三角関数表

数学では、三角関数の表は多くの分野で役に立ちます。ポケット計算機が登場する前は、三角関数の表は航海、科学、工学に欠かせないものでした。数学表の計算は重要な研究分野であり、最初の機械式計算装置の開発につながりました。

現代のコンピュータや電卓は、数学コードの特別なライブラリを使用して、必要に応じて三角関数の値を生成します。多くの場合、これらのライブラリは内部で事前に計算されたテーブルを使用し、適切な補間方法を使用して必要な値を計算します。三角関数の単純なルックアップ テーブルの補間は、それほど精度が求められず、速度が最優先されることが多いコンピュータ グラフィックスで今でも使用されています。

三角関数の表と生成方式のもう 1 つの重要な用途は、高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムです。このアルゴリズムでは、同じ三角関数の値 (回転因子と呼ばれる) を特定の変換で何度も評価する必要があります。これは、同じサイズの変換が多数計算される一般的なケースでは特に当てはまります。この場合、汎用ライブラリ ルーチンを毎回呼び出すのは許容できないほど低速です。1 つのオプションは、ライブラリ ルーチンを 1 回呼び出して、必要な三角関数の値の表を作成することですが、これには表を格納するための大量のメモリが必要です。もう 1 つの可能性は、値の規則的なシーケンスが必要なので、再帰式を使用して三角関数の値をその場で計算することです。FFT (三角関数の誤差に非常に敏感) の精度を維持するために、正確で安定した再帰方式を見つけるための重要な研究が行われてきました。

三角関数表は、基本的に、さまざまな角度に対する正弦、余弦、正接、およびその他の三角関数の値を示す参照表です。これらの角度は通常、表の一番上の行に配置され、さまざまな三角関数は左の最初の列にラベル付けされています。特定の角度での特定の三角関数の値を見つけるには、関数の行を見つけて、目的の角度の下の列までたどります。^[1]

1. 三角関数の値を求める必要がある特定の角度を決定します。
2. この角度を表の水平軸（一番上の行）に沿って見つけます。
3. 垂直軸（最初の列）から興味のある三角関数を選択します。
4. 関数から横にトレースし、角度から下にトレースして、テーブル上で交差する点まで進みます。この交差点の数値は、その角度の三角関数の値を示します。

現代のコンピュータや計算機は、さまざまな手法を使用して、任意の角度の三角関数の値をオンデマンドで提供します (Kantabutra、1996)。特に浮動小数点ユニットを備えたハイエンド プロセッサでよく使用される 1 つの方法は、多項式または有理数 近似(チェビシェフ近似、最良一様近似、パデ近似、および通常、より高い精度または可変精度の場合はテイラー級数とローラン級数) を範囲の縮小とテーブル参照と組み合わせることです。つまり、最初に小さなテーブルで最も近い角度を検索し、次に多項式を使用して補正を計算します。このような補間を実行しながら精度を維持することは簡単ではありませんが、Gal の正確なテーブル、Cody と Waite の範囲縮小、および Payne と Hanek のラジアン縮小アルゴリズムなどの方法をこの目的に使用できます。ハードウェア乗算器のないより単純なデバイスでは、シフトと加算のみを使用するため、より効率的なCORDICと呼ばれるアルゴリズム(および関連手法)があります。これらの方法はすべて、パフォーマンス上の理由から ハードウェアで実装されるのが一般的です。

三角関数を近似するために使用される特定の多項式は、ミニマックス近似アルゴリズムの何らかの近似を使用して事前に生成されます。

非常に高精度の計算では、級数展開の収束が遅くなりすぎる場合、三角関数は算術幾何平均で近似することができ、算術幾何平均自体は三角関数を（複素）楕円積分で近似します（Brent、1976）。

2π の有理倍数の角度の三角関数は代数的数です。a /b·2πの値は、n = aに対するド・モアブルの恒等式をb^乗根に適用することで見つけることができます。この根は、複素平面における多項式x ^b - 1の根でもあります。たとえば、2π ⋅ 5/37 のコサインとサインは、それぞれ 37 乗根 cos(2π/37) + sin(2π/37)i の 5 乗の実部と虚部です。この根は、 -37次多項式x ^{37 − 1 の根です。この場合、}ニュートン法 などの根を求めるアルゴリズムは、同様の漸近速度で収束しながら、上記の算術幾何平均アルゴリズムよりもはるかに簡単です。ただし 、後者のアルゴリズムは超越三角定数に必要です。

