クロス積

数学において、外積またはベクトル積（幾何学的意味を強調するため、有向面積積と呼ばれることもある）は、 3 次元の有向ユークリッドベクトル空間（ここでは と名付ける）内の 2 つのベクトルに対する二項演算であり、記号 で表されます。2 つの線形独立ベクトルaとb を考えると、外積a × b （「a クロス b」と読む）は、 aとb の両方に垂直なベクトルであり、^[1]したがって、これらを含む平面に対して垂直です。これは、数学、物理学、工学、およびコンピュータプログラミングで多くの用途があります。内積（射影積）と混同しないように注意してください。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \times }$

外積の大きさは、ベクトルを辺とする平行四辺形の面積に等しい。特に、2 つの直交ベクトルの積の大きさは、それらの長さの積である。外積の単位は、各ベクトルの単位の積である。2 つのベクトルが平行または反平行(つまり、線形従属) である場合、またはどちらか一方の長さが 0 である場合、外積は 0 である。^[2]

クロス積は反可換（つまり、a × b = − b × a）であり、加法に対して分配的（つまり、a × ( b + c ) = a × b + a × c）である。^[1]クロス積を含む空間は実数上の代数であり、可換でも結合的でもなく、クロス積がリー括弧であるリー代数である。 ${\displaystyle E}$

内積と同様に、これはユークリッド空間の計量に依存しますが、内積とは異なり、空間の方向（または「利き手」）の選択にも依存します（これが、有向空間が必要な理由です）。結果のベクトルは、基底の回転に対して不変です。利き手への依存性のため、外積は擬似ベクトルであると言われています。

外積に関連して、ベクトルの外積は任意の次元（双ベクトルまたは2 形式の結果）で使用でき、空間の方向とは無関係です。

この積は、従来の 3 次元外積と同様に、方向と計量構造を使用してさまざまな方法で一般化できます。つまり、n次元では、 n − 1 個のベクトルの積をとって、それらすべてに垂直なベクトルを生成できます。しかし、積がベクトル結果を持つ非自明な 2 値積に限定される場合、それは 3 次元と 7 次元にのみ存在します。^[3] 7 次元の外積には望ましくない特性があるため (たとえば、ヤコビ恒等式を満たさない)、数理物理学では多次元時空などの量を表すために使用されません。^[4] (他の次元については、以下の § 一般化を参照してください。)

2つのベクトルaとbの外積は3次元空間でのみ定義され、a × bと表記される。物理学や応用数学では、くさび記法a ∧ bが（ベクトル積という名前と組み合わせて）よく使われるが、^{[5] [6] [7]}、純粋数学では、このような記法は通常、ベクトル積をn次元に抽象化した外積のみに使用される。

外積a × bは、 aとbの両方に垂直（直交）なベクトルcとして定義され、方向は右手の法則^[1]によって与えられ、大きさはベクトルが張る平行四辺形の面積に等しい。 ^[2]

クロス積は式^{[8] [9]で定義される。}

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,}$

どこ

θはaとbを含む平面におけるaとbの間の角度です（したがって、0°から180°の間です）。

‖ a ‖ と ‖ b ‖ はベクトルaとbの大きさであり、

n は、 aとb を含む平面に垂直な単位ベクトル であり、順序付けられたセット ( a、b、n ) が正の方向を向くような方向を持ちます。

ベクトルaとbが平行である場合（つまり、それらの間の角度θが 0° または 180° である場合）、上記の式により、 aとbの外積はゼロベクトル 0になります。

ベクトルnの方向は、空間の選択された方向に依存します。慣例的に、方向は右手の法則によって与えられ、右手の人差し指をaの方向に向け、中指をbの方向に向けるだけです。すると、ベクトルn は親指から出てきます ( 隣の図を参照 )。この法則を使用すると、外積は反可換になります。つまり、b × a = −( a × b )です。最初に人差し指をbに向け、次に中指をaに向けると、親指は反対方向に強制され、積ベクトルの符号が反転します。

外積演算子は空間の方向に依存するため、一般に 2 つのベクトルの外積は「真の」ベクトルではなく、疑似ベクトルになります。詳細については、§ 利き手を参照してください。

1842 年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは初めて四元数の代数と非可換なハミルトン積を説明しました。特に、2 つのベクトル (つまり、スカラー部分がゼロの純粋な四元数) のハミルトン積を実行すると、スカラー部分とベクトル部分を持つ四元数が得られます。このハミルトン積のスカラー部分とベクトル部分は、2 つのベクトルのドット積とクロス積の負に対応します。

1881年、ジョサイア・ウィラード・ギブス[ ^10]とオリバー・ヘヴィサイドは独立して、ドット積とクロス積をそれぞれピリオド(a⋅b)と「×」(a×b)で表す表記法を導入した。[ 11 ^]

