三角比 この直角三角形では、sin A = a / h ; cos A = b / h ; tan A = a / b です。 三角比は直角三角形の辺の比です。これらの比は直角三角形の1つの鋭角のみに依存します。なぜなら、同じ鋭角を持つ2つの直角三角形は相似 だからです。[ 31 ]
つまり、これらの比率は、この角度の関数 、すなわち三角関数 を定義します。具体的には、以下の図に示すように、既知の角度A の関数として定義されます。ここで、 a 、b 、h は 、添付の図における辺の長さを表します。
以下の定義において、斜辺と は直角三角形の90度の角の対辺であり、三角形の中で最も長い辺で、角A に隣接する2辺のうちの1つです。隣接辺とは、角 A に隣接するもう一方の辺です。対辺とは、角 A の反対側の辺です。対辺と隣接辺には、それぞれ垂直辺 と底辺という 用語が用いられることがあります。詳しくは、下記の「覚え方」の 項を参照してください。
正弦 罪 A = 反対 斜辺 = 1 h 。 {\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {対辺}}{\textrm {斜辺}}}={\frac {a}{h}}.} コサイン コス A = 隣接 斜辺 = b h 。 {\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {隣辺}}{\textrm {斜辺}}}={\frac {b}{h}}.} 正接 タン A = 反対 隣接 = 1 b = 1 / h b / h = 罪 A コス A 。 {\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {対辺}}{\textrm {隣辺}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.} これらの比率の逆数は、それぞれ コセカント （csc）、セカント （sec）、コタンジェント （cot）と呼ばれます。
csc A = 1 罪 A = 斜辺 反対 = h 1 、 {\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {斜辺}}{\textrm {対辺}}}={\frac {h}{a}},} 秒 A = 1 コス A = 斜辺 隣接 = h b 、 {\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {斜辺}}{\textrm {隣辺}}}={\frac {h}{b}},} ベビーベッド A = 1 タン A = 隣接 反対 = コス A 罪 A = b 1 。 {\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {隣辺}}{\textrm {対辺}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.} コサイン、コタンジェント、コセカントは、それぞれ補角のサイン、タンジェント、セカントであることからそのように名付けられており、「co-」と略記される。[ 32 ]
これらの関数を使用すると、正弦定理 と余弦定理 を使用して、任意の三角形に関するほぼすべての質問に答えることができます。[ 33 ]
記憶術 の一般的な用途は、三角法の事実や関係を覚えることです。たとえば、直角三角形の正弦 、余弦 、正接の 比率は、それらと対応する辺を文字の列として表すことで覚えることができます。たとえば、SOH-CAH-TOA という記憶術があります。[ 34 ]
サイン =対辺 ÷斜辺 コサイン =隣辺 ÷斜辺 接線 =対辺 ÷隣辺 音声的に発音することです (つまり、SOH -kə- TOH -ə 、 Krakatoa と同様)。[ 35 ] 別の方法は、文字を展開して「 S ome Old Hippie C aught A another Hippie Trippin ' On A cid 」 [ 36 ]
実数または複素数の三角関数 単位円 を使用すると、三角比の定義をすべての正と負の引数に拡張できます[ 39 ] 三角関数を 参照）。
べき級数表現 実変数の関数として考えると、三角比はマクローリン級数 で表すことができます。たとえば、正弦と余弦は次の表現を持ちます[ 44 ]。
罪 x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n x 2 n + 1 （ 2 n + 1 ） ! コス x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n x 2 n （ 2 n ） ! {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}} これらの定義により、複素数 に対する三角関数を定義することができる。[ 45 ] 式が成り立つ。
e x + 私 y = e x （ コス y + 私 罪 y ） 。 {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)。} この複素指数関数は、三角関数を用いて記述されており、特に有用である。[ 46 ] [ 47 ]
その他の三角関数 先に挙げた 6 つの比率に加えて、今日ではほとんど使われていないものの、歴史的に重要であった三角関数が他にもあります。これらには、弦 ( crd θ = 2 sin θ / 2 )、正弦 ( vers θ = 1 − cos θ = 2 sin 2 θ / 2 ) (これは最も初期の表に登場しています)、カバー正弦 ( covers θ = 1 − sin θ = vers π / 2 θ )、ハバー正弦 ( hav θ = 1 / 2 θ = sin 2 θ / 2 ) 、正割( exsec θ = sec θ − 1 ) などがあります。これらの関数間の関係については、三角恒等式のリストを参照して ください。
アプリケーション
測量 土地測量 では、三角法は物体の長さ、面積、および相対角度の計算に使用されます。[ 61 ]
より大規模なレベルでは、三角法は地理学 においてランドマーク間の距離を測定するために使用されています。[ 62 ]
周期関数 関数s （ x ） {\displaystyle s(x)} S （ f ） {\displaystyle S(f)} 振幅 対周波数 を表すグラフは、6つの周波数（奇数次高調波 ）とその振幅（1/奇数 ）を示しています。 正弦関数と余弦関数は、音波 や光波 を記述するような周期関数 の理論の基礎となるものです。[ 63 ] フーリエは 、すべての連続的な 周期関数は 三角関数の無限和 として記述できることを発見しました。
非周期関数もフーリエ変換 によって正弦関数と余弦関数の積分 として表現できます。これは量子力学[64]や通信[65 ] など の 分野 応用 され て
アイデンティティ 辺の長さがa 、b 、c で、それぞれの対角がA 、B 、C である三角形三角法は、多くの恒等式、つまりあらゆる入力に対して成り立つ方程式で知られています。[ 83 ]
角度のみを含む恒等式は三角恒等式 として知られています。三角形恒等式として知られる他の方程式 [ 84 ]
三角形の恒等式
以下の式において、A 、B 、C は三角形の角度であり、 a 、b 、c はそれぞれの角度の対辺の長さである（図に示すとおり）。
正弦定理 任意の三角形に対する正弦 [ 85 ]
1 罪 A = b 罪 B = c 罪 C = 2 R = 1 b c 2 Δ 、 {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},} どこΔ {\displaystyle \Delta } R は三角形の外接円 の半径です。
R = 1 b c （ 1 + b + c ） （ 1 − b + c ） （ 1 + b − c ） （ b + c − 1 ） 。 {\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+bc)(b+ca)}}}.}
余弦定理 余弦定理 [ 85 ]
c 2 = 1 2 + b 2 − 2 1 b コス C 、 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,} または同等に：
コス C = 1 2 + b 2 − c 2 2 1 b 。 {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}
接線の法則 フランソワ・ヴィエト によって開発された正接の法則は [ 86 ]
1 − b 1 + b = タン [ 1 2 （ A − B ） ] タン [ 1 2 （ A + B ） ] {\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(AB)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}
エリア 2辺a とb 、および辺間の角度C が与えられた場合、三角形の面積は、 2辺の長さと2辺間の角度の正弦の積の半分で与えられます。[ 85 ]
エリア = Δ = 1 2 1 b 罪 C {\displaystyle {\mbox{面積}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}
三角関数の恒等式
オイラーの公式 は、e 私 x = コス x + 私 罪 x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} は、 e 虚数単位 i を用いて、正弦、余弦、正接に関する以下の解析的 恒等式を生成する。
罪 x = e 私 x − e − 私 x 2 私 、 コス x = e 私 x + e − 私 x 2 、 タン x = 私 （ e − 私 x − e 私 x ） e 私 x + e − 私 x 。 {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}
その他の三角関数の恒等式 その他によく使われる三角関数の恒等式には、半角の恒等式、角度の和と差の恒等式、積和の恒等式などがあります。[ 31 ]
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