吸収セット

バランスの取れたコアとバランスの取れた船体

サブセット${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$と言われているバランスが取れている場合${\displaystyle as\in S}$すべての人々のために${\displaystyle s\in S}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle a}$満足${\displaystyle |a|\leq 1;}$この条件はより簡潔に次のように記述できます。${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$そしてそれは、${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

集合が与えられた${\displaystyle T,}$最小のバランスのとれたセット${\displaystyle T,}$で示される${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$と呼ばれるバランスの取れた船体${\displaystyle T}$最大のバランスセットは${\displaystyle T,}$で示される${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$と呼ばれるバランスの取れたコア${\displaystyle T.}$ これらの集合は、以下の式で与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$ そして $${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$ （これらの式は、バランスの取れた船体とバランスの取れたコアが常に存在し、かつ一意であることを示している。）${\displaystyle T}$バランスが取れているのは、それがバランスの取れた船体と等しい場合のみである（${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$）またはそのバランスの取れたコア（${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$この場合、これら３つの集合はすべて等しい。${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

もし${\displaystyle c}$任意のスカラーである場合 $${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$ もし${\displaystyle c\neq 0}$ゼロでない場合、または${\displaystyle 0\in T}$そしてまた $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

もし${\displaystyle S}$そして${\displaystyle A}$は、${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A}$と言われている吸収する${\displaystyle S}$以下のいずれかの同等の条件を満たす場合：

1. 定義：現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle c}$満足${\displaystyle |c|\geq r.}$あるいはもっと簡潔に言うと、${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$一部の人にとって${\displaystyle r>0.}$
   • スカラー場が${\displaystyle \mathbb {R} }$そして直感的に「${\displaystyle A}$吸収する${\displaystyle S}$「」は、もし${\displaystyle A}$常に「スケールアップ」または「インフレーション」されている（${\displaystyle tA}$として${\displaystyle t\to \infty }$）そして最終的には（すべての正の値に対して）${\displaystyle t>0}$十分に大きい）、すべて${\displaystyle tA}$含まれる${\displaystyle S;}$同様に、${\displaystyle tA}$最終的には、${\displaystyle S}$すべての否定的な${\displaystyle t<0}$十分に大きい規模である。
   • この定義は、基礎となるスカラー場の正準ノルム（つまり、絶対値）に依存します。${\displaystyle |\cdot |}$）したがって、この定義はスカラー体上の通常のユークリッド位相と結びついています。結果として、吸収集合の定義（下記参照）もこの位相と結びついています。
2. 現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$すべての非ゼロのスカラーに対して^{[注1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$満足${\displaystyle |c|\leq r.}$あるいはもっと簡潔に言うと、${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$一部の人にとって${\displaystyle r>0.}$
   • この結合は等しいので${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$どこ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$原点を取り除いた閉じた球体である場合、この条件は次のように言い換えることができます。${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$一部の人にとって${\displaystyle r>0.}$
   • 非厳密な不等式${\displaystyle \,\leq \,}$厳密な不等式に置き換えることができる${\displaystyle \,<\,,}$これが次の特徴づけです。
3. 現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$すべての非ゼロのスカラーに対して^{[注1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$満足${\displaystyle |c|<r.}$あるいはもっと簡潔に言うと、${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$一部の人にとって${\displaystyle r>0.}$
   • ここ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$原点を取り除いた開いた球で、${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

もし${\displaystyle A}$がバランスの取れたセットである場合、このリストは以下のように拡張できます。

4. ゼロでないスカラーが存在する${\displaystyle c\neq 0}$そのため${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • もし${\displaystyle 0\in A}$すると要件${\displaystyle c\neq 0}$削除される可能性があります。
5. ゼロでないスカラーが存在する^{[注1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$そのため${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

もし${\displaystyle 0\in A}$（${\displaystyle A}$吸収集合である、または位相における原点の近傍である）場合、このリストは以下のように拡張できます。

6. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle c}$満足${\displaystyle |c|<r.}$あるいはもっと簡潔に言うと、${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle c}$満足${\displaystyle |c|\leq r.}$あるいはもっと簡潔に言うと、${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • 包含${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$と同等${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$（以来${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$）。 なぜなら${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$これは書き換えられる可能性があります${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$これにより、次の文が得られます。
8. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • 次の特徴付けは、上記の特徴付けと、すべてのスカラーに対して${\displaystyle c,}$バランスの取れた船体${\displaystyle A}$満たす${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$そして（${\displaystyle 0\in A}$）バランスの取れたコアが満足${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$言葉で言えば、集合は${\displaystyle A}$それが、バランスのとれたコアの正のスカラー倍に含まれている場合${\displaystyle A.}$
12. 存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. ゼロでないスカラーが存在する^{[注1 ]}${\displaystyle c\neq 0}$そのため${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$言葉で言えば、バランスの取れた核心は${\displaystyle A}$ゼロでないスカラー倍数を含む${\displaystyle S.}$
14. スカラーが存在する${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$言葉で言うと、${\displaystyle A}$バランスの取れた船体を含むようにスケールできます${\displaystyle S.}$
15. スカラーが存在する${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
16. スカラーが存在する${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$言葉で言うと、${\displaystyle A}$バランスの取れたコアが${\displaystyle S.}$
17. スカラーが存在する${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
18. スカラーが存在する${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).}$言葉で言えば、バランスの取れた核心は${\displaystyle A}$バランスの取れた船体を含むようにスケールできます${\displaystyle S.}$
19. バランスの取れたコア${\displaystyle A}$バランスの取れた船体を吸収する${\displaystyle S}$（この定義条件以外の「吸収する」の定義条件による）。

もし${\displaystyle 0\not \in S}$または${\displaystyle 0\in A}$そして、このリストには以下を含めることができます。

20. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$吸収する${\displaystyle S}$（この定義条件以外の「吸収する」の定義条件による）。
    • 言い換えると、${\displaystyle A}$に置き換えられる可能性がある${\displaystyle A\cup \{0\}}$上記の特徴付けにおいて、${\displaystyle 0\not \in S}$（あるいは、もし${\displaystyle 0\in A}$)

点を吸収する集合

セットはポイントを吸収する${\displaystyle x}$シングルトンセットを吸収する場合${\displaystyle \{x\}.}$セット${\displaystyle A}$原点を吸収するのは、それが原点を含んでいる場合に限る。つまり、${\displaystyle 0\in A.}$ 以下に詳述するように、セットは吸収性があると言われています。${\displaystyle X}$もしそれがすべてのポイントを吸収するならば${\displaystyle X.}$

ある集合が別の集合を吸収するというこの概念は、他の定義でも用いられています。位相ベクトル空間の部分集合${\displaystyle X}$集合が原点のすべての近傍に吸収される場合、その集合は有界であると呼ばれる。集合がすべての有界部分集合を吸収する場合、その集合は吸収性であると呼ばれる。

最初の例

すべての集合は空集合を吸収するが、空集合は空でない集合を吸収しない。単一要素集合${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$原点を含む唯一の単一部分集合は、自身を吸収する。

仮に${\displaystyle X}$等しく${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$または${\displaystyle \mathbb {C} .}$もし${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$は単位円（原点を中心とする）です${\displaystyle \mathbf {0} }$）原点と合わせて、${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$は、唯一の空でない集合です。${\displaystyle A}$吸収する。さらに、空でない部分集合は存在しない。${\displaystyle X}$それは単位円に吸収される${\displaystyle S^{1}.}$対照的に、原点のすべての近傍は、${\displaystyle X}$（したがって、特に、すべての単一要素部分集合／点を吸収します。）

サブセット${\displaystyle A}$ベクトル空間の${\displaystyle X}$野原を越えて${\displaystyle \mathbb {K} }$と呼ばれる吸収性（または吸収性）サブセット${\displaystyle X}$そして、吸収する${\displaystyle X}$以下のいずれかの同等の条件を満たす場合（定義から始めて、各条件が前の条件から容易に導かれるように順序付けされている）：

