凸解析の定理
数学 において 、 双極定理は 関数解析 における 定理 であり 、集合の双極（つまり、 極の 極）を特徴付ける。 凸解析 において、 双極定理は 円錐がその 双極 に等しい ための 必要十分条件 を指す。双極定理は、 フェンシェル・モローの定理 の特殊なケースと見なすことができる 。 [1] ：76–77
予選 が 連続双対空間を持つ 位相ベクトル空間 （TVS）で あるとし 、 すべてのに対してとする と、 で表される 集合の
凸包 は 、 を含む 最小の 凸集合 である。集合の 凸バランス包は
、を含む 最小の 凸 バランス 集合である。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
⟨
x 、
x
′
⟩
:=
x
′
（ x ）
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
x
′
∈
バツ
′
。
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }.}
あ 、
{\displaystyle A,}
共同 あ 、
{\displaystyle \operatorname {co} A,}
あ 。
{\displaystyle A.}
あ
{\displaystyle A}
あ 。
{\displaystyle A.}
部分集合の 極 は 次のように定義されます。
一方、 部分集合の 前極 は次のように定義されます。
部分集合の
双極 は 、次の
ように表されることが多いです。
あ ⊆ バツ
{\displaystyle A\subseteq X}
あ
∘
:=
{
x
′
∈
バツ
′
:
すする
1つの ∈ あ
|
⟨
1つの 、
x
′
⟩
|
≤ 1
}
。
{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}
B ⊆
バツ
′
{\displaystyle B\subseteq X^{\prime}}
∘
B :=
{
x ∈ バツ :
すする
x
′
∈ B
|
⟨
x 、
x
′
⟩
|
≤ 1
}
。
{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}
あ ⊆ バツ 、
{\displaystyle A\subseteq X,}
あ
∘ ∘
{\displaystyle A^{\circ \circ}}
あ
∘ ∘
:=
∘
（
あ
∘
）
=
{
x ∈ バツ :
すする
x
′
∈
あ
∘
|
⟨
x 、
x
′
⟩
|
≤ 1
}
。
{\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}}.}
関数解析におけるステートメント 上の 弱い位相 （つまり、 すべての線形関数を 連続にする上で最も弱い TVS 位相）
を表します 。
σ
（
バツ 、
バツ
′
）
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
双極定理 ： 部分集合の双極は、 凸均衡包 の閉包 に等しい 。
あ ⊆ バツ
{\displaystyle A\subseteq X}
σ
（
バツ 、
バツ
′
）
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
あ 。
{\displaystyle A.}
凸解析におけるステートメント 双極定理 : [1] : 54 [3] ある 線形空間内の空で ない任意の 円錐 に対して、 双極集合は 次のように与えられる:
あ
{\displaystyle A}
バツ 、
{\displaystyle X,}
あ
∘ ∘
{\displaystyle A^{\circ \circ}}
あ
∘ ∘
= cl （ 共同 { r 1つの : r ≥ 0 、 1つの ∈ あ } ） 。
{\displaystyle A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{ra:r\geq 0,a\in A\}).}
特別なケース 部分集合が空でない 閉凸 錐 で ある場合、かつ その 場合のみ、 集合の正の双対錐を表す [3] [4] が空でない凸錐である
場合、 双極錐は次のように表される。
Ｃ ⊆ バツ
{\displaystyle C\subseteq X}
Ｃ
+ +
=
Ｃ
∘ ∘
= Ｃ
{\displaystyle C^{++}=C^{\circ \circ }=C}
Ｃ
+ +
=
（
Ｃ
+
）
+
、
{\displaystyle C^{++}=\left(C^{+}\right)^{+},}
あ
+
{\displaystyle A^{+}}
あ 。
{\displaystyle A.}
Ｃ
{\displaystyle C}
Ｃ
∘ ∘
= cl Ｃ 。
{\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.}
を円錐の 指示関数
と する
と 、
凸共役はの サポート関数 で
あり 、
したがって 、のときのみである [1] ：54 [4]
ふ （ x ） := δ （ x
|
Ｃ ） =
{
0
x ∈ Ｃ
∞
さもないと
{\displaystyle f(x):=\delta (x|C)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}
Ｃ 。
{\displaystyle C.}
ふ
∗
（
x
∗
） = δ
（
x
∗
|
Ｃ
∘
）
=
δ
∗
（
x
∗
|
Ｃ
）
=
すする
x ∈ Ｃ
⟨
x
∗
、 x ⟩
{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }
Ｃ 、
{\displaystyle C,}
ふ
∗ ∗
（ x ） = δ （ x
|
Ｃ
∘ ∘
） 。
{\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ }).}
Ｃ =
Ｃ
∘ ∘
{\displaystyle C=C^{\circ \circ}}
ふ =
ふ
∗ ∗
。
{\displaystyle f=f^{**}.}
参照
参考文献
^ abc ボルウェイン、ジョナサン 、ルイス、エイドリアン（2006）。 凸解析と非線形最適化：理論と例 （第2版）。シュプリンガー 。ISBN 9780387295701 。 ^ ab Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). 凸最適化 (pdf) . Cambridge University Press. pp. 51–53. ISBN 9780521833783 . 2011年 10月15日 閲覧 。 ^ ab Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. 凸解析 . プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. pp. 121–125. ISBN 9780691015866 。
文献 ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322.