歴史的に、三角関数の表を計算する最も古い方法は、半角および角の加法の三角関数恒等式を既知の値 (sin(π/2) = 1、cos(π/2) = 0 など) から繰り返し適用するというもので、おそらくコンピュータの出現までは最も一般的でした。この方法は古代の天文学者プトレマイオスによって使用され、天文学に関する論文『アルマゲスト』で導出されました。現代の形式では、彼が導出した恒等式は次のように述べられています ( x が位置する象限によって決まる符号を使用)。

${\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1+\cos x)}}}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)}}}$

${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,}$

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,}$

これらは、天文学の問題に応用された プトレマイオスの弦表を作成するために使用されました。

これらの恒等式には、他にもさまざまな順列が可能です。たとえば、初期の三角関数の表では、正弦と余弦ではなく、正弦と正弦が使用されていました。

sin (2π n / N )の近似値s _nとcos (2π n / N )の近似_値c nの表を計算するための、迅速だが不正確なアルゴリズムは次のとおりです。

₀ = 0です

₀ = 1です

sn ₊₁ = sn + d × cn_​​​

cn ₊₁ = cn − d × sn_​​​

n = 0,..., N  − 1、ただしd = 2π/ N。

これは単純に微分方程式を積分するオイラー法です。

${\displaystyle ds/dt=c}$

${\displaystyle dc/dt=-s}$

初期条件はs (0)=0、c (0)=1であり、その解析解はs =sin( t )、c =cos( t )である。

残念ながら、これは 1/ Nに比例する大きな誤差があるため、正弦表を生成するための有用なアルゴリズムではありません。

たとえば、N = 256 の場合、正弦値の最大誤差は約 0.061 ( s 202 = −1.0368 ではなく −0.9757) です。N = 1024 の場合、正弦値の最大誤差は約 0.015 ( s ₈₀₃ = −0.99321では_なく−0.97832) で、約 4 分の 1 になります。得られた正弦値と余弦値をプロットすると、このアルゴリズムは円ではなく対数螺旋を描きます。

三角関数の表を生成するための簡単な漸化式は、オイラーの公式と次の関係に基づいています。

${\displaystyle e^{i(\theta +\Delta )}=e^{i\theta }\times e^{i\Delta \theta }}$

これにより、上述と同様に三角関数の値s _nとc _{n を}計算する次の再帰式が導かれます。

₀ = 1です

₀ = 0です

c _{n +1} = w _r c _n − w _i s _n

s _{n +1} = w _i c _n + w _r s _n

n = 0, ..., N  − 1の場合、 w _r = cos(2π/ N )、wi = sin(2π/ N ) です。これら 2 つの三角関数の初期値は、通常、既存のライブラリ関数を使用して計算されます (ただし、たとえば複素平面でニュートン法を使用して z N − 1 の原始根を解くことによって_も見つけること^ができます)  。

この方法は、正確な演算では正確なテーブルを生成しますが、有限精度の浮動小数点演算では誤差が生じます。実際、誤差は O(ε  N ) （最悪の場合と平均的な場合の両方）として増加します。ここで、ε は浮動小数点の精度です。

大幅な改善は、上記の変更に次のものを使用することです。これは、FFT実装の三角関数の値を生成するためによく使用される トリック（シングルトン^{[2]による）です。}

₀ = 1です

₀ = 0です

c _{n +1} = c _n  − (α c _n  + β s _n )

s _{n +1} = s _n  + (β  c _n  − α  s _n )

ここで、α = 2 sin ² (π/ N )、β = sin(2π/ N ) です。この方法の誤差は平均で O(ε √ N )、最悪の場合でも O(ε  N ) とかなり小さくなりますが、それでも大きなサイズの FFT の精度を大幅に低下させるには十分な大きさです。

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• 数値解析
• プリンプトン 322
• プロスタファエレシス

• Carl B. Boyer (1991) 『数学の歴史』第2版、John Wiley & Sons。
• Manfred TascheとHansmartin Zeuner (2002)「事前計算された回転因子の改良された丸め誤差分析」、Journal for Computational Analysis and Applications 4(1):1–18。
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