1877年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは、ドット積の結果がスカラーであるのに対し、クロス積の結果はベクトルであるという事実を強調するために、2つの演算にスカラー積とベクトル積という別名を作り出した。^[11]これらの別名は現在でも文献で広く使われている。

クロス表記 ( a × b ) とクロス積という名前は、おそらく、 a × bの各スカラー成分が、aとbの対応しない成分を掛け合わせて計算されるという事実に由来しています。逆に、ドット積a ⋅ b は、 aとbの対応する成分間の掛け算を伴います。以下で説明するように、クロス積は、特殊な3 × 3行列の行列式の形式で表現できます。Sarrusの規則によれば、これは交差する対角線で識別される行列要素間の掛け算を伴います。

( i , j , k )が正の方向の正規直交基底である場合、基底ベクトルは次の等式を満たす^[1]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

これは、外積の 反可換性により、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

外積の反可換性（および明らかな線形独立性の欠如）は、次のことを意味している。

${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }$(ゼロベクトル)。

これらの等式は、外積の分配性と線形性（どちらも上記の定義から簡単には導き出せないが）と合わせて、任意の 2 つのベクトルaとbの外積を決定するのに十分である。各ベクトルは、標準基底ベクトルに平行な 3 つの直交成分の合計として定義できる。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{ j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}$

それらの外積a × bは分配法則を使って展開できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}$

これは、a × bを、 i、j、またはkに揃ったベクトルを含む 9 つのより単純な外積の合計に分解したものと解釈できます。これらの 9 つの外積はそれぞれ、互いに平行または直交しているため扱いやすい 2 つのベクトルに対して作用します。この分解から、上記の等式を使用して類似の項を集めると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \\\end{aligned}}}$

つまり、結果として得られるベクトルs = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × bの3つのスカラー成分は

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$

列ベクトルを使用すると、同じ結果を次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}$

外積は形式行列式として表現することもできる: ^{[注 1] [1]}

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$

この行列式は、 Sarrusの規則または余因子展開を使用して計算できます。Sarrusの規則を使用すると、次のように展開されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$

結果のベクトルの成分を直接与えます。

• どのような基底でも、クロス積はテンソル式で与えられます。ここで は共変レヴィ・チヴィタテンソルです (インデックスの位置に注目してください)。これは、ここに示した固有式に対応します。${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}}$${\displaystyle E_{ijk}}$
• 空間 と同じ向きを持つ正規直交基底では、擬似テンソル式 によって与えられます。ここで はレヴィ・チヴィタ記号 (擬似テンソル) です。これは日常の物理学で使用される式ですが、この特別な基底選択に対してのみ機能します。${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$
• 任意の正規直交基底では、擬似テンソル式によって与えられ、 は基底が空間と同じ向きであるかどうかを示します。${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$${\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1}$

後者の式は、正規直交基底を反転するときに空間の方向を変更する必要を回避します。

外積の大きさは、aとbを辺とする平行四辺形の正の面積として解釈できる（図1参照） [ ^1] $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.}$$

実際、スカラー三重積と呼ばれる外積と内積の組み合わせを使用して、a、b、c を辺とする平行六面体の体積Vを計算することもできます(図 2 を参照)。

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

スカラー三重積の結果は負になる可能性があるため、平行六面体の体積はその絶対値で表されます。

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$

外積の大きさは、その引数間の角度の正弦に比例するため、内積が平行度の尺度であるのと同様に、外積は垂直度の尺度と考えることができます。 2 つの単位ベクトルがあるとすると、その外積の大きさは、2 つが垂直であれば 1 になり、2 つが平行であれば 0 になります。 2 つの単位ベクトルの内積は、正反対の動作をします。つまり、単位ベクトルが垂直であれば 0 になり、単位ベクトルが平行であれば 1 になります。

単位ベクトルは、2 つの便利な恒等式を可能にします。2 つの単位ベクトルのドット積は、2 つの単位ベクトル間の角度のコサイン (正または負の可能性がある) を生成します。2 つの単位ベクトルの外積の大きさは、サイン (常に正) を生成します。

2 つのベクトルの外積がゼロ ベクトル (つまり、a × b = 0 ) である場合、入力の 1 つまたは両方がゼロ ベクトル ( a = 0またはb = 0 ) であるか、またはそれらは平行または反平行 ( a ‖ b ) であるため、それらの間の角度の正弦はゼロ ( θ = 0°またはθ = 180°かつsin  θ = 0 ) になります。

ベクトルの自己積はゼロベクトルです。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

外積は反可換であり、

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$

分配法則は加算法則よりも 優れている

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$

スカラー乗算と互換性があるので、

${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

これは結合的ではありませんが、ヤコビの恒等式を満たします。

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$

分配性、線形性、ヤコビ恒等式は、 R ³ ベクトル