局所凸ベクトル格子

数学、特に順序論と関数解析において、局所凸ベクトル格子（LCVL）は、局所凸空間でもある位相ベクトル格子である。 ^{[1] LCVLは}位相ベクトル格子 の理論において重要である。

凸集合、吸収集合、立体集合のミンコフスキー関数は格子半ノルムと呼ばれる。同様に、これはとなるような半ノルムであり、次式 が成り立つ。局所凸ベクトル格子の位相は、連続格子半ノルムの族によって生成される。^[1] ${\displaystyle p}$${\displaystyle |y|\leq |x|}$${\displaystyle p(y)\leq p(x).}$

すべての局所凸ベクトル格子は、凸 バランスのとれた 固体 吸収集合からなる原点の近傍基数を持ちます。^[1]

局所凸ベクトル格子の強い双対は、（その正準順序の下で）順序完備の局所凸ベクトル格子であり、の順序双対の立体部分空間である。さらに、が樽型空間である場合、の連続双対空間はの順序双対のバンドであり、の強い双対は完全な局所凸TVSである。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

局所凸ベクトル格子がバレル化されている場合、その強双対空間は完全である（空間が単に局所凸バレル化空間であり、局所凸ベクトル格子ではない場合は必ずしもそうではない）。^[1]

局所凸ベクトル格子が半反射的であれば、それは順序完備であり、（つまり、）は完全 TVS です。さらに、 上のすべての正の線型汎関数が連続である場合、 の は極小型であり、上の順序位相はMackey 位相に等しく、反射的です。^[1] すべての反射的局所凸ベクトル格子は順序完備であり、完全局所凸 TVS であり、その強双対は、標準評価マップの下で強双対（つまり、強双対の強双対）と同一視できる樽型反射的局所凸 TVS です。 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {O}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {O} }\right)}$

局所凸ベクトル格子がインフラバレルTVSである場合、評価写像の下では、その強い双対の位相ベクトル部分格子と同一視することができ、その強い双対の位相ベクトル部分格子はその正準順序の下で順序完全な局所凸ベクトル格子である。^[1]${\displaystyle X}$

が可分距離化可能な局所凸順序位相ベクトル空間であり、その正錐がの完全かつ全部分集合である場合、の準内部点の集合は^[1]において稠密である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C.}$

が局所凸ベクトル格子で、それがボルノロジー的かつ順次完備である場合、それぞれを連続させる上で最も細かい局所凸位相となるようなコンパクト空間の族と、インデックス付きベクトル格子埋め込みの族が存在する。^[2]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{\alpha }:C_{\mathbb {R} }\left(K_{\alpha }\right)\to X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{\alpha }}$

すべてのバナッハ格子、ノルム格子、フレシェ格子は局所凸ベクトル格子です。

• バナッハ格子 – 格子の互換性のある構造を持つバナッハ空間
• フレシェ格子 – 位相ベクトル格子
• ノルム格子
• ベクトル格子 – 格子として順序付けられた、部分的に順序付けられたベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.