滑らかさ

関数${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$開集合上で定義される${\displaystyle U}$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^{[ 2 ]}はクラスに属すると言われている${\displaystyle C^{k}}$の上${\displaystyle U}$正の整数に対して${\displaystyle k}$偏微分がすべて$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$すべてのマルチインデックス に対して存在し、連続的である。${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$非負整数の${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$等価的に、有限次元では、${\displaystyle f}$クラス${\displaystyle C^{k}}$の上${\displaystyle U}$もしそうなら${\displaystyle k}$連続的にフレシェ微分可能${\displaystyle U}$. 機能${\displaystyle f}$はクラスであると言われている${\displaystyle C}$または${\displaystyle C^{0}}$連続している場合は${\displaystyle U}$クラスの関数${\displaystyle C^{1}}$連続微分可能であるとも言われている。

関数${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$開集合上で定義される${\displaystyle U}$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、クラスに属すると言われている${\displaystyle C^{k}}$の上${\displaystyle U}$正の整数に対して${\displaystyle k}$、そのすべての構成要素が $${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f\quad {\text{for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$ クラスの${\displaystyle C^{k}}$、 どこ${\displaystyle \pi _{i}}$自然の突出部${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$クラスの${\displaystyle C}$または${\displaystyle C^{0}}$連続である場合、または同等に、すべてのコンポーネントが${\displaystyle f_{i}}$連続的であり、${\displaystyle U}$。

させて${\displaystyle D}$の開部分集合である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. 実数値の集合${\displaystyle C^{k}}$機能について${\displaystyle D}$と表記される${\displaystyle C^{k}(D)}$コンパクトオープン${\displaystyle C^{k}}$トポロジー、${\displaystyle C^{k}(D)}$これはフレシェ空間である。この位相を記述する一つの方法は、半ノルムの族を用いることである。$${\displaystyle p_{K,\alpha }(f)=\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|,}$$ どこ${\displaystyle K}$コンパクトなサブセットの範囲${\displaystyle D}$そして${\displaystyle \alpha }$複数のインデックスにわたる範囲${\displaystyle |\alpha |\leq k}$。

もし${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$境界があり、かつ開いている場合、${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$は、上の関数の空間を表す。${\displaystyle U}$その偏微分は高々${\displaystyle k}$コンパクトセットまで連続的に拡張${\displaystyle {\overline {U}}}$^{[ 3 ]}これはノルムを持つ バナッハ空間である。$${\displaystyle \|f\|_{C^{k}({\overline {U}})}=\max _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\overline {U}}}|D^{\alpha }f(x)|.}$$ 同様に、これらの上限の合計を${\displaystyle |\alpha |\leq k}$結果として得られる規範は同等である。

点ごとの加算と乗算では、${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$は可換バナッハ環である。この代数的性質は、積の各導関数を、高々 の階数の因子の導関数で表すライプニッツの法則から導かれる。${\displaystyle k}$。

より一般的に言えば、${\displaystyle M}$はコンパクトで滑らかな多様体であり、境界を持つ場合もある。${\displaystyle C^{k}(M)}$はバナッハ空間です。そのノルムは、有限個の座標チャートと単位の分割を用いて定義できます。異なる選択でも同等のノルムが得られます。点ごとの乗算により、${\displaystyle C^{k}(M)}$は再びバナッハ環である。対照的に、${\displaystyle C^{\infty }(M)}$は一般にバナッハ空間ではないが、コンパクト多様体上では自然にフレシェ空間となり、半ノルムがすべての階数の導関数を制御する。

ゲルファントスペクトル${\displaystyle C^{k}(M)}$は${\displaystyle M}$それ自体。したがって、ゲルファント変換は単射（ただし全射ではない）写像を与える。${\displaystyle C^{k}(M)\to C^{0}(M)}$[ ^{4 ] ：演習11.9}

上記の空間は、特定の階数の導関数を持つ関数が必要なアプリケーションで自然に現れますが、特に偏微分方程式の研究においては、代わりにソボレフ空間を扱う方がより有益な場合もあります。