1. 意味：${\displaystyle A}$あらゆる点を吸収する${\displaystyle X;}$つまり、すべての${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A}$吸収する${\displaystyle \{x\}.}$
   • 特に、${\displaystyle A}$吸収できない${\displaystyle 0\not \in A.}$すべての吸収集合は原点を含まなければならない。
2. ${\displaystyle A}$すべての有限部分集合を吸収する${\displaystyle X.}$
3. すべての${\displaystyle x\in X,}$現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle x\in cA}$任意のスカラーに対して${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$満足${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. すべての${\displaystyle x\in X,}$現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle cx\in A}$任意のスカラーに対して${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$満足${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. すべての${\displaystyle x\in X,}$現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • ここ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K}$ :|c|<r\}} は半​​径の開いた球です${\displaystyle r}$原点を中心とするスカラー場において、${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • 閉じたボールは、開いたボールの代わりに使用できます。
   • なぜなら${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$包含${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$成り立つのは、${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$これは次の主張を証明する。
6. すべての${\displaystyle x\in X,}$現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$どこ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • トポロジーへの接続: もし${\displaystyle \mathbb {K} x}$に通常のハウスドルフユークリッド位相を与えると、集合は${\displaystyle B_{r}x}$は、​${\displaystyle \mathbb {K} x;}$したがって、現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$かつその場合に限り${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$は、${\displaystyle \mathbb {K} x.}$その結果、${\displaystyle A}$この条件を満たすのは、すべての${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$近隣地域${\displaystyle 0}$で ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$いつ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$ユークリッド位相が与えられる。これにより、次の特徴付けが得られる。
   • 1次元ベクトル空間上の唯一のTVS位相^{[注2 ]}は、(非ハウスドルフ)自明位相とハウスドルフユークリッド位相である。${\displaystyle X}$形式は${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ゼロでないいくつかの${\displaystyle x\in X}$そしてこの1次元空間${\displaystyle \mathbb {K} x}$（ユニークな）ハウスドルフベクトル位相、そしてマップ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$定義される${\displaystyle c\mapsto cx}$は必然的にTVS 同型写像である(通常、${\displaystyle \mathbb {K} }$は、ユークリッド計量によって誘導される標準的なユークリッド位相を備えている。
7. ${\displaystyle A}$原点を含み、すべての 1 次元ベクトル部分空間に対して${\displaystyle Y}$の${\displaystyle X,}$${\displaystyle A\cap Y}$は、${\displaystyle Y}$いつ${\displaystyle Y}$ is given its unique Hausdorff vector topology (i.e. the Euclidean topology).
   • The reason why the Euclidean topology is distinguished in this characterization ultimately stems from the defining requirement on TVS topologies^{[note 2]} that scalar multiplication ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ be continuous when the scalar field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ is given this (Euclidean) topology.
   • ${\displaystyle 0}$-Neighborhoods are absorbing: This condition gives insight as to why every neighborhood of the origin in every topological vector space (TVS) is necessarily absorbing: If ${\displaystyle U}$ is a neighborhood of the origin in a TVS ${\displaystyle X}$ then for every 1-dimensional vector subspace ${\displaystyle Y,}$${\displaystyle U\cap Y}$ is a neighborhood of the origin in ${\displaystyle Y}$ when ${\displaystyle Y}$ is endowed with the subspace topology induced on it by ${\displaystyle X.}$ This subspace topology is always a vector topology^{[note 2]} and because ${\displaystyle Y}$ is 1-dimensional, the only vector topologies on it are the Hausdorff Euclidean topology and the trivial topology, which is a subset of the Euclidean topology. So regardless of which of these vector topologies is on ${\displaystyle Y,}$ the set ${\displaystyle U\cap Y}$ will be a neighborhood of the origin in ${\displaystyle Y}$ with respect to its unique Hausdorff vector topology (the Euclidean topology).^{[note 3]} Thus ${\displaystyle U}$ is absorbing.
8. ${\displaystyle A}$ contains the origin and for every 1-dimensional vector subspace ${\displaystyle Y}$ of ${\displaystyle X,}$${\displaystyle A\cap Y}$ is absorbing in ${\displaystyle Y}$ (according to any defining condition of "absorbing" other than this one).
   • This characterization shows that the property of being absorbing in ${\displaystyle X}$ depends only on how ${\displaystyle A}$ behaves with respect to 1 (or 0) dimensional vector subspaces of ${\displaystyle X.}$ In contrast, if a finite-dimensional vector subspace ${\displaystyle Z}$ of ${\displaystyle X}$ has dimension ${\displaystyle n>1}$ and is endowed with its unique Hausdorff TVS topology, then ${\displaystyle A\cap Z}$ being absorbing in ${\displaystyle Z}$ is no longer sufficient to guarantee that ${\displaystyle A\cap Z}$ is a neighborhood of the origin in ${\displaystyle Z}$ (although it will still be a necessary condition). For this to happen, it suffices for ${\displaystyle A\cap Z}$ to be an absorbing set that is also convex, balanced, and closed in ${\displaystyle Z}$ (such a set is called a barrel and it will be a neighborhood of the origin in ${\displaystyle Z}$ because every finite-dimensional Euclidean space, including ${\displaystyle Z,}$ is a barrelled space).

If ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ then to this list can be appended:

9. The algebraic interior of ${\displaystyle A}$ contains the origin (that is, ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$).

If ${\displaystyle A}$ is balanced then to this list can be appended:

10. For every ${\displaystyle x\in X,}$ there exists a scalar ${\displaystyle c\neq 0}$ such that ${\displaystyle x\in cA}$^[1] (or equivalently, such that ${\displaystyle cx\in A}$).
11. For every ${\displaystyle x\in X,}$ there exists a scalar ${\displaystyle c}$ such that ${\displaystyle x\in cA.}$

If ${\displaystyle A}$ is convexorbalanced then to this list can be appended:

12. For every ${\displaystyle x\in X,}$ there exists a positive real ${\displaystyle r>0}$ such that ${\displaystyle rx\in A.}$
    • バランスの取れたセットの証明${\displaystyle A}$この条件を満たすことは必然的に${\displaystyle X}$上記の条件(10)と事実から、${\displaystyle cA=|c|A}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle c\neq 0}$（どこ${\displaystyle r:=|c|>0}$（実在する）。
    • 凸集合の証明${\displaystyle A}$この条件を満たすことは必然的に${\displaystyle X}$それほど自明ではない（しかし難しくはない）。詳細な証明はこの脚注^{[証明1 ]}に記載されており、以下に概要を示す。
      • 証明の要約: 仮定により、任意の非ゼロに対して${\displaystyle 0\neq y\in X,}$正の実数を選ぶことは可能です${\displaystyle r>0}$そして${\displaystyle R>0}$そのため${\displaystyle Ry\in A}$そして${\displaystyle r(-y)\in A}$凸集合${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$開区間を含む${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$起源を含む（${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$は、私たちが識別するため、区間と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} y}$と${\displaystyle \mathbb {R} }$空でない凸部分集合${\displaystyle \mathbb {R} }$（区間）${\displaystyle \mathbb {K} y}$その独自のハウスドルフベクトル位相構造を示す必要がある。${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$は、${\displaystyle \mathbb {K} y.}$もし${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$これで終わりなので、${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$セット${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$は、それぞれが原点を含む開部分区間を含む2つの区間の和集合であり、さらに、これら2つの区間の交点はまさに原点である。したがって、の四角形凸包は${\displaystyle S,}$これは凸集合に含まれる${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$原点の周りに明らかに開いた球体が含まれている。${\displaystyle \blacksquare }$
13. すべての${\displaystyle x\in X,}$正の実在が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle x\in rA.}$
    • この条件は以下と同等です: すべての${\displaystyle x\in X}$セットに属する${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$これは、以下の場合に限り発生します。${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$これにより、次の特徴が明らかになる。
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • 任意の部分集合に対して、${\displaystyle T}$の${\displaystyle X,}$${\displaystyle (0,\infty )T=X}$かつその場合に限り${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$すべての${\displaystyle x\in X,}$どこ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. すべての${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

