ベクトル（数学と物理学）

数学、物理学、工学において、ユークリッドベクトル、あるいは単にベクトル（幾何ベクトル^{[ 1 ]}または空間ベクトル^{[ 2 ]}と呼ばれることもある）は、大きさ（または長さ）と方向を持つ幾何学的オブジェクトである。ユークリッドベクトルは加算およびスケーリングしてベクトル空間を形成できる。ベクトル量は、測定単位および場合によってはサポートを含むベクトル値の物理量であり、有向線分として定式化される。ベクトルは、始点Aと終点Bを結ぶ矢印としてグラフィカルに表現されることが多く^{[ 3 ]}、で表される。${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

ベクトルは、点Aを点Bに「運ぶ」ために必要なものです。ラテン語のvector は「運ぶもの」を意味します。^{[ 4 ]}これは、18 世紀の天文学者が太陽の周りの惑星の公転を調査する際に初めて使用されました。 ^{[ 5 ]}ベクトルの大きさは 2 つの点間の距離であり、方向はAからBへの移動の方向を指します。加算、減算、乗算、否定など、実数に対する多くの代数演算には、ベクトルに対する類似の演算があり、^{[ 6 ]}交換法則、結合法則、分配法則というおなじみの代数法則に従います。これらの演算と関連する法則により、ユークリッドベクトルは、単にベクトル空間の要素として定義される、より一般化されたベクトルの概念の例として適格になります。

ベクトルは物理学において重要な役割を果たします。動いている物体の速度と加速度、および物体に作用する力はすべてベクトルで記述できます。^{[ 7 ]}他の多くの物理量もベクトルとして考えることができます。それらのほとんどは距離を表しませんが（例えば、位置や変位を除く）、その大きさと方向は矢印の長さと方向で表すことができます。物理ベクトルの数学的表現は、それを記述するために使用される座標系に依存します。擬似ベクトルやテンソルなど、物理量を記述する他のベクトルに似た数学的オブジェクトも、座標系の変更によって同様に変換されます。^{[ 8 ]}

自然科学において、ベクトル量（ベクトル物理量、物理ベクトル、または単にベクトルとも呼ばれる）は、ベクトル値の物理量である。^{[ 9 ] [ 10 ]}これは通常、測定単位とベクトル数値（無次元） の積として定式化され、多くの場合、大きさと方向を持つユークリッドベクトルである。たとえば、物理空間における位置ベクトルは、SI単位メートルを持つ3つのデカルト座標で表すことができる。

物理学や工学、特に力学では、物理ベクトルは幾何学的ベクトルに比べて追加の構造を持つことがあります。^{[ 11 ]}束縛ベクトルは、通常のベクトル量と作用点または作用点の 組み合わせとして定義されます。^{[ 9 ] [ 12 ]}束縛ベクトル量は、主ベクトルの大きさと方向に加えて明確な始点を持つ有向線分 として定式化されます。 ^{[ 9 ] [ 11 ]} 例えば、ユークリッド平面上の力は、SI 単位のニュートン(力の大きさと方向を表す) の 2 つのデカルト成分と、メートル単位の付随する 2 次元位置ベクトル (力の作用点を表す) を持ち、平面上には合計 4 つの数値 (空間には 6 つの数値) があります。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 12 ]} 束縛ベクトルのより単純な例は、始点から終点への並進ベクトルです。この場合、束縛ベクトルは同じ位置空間内の点の順序対であり、すべての座標は同じ量の次元と単位（長さとメートル）を持ちます。^{[ 15 ] [ 16 ]} スライディングベクトルは、通常のベクトル量と作用線または作用線の組み合わせであり、ベクトル量は（回転なしで）移動できます。自由ベクトルは、定義されていない点または作用領域を持つベクトル量であり、結果を伴わずに自由に移動できます。変位ベクトルは、自由ベクトルの典型的な例です。

単位やサポートの概念とは別に、物理ベクトル量は、計量の観点からもユークリッドベクトルと異なる場合がある。例えば、時空における事象は、メートルをコヒーレントな派生単位とする位置4元ベクトルとして表現できる。これは、位置ユークリッドベクトルと、時間的成分t ⋅ c ₀ (光速を含む) から構成される。この場合、ユークリッド計量の代わりにミンコフスキー計量が採用される。

ベクトル量はスカラー量の一般化であり、さらにテンソル量として一般化することができます。^{[ 16 ]}個々のベクトルは、軌跡を離散化する位置ベクトルのように、時間経過とともに順序付け られることがあります（時系列） 。ベクトルは、特定の瞬間に連続ベクトル値関数（振り子の方程式など）を評価することによって得られることもあります。自然科学では、「ベクトル量」という用語は、地球表面上の 風速のように、空間の2次元または3次元領域で定義されるベクトル場も包含します。擬似ベクトルと双ベクトルも物理的なベクトル量として認められます。

数学において、ベクトル空間（線形空間とも呼ばれる）とは、要素（ベクトルと呼ばれることが多い）を足し合わせたり、スカラーと呼ばれる数で乗算（「スケーリング」）したりできる集合のことである。ベクトルの加算とスカラーの乗算の演算は、ベクトル公理と呼ばれる特定の要件を満たさなければならない。実ベクトル空間と複素ベクトル空間は、実数と複素数という異なる種類のスカラーに基づくベクトル空間の一種である。スカラーは、より一般的には、任意の体の要素にもなり得る。

ベクトル空間はユークリッドベクトルを一般化したもので、大きさだけでなく方向も持つ物理量（力や速度など）をモデル化することを可能にします。ベクトル空間の概念は、行列の概念とともに線形代数の基礎であり、ベクトル空間での計算を可能にします。これにより、線形方程式系を操作および研究するための簡潔かつ体系的な方法が提供されます。

ベクトル空間は次元によって特徴づけられ、これは大まかに言えば、空間内の独立した方向の数を指定します。これは、与えられた体上の同じ次元の 2 つのベクトル空間について、ベクトル空間の構造のみに依存する性質が完全に同じであることを意味します (つまり、ベクトル空間は同型です)。ベクトル空間の次元が自然数である場合、そのベクトル空間は有限次元です。そうでない場合、それは無限次元であり、その次元は無限基数です。有限次元ベクトル空間は、幾何学および関連分野で自然に現れます。無限次元ベクトル空間は、数学の多くの分野で現れます。たとえば、多項式環は可算無限次元ベクトル空間であり、多くの関数空間は連続体の濃度を次元として持ちます。

数学で扱われる多くのベクトル空間は、他の構造も備えています。例えば、体拡大、多項式環、結合代数、リー代数などを含む代数などが挙げられます。また、関数空間、内積空間、ノルム空間、ヒルベルト空間、バナッハ空間などを含む位相ベクトル空間も同様です。