滑らかでコンパクトなサポートを持つ関数は、解析で使用される多くの関数空間で密である。${\displaystyle L^{p}}$適切な仮定の下で空間とソボレフ空間。これらは、一様収束の位相よりも弱い滑らかな関数に位相を配置することに対応します（${\displaystyle L^{p}}$ノルム）。このため、滑らかな関数はテスト関数として、また、あまり規則的でない関数の近似として役立ちます。

すべての解析関数は、解析的である集合上で滑らかですが、バンプ関数（前述）などの例は、実数上の関数についてはその逆が成り立たないことを示しています。つまり、解析的ではない滑らかな実数関数が存在するのです。どの点においても滑らかであるが解析的ではない関数の簡単な例は、フーリエ級数によって作ることができます。別の例としては、ファビウス関数があります。このような関数は例外であって規則ではないように思えるかもしれませんが、解析関数は滑らかな関数の小さな部分クラスを形成します。例えば、滑らかな関数の空間に適切な位相を設けると、解析関数は滑らかな関数のわずかな部分集合を形成します。 ^{[ 6 ]}さらに、実数直線の任意の開集合Aに対して、 A上で解析的であり、他の場所では解析的ではない滑らかな関数が存在します。^{[ 7 ]}

このように説明した状況は、複素微分可能関数とは著しく対照的である。複素関数が開集合上で正則であれば、その集合上で無限微分可能かつ解析的である。^{[ 8 ]}

エミール・ボレルの定理によれば、すべての形式的冪級数は、ある滑らかな関数のテイラー級数として現れる。これは、テイラー級数によって局所的に決定される解析関数と滑らかな関数との違いの一つである。

適切な仮定の下では、関数の微分可能性が高いほど、そのラプラス変換またはフーリエ変換の減衰が速くなる。例えば、部分積分を用いると、導関数が適切な積分可能性条件または境界条件を満たす関数のフーリエ変換の減衰を推定できる。これらの関係は、ペイリー・ウィーナーの定理などの結果と関連している。

逆に、フーリエ変換の減衰は、元の関数の微分可能性や連続性を示す可能性がある。これはしばしばソボレフ空間を用いて定式化される。フーリエ変換の減衰はソボレフ正則性を与え、ソボレフ埋め込み定理は、ソボレフ正則性が古典的な結果を意味する条件を与える。${\displaystyle C^{k}}$滑らかさ。

滑らかでコンパクトなサポート関数は、通常、${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$これらはテスト関数と呼ばれます。これらは分布と弱導関数を定義するために使用されます。

適切な制御された台を持つ滑らかな関数、特にコンパクトな台を持つ滑らかな関数は、滑らかな単位分割の構成に使用されます（単位分割とトポロジー用語集を参照）。これらは、例えば、リーマン計量が局所的な存在から大域的に定義できることを示すなど、滑らかな多様体の研究において不可欠です。単純な例として、実数直線上のバンプ関数、つまり区間 [ a , b ] の外側で値 0 を取り、かつ、 $${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

線上の局所的に有限な重なり合う区間の集合が与えられた場合、それぞれの区間および半無限区間上にバンプ関数を構築することができる。${\displaystyle (-\infty ,c]}$そして${\displaystyle [d,+\infty )}$関数の合計が常に 1 になるように、線全体を覆う。

先に述べたことから、単位の分割は正則関数には同じようには適用されないことがわかる。例えば、連結複素領域上にはコンパクトな台を持つ非零正則関数は存在しない。存在と解析接続に関するこれらの関数の異なる振る舞いは、層理論の根幹の一つである。対照的に、滑らかな関数の層は細密であり、したがって異なるコホモロジー的振る舞いを示す。

滑らかな多様体が与えられた場合${\displaystyle M}$寸法${\displaystyle m,}$そして地図帳${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$地図${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$滑らかです​${\displaystyle M}$もし、すべての${\displaystyle p\in M}$チャートがあります${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$と${\displaystyle p\in U,}$そのため${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$は開集合からの滑らかな関数です${\displaystyle \phi (U)}$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$同様に、${\displaystyle f}$クラス${\displaystyle C^{k}}$これらの座標表現がクラスである場合${\displaystyle C^{k}}$滑らかさは、アトラスのどのチャートにも含まれており、それに関してチェックできます。${\displaystyle p,}$チャート間の遷移関数の滑らかさの要件により、${\displaystyle f}$近くは滑らかです${\displaystyle p}$1 つのチャートでは、滑らかになります${\displaystyle p}$他のどのグラフでも。