もし${\displaystyle 0\in A}$（${\displaystyle A}$吸収性を持つ) ならば、すべての非ゼロに対して上記の条件のいずれかをチェックすれば十分である。${\displaystyle x\in X,}$すべてではなく${\displaystyle x\in X.}$

させて${\displaystyle F:X\to Y}$ベクトル空間間の線形写像とし、${\displaystyle B\subseteq X}$そして${\displaystyle C\subseteq Y}$バランスの取れたセットである。${\displaystyle C}$吸収する${\displaystyle F(B)}$かつその場合に限り${\displaystyle F^{-1}(C)}$吸収する${\displaystyle B.}$^{[ 2 ]}

セットの場合${\displaystyle A}$別のセットを吸収する${\displaystyle B}$すると、${\displaystyle A}$また吸収する${\displaystyle B.}$ セット${\displaystyle A}$原点が の要素である場合に限り、原点を吸収する。${\displaystyle A.}$

セット${\displaystyle A}$有限個の和集合を吸収する${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$集合の は、各集合の個性を吸収する場合に限り、${\displaystyle A}$吸収する${\displaystyle B_{i}}$すべての${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$特に、${\displaystyle A}$は吸収部分集合である${\displaystyle X}$有限部分集合を全て吸収する場合に限る${\displaystyle X.}$

任意のノルムベクトル空間（または半ノルムベクトル空間）の単位球は吸収性を持つ。より一般的には、${\displaystyle X}$が位相ベクトル空間(TVS) である場合、原点の任意の近傍は${\displaystyle X}$夢中になっている${\displaystyle X.}$この事実は、「吸収する」という性質を定義する主な動機の1つである。${\displaystyle X.}$「

吸収集合のすべてのスーパーセットは吸収集合です。したがって、(1 つ以上の)吸収集合の任意の族の和集合は吸収集合です。有限個の吸収部分集合の共通部分は、再び吸収部分集合になります。ただし、開球は${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$半径${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$すべては${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$それらの交点${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$吸収しない。

もし${\displaystyle D\neq \varnothing }$が円盤（凸でバランスの取れた部分集合）である場合${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$したがって特に、ディスク${\displaystyle D\neq \varnothing }$は常に吸収部分集合である${\displaystyle \operatorname {span} D.}$^{[ 3 ]} したがって、${\displaystyle D}$ディスクは${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle D}$夢中になっている${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ この結論は、セットが${\displaystyle D\neq \varnothing }$バランスが取れているが凸ではない。例えば、和集合${\displaystyle D}$の${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$軸${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$は、吸収しない非凸平衡集合です。${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

全射線形作用素による吸収集合の像は再び吸収集合となる。線形作用素による吸収部分集合（終域）の逆像は再び吸収集合となる（終域において）。${\displaystyle A}$吸収すると、対称セットについても同じことが言える${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

補助的な基準空間

もし${\displaystyle W}$凸型で吸収型${\displaystyle X}$次に、対称セット${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$凸でバランスが取れている（絶対凸集合またはディスクとも呼ばれる）ことに加えて、${\displaystyle X.}$ これはミンコフスキー関数が${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$の${\displaystyle D}$セミノーマルになる${\displaystyle X,}$それによって${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$正準擬似計量位相を持つ半ノルム空間へ。スカラー倍の集合${\displaystyle rD}$として${\displaystyle r}$範囲は${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$（または、ゼロでないスカラーの任意の集合に対して）${\displaystyle 0}$（極限点として）は、この局所凸トポロジーの原点における吸収ディスクの近傍基底を形成します。${\displaystyle X}$は位相ベクトル空間であり、この凸吸収部分集合が${\displaystyle W}$は、の有界部分集合でもある。${\displaystyle X,}$そうすれば、吸収ディスクについても同様のことが言えるだろう。${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$さらに${\displaystyle D}$非自明なベクトル部分空間を含まない場合${\displaystyle p_{D}}$標準となり、${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$補助ノルム空間と呼ばれるものを形成する。^{[ 4 ]} このノルム空間がバナッハ空間である場合、${\displaystyle D}$これはバナッハ円盤と呼ばれます。