、 （部分集合の包含に関して）を含む^[1] の円板化された包はまたはで表され、次の各集合に等しくなります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {disk} S}$${\displaystyle \operatorname {コバルト} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$これはのバランスされた包の凸包である。したがって、${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • 一般に、有限次元ベクトル空間でも可能です。${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
2. すべてのディスクの交差${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ および }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ は }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\} を満たすスカラーです。}$

任意の数の絶対凸集合の交差は再び絶対凸になります。ただし、絶対凸集合の 和集合は、必ずしも絶対凸である必要はありません。

が の円板である場合、がに吸収されるのは の場合のみであり、^[2]${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

がベクトル空間内の吸収円板である場合、吸収円板が存在し、[ ^{3] が}円板であり、およびがスカラーである 場合、および${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E+E\subseteq S.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle sD=|s|D}$${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

局所凸位相ベクトル空間内の有界集合の絶対凸包は再び有界になります。

がTVSの有界円板であり、が内の数列である場合、部分和はコーシーであり、すべての^[4]に対してである。特に、加えてがの連続完全部分集合である場合、この数列はのある点に収束する。${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle D,}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle s_{\bullet}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D.}$

の凸バランス包は、の凸包とのバランス包の両方を含みます。さらに、それ はの凸包のバランス包を含むので、 以下の例はこの包含が厳密である可能性があることを示しています。ただし、 任意の部分集合の場合、つまり${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S;}$$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$${\displaystyle S,T\subseteq X,}$${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

の凸バランス包は必ずしも の凸包のバランス包と等しくはありませんが^[1]実数ベクトル空間を とし、と する例の場合、 は凸でもないの厳密な部分集合になります。特に、この例は凸集合のバランス包が必ずしも凸であるとは限らないことも示しています。 集合は、頂点がおよびである の閉じた塗りつぶされた正方形に等しくなります(これは、バランス集合にはと の両方が含まれていなければならないためです。 も凸であるため、必然的に、この特定の例では となるようにバランスが取れている塗りつぶされた正方形も含まれなければなりません)。しかし、はの 2 点間の水平の閉じた線分に等しいので、 は、正確に原点で - 軸と交差する閉じた「砂時計型」の部分集合となり、2 つの閉じた塗りつぶされた二等辺三角形の和集合となります。1 つの頂点は原点と で、もう 1 つの頂点は原点と です。この非凸の塗りつぶされた「砂時計型」は、塗りつぶされた正方形の適切な部分集合です。${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$${\displaystyle (1,-1)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {co} ((-S)\cup S),}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)}$${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

固定された実数aが与えられると、${\displaystyle 0<p\leq 1,}$${\displaystyle p}$-凸集合はベクトル空間の任意の部分集合であり、 と が非負のスカラーであるときはいつでも性質を持つ 。${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle rc+sd\in C}$${\displaystyle c,d\in C}$${\displaystyle r,s\geq 0}$${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$絶対凸集合${\displaystyle p}$または${\displaystyle p}$とがスカラーであるときはいつでも^[5]を満たす。${\displaystyle rc+sd\in C}$${\displaystyle c,d\in C}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$

あ${\displaystyle p}$-seminorm ^[6]、以下の条件を満たす 非負関数である${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

1. 劣加法性/三角不等式：すべてに対して${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対的な同次性${\displaystyle p}$：すべてのおよびすべてのスカラーに対して${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s.}$

これは、写像が半ノルムであるとき、かつそれが-半ノルムであるときのみ（ を使用）であるので、半ノルムの定義を一般化します。半ノルムではない -半ノルムも存在します。たとえば、 のときは常に、 Lp 空間を定義するために使用される写像は-半ノルムですが、半ノルムではありません。^[6]${\displaystyle 1}$${\displaystyle p:=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle p}$

ある位相ベクトル空間が-半正規化可能である（つまり、その位相が何らかの -半正規化によって誘導される）ためには、その空間に原点の有界な-凸近傍が存在する必要がある。 ^[5]${\displaystyle 0<p\leq 1,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

ウィキブック代数にはベクトル空間に関するページがあります。

• 吸収セット – 任意のポイントに到達するために「膨らませる」ことができるセット
• 補助正規空間
• バランスセット – 機能分析における構成
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分である集合
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• ベクトル（幾何学的）  - 長さと方向を持つ幾何学的オブジェクトPages displaying short descriptions of redirect targets。物理学におけるベクトル用。
• ベクトル場 – ユークリッド空間の部分集合内の各点にベクトルを割り当てる

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第53巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 4–6。
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.