滑らかな多様体上${\displaystyle M}$滑らかなベクトル場は、代数の導関数と同一視できる。${\displaystyle C^{\infty }(M)}$つまり、ベクトル場${\displaystyle X}$滑らかな関数に作用する${\displaystyle f\mapsto Xf}$そしてライプニッツの法則を満たす $${\displaystyle X(fg)=fX(g)+gX(f).}$$

もし${\displaystyle F:M\to N}$これは地図です${\displaystyle M}$に${\displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle N}$、 それから${\displaystyle F}$は、すべての${\displaystyle p\in M,}$チャートがあります${\displaystyle (U,\phi )}$含む${\displaystyle p,}$そしてチャート${\displaystyle (V,\psi )}$含む${\displaystyle F(p)}$そのため${\displaystyle F(U)\subset V,}$そして${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$これは、ユークリッド空間の開部分集合間の滑らかな関数である。

多様体間の滑らかな写像は接空間間の線形写像を誘導する：${\displaystyle F:M\to N}$各点において、プッシュフォワード（または微分）は接線ベクトルを${\displaystyle p}$接線ベクトルに対して${\displaystyle F(p)}$:${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$そして接束のレベルでは、プッシュフォワードはベクトル束準同型である。${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$プッシュフォワードの双対はプルバックであり、これはコベクターを「引っ張る」。${\displaystyle N}$covectorsに戻る${\displaystyle M,}$そして${\displaystyle k}$-フォーム${\displaystyle k}$-形式:${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$このようにして、多様体間の滑らかな関数は、ベクトル場や微分形式などの局所的なデータを、ある多様体から別の多様体へ、あるいは積分などの計算がよく理解されているユークリッド空間へと伝達することができる。

滑らかな写像の逆像と像は、一般に、追加の仮定なしには多様体ではありません。正則値の逆像は多様体です。これは、滑らかな写像の場合、${\displaystyle F:M\to N}$そして価値${\displaystyle q\in N}$差分${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{q}N}$あらゆる点で全射である${\displaystyle p\in F^{-1}(q)}$これは逆像定理である。同様に、埋め込みの像は埋め込み部分多様体である。^{[ 9 ]}

ベクトル束の断面についても滑らかさが定義される。断面が滑らかであるとは、その座標成分が局所自明化において滑らかである場合をいう。滑らかなベクトル場、微分形式、テンソル場は、滑らかな断面の例である。

多様体の任意の部分集合に対して、対応する滑らかな写像の概念が存在する。${\displaystyle f:X\to Y}$は、定義域と値域が多様体の部分集合である関数である。${\displaystyle X\subseteq M}$そして${\displaystyle Y\subseteq N}$それぞれ、${\displaystyle f}$すべての​${\displaystyle x\in X}$開集合が存在する${\displaystyle U\subseteq M}$と${\displaystyle x\in U}$そしてスムーズな機能${\displaystyle F:U\to N}$そのため${\displaystyle F(p)=f(p)}$すべての人々のために${\displaystyle p\in U\cap X.}$

のために${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$、ヘルダー空間${\displaystyle C^{k,\alpha }(U)}$オープンセットで${\displaystyle U}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$関数は${\displaystyle C^{k}}$の上${\displaystyle U}$そしてその${\displaystyle k}$の 部分関数は、 のヘルダー条件を満たす。${\displaystyle U}$: $${\displaystyle |\partial ^{k}f(x)-\partial ^{k}f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }.}$$ この条件は通常の連続性よりも強い。${\displaystyle \alpha =1}$これは、k 階微分のリプシッツ連続性を意味し、微分可能性よりも弱い。したがって、${\displaystyle 0<\alpha <1}$、空でない開領域上${\displaystyle U}$、 $${\displaystyle C^{k}(U)\subsetneq C^{k,\alpha }(U)\subsetneq C^{k,1}(U)\subsetneq C^{k+1}(U).}$$