図1 – 三角形。角度α β γ a b c 三角法 において、正接の法則 または正接の法則 [ 1 ] は、三角形 の2つの角の正接と対辺の長さの関係についての記述である。
図1において、a b c α β γ 対向する 角度である。正接 の法則によれば、
1 − b 1 + b = タン 1 2 （ α − β ） タン 1 2 （ α + β ） 。 {\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.} 正接の法則は、正弦の法則 や余弦の法則 ほど一般的に知られてはいないが、正弦の法則と同等であり、2辺とその間の角、または2つの角と1辺が分かっているあらゆる場合に使用できる。
証拠 接線の法則を証明するには、まず正弦の法則 から始めるとよい。
1 罪 α = b 罪 β = d 、 {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=d,} どこで d {\displaystyle d} は 外接円 の直径 なので、 1 = d 罪 α {\displaystyle a=d\sin \alpha } そして b = d 罪 β {\displaystyle b=d\sin \beta }
したがって、
1 − b 1 + b = d 罪 α − d 罪 β d 罪 α + d 罪 β = 罪 α − 罪 β 罪 α + 罪 β 。 {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.} 三角関数の恒等式 、特に正弦の因数公式を用いると
罪 α ± 罪 β = 2 罪 1 2 （ α ± β ） コス 1 2 （ α ∓ β ） 、 {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta ),} 私たちは
1 − b 1 + b = 2 罪 1 2 （ α − β ） コス 1 2 （ α + β ） 2 罪 1 2 （ α + β ） コス 1 2 （ α − β ） = 罪 1 2 （ α − β ） コス 1 2 （ α − β ） / 罪 1 2 （ α + β ） コス 1 2 （ α + β ） = タン 1 2 （ α − β ） タン 1 2 （ α + β ） 。 {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.} 2つの正弦の和または差の恒等式を用いる代わりに、三角関数の恒等式を引用することができる。
タン 1 2 （ α ± β ） = 罪 α ± 罪 β コス α + コス β {\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}} （正接半角の公式 を参照）。
応用 正接の法則を用いると、2辺a b γ
から
タン 1 2 （ α − β ） = 1 − b 1 + b タン 1 2 （ α + β ） = 1 − b 1 + b ベビーベッド 1 2 γ {\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )={\frac {a-b}{a+b}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\frac {a-b}{a+b}}\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma } 角度の差α − β = Δ β = (180° − γ − Δ )/2α = β + Δ を
既知の辺に対する角度が計算できれば、正弦定理を用いて残りの辺 c
電子計算機が普及する以前は、この方法は余弦定理 c = √ a 2 + b 2 − 2 ab cos γ 対数表 を参照する必要があったからです。現代では、正接定理の方が余弦定理よりも数値的に優れている場合があります。γ が a b 的な相殺 が発生します。
球形バージョン 単位半径の球面上では、三角形の辺は大 円弧です。したがって、その長さはラジアンまたは他の角度の単位で表すことができます。三角形の 3 つの頂点の角度を A B C a b cとします。球面接線の法則は [ 2 ]と言います。
タン 1 2 （ A − B ） タン 1 2 （ A + B ） = タン 1 2 （ 1 − b ） タン 1 2 （ 1 + b ） 。 {\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}.}
注記 ↑ エリ・マオール 著 『三角関数の喜び』 （ プリンストン大学出版局 、2002年） を参照 ↑ Daniel Zwillinger、『CRC標準数学表と公式 』第32版、CRC Press、2011年、219ページ。 ↑ カッツ、ビクター・J. (2017年3月21日).数学史入門 . ピアソン. p. 298. ISBN 978-0-13-468952-4 。1 2 マリー＝テレーズ・ドゥバルノ（1996）。 「三角法」 。ルシュディー・ラーシード、レジス・モレロン編『 アラビア科学史百科事典』第2巻 。ラウトレッジ。182 頁 。ISBN 0-415-12411-5 。↑ Q. Mushtaq、JL Berggren (2002)。 「三角法」 。 CE ボズワース、MSAsimov (編)。 中央アジア文明の歴史、第 4 巻、第 2 部 。モティラル・バナルシダス。 p. 190.ISBN 81-208-1596-3 。↑ José García、Emmanuel Antonio (2024)、「接線の法則の一般化」、 Mathematics Magazine 、 97 (3): 274–275 、 doi : 10.1080/0025570X.2024.2336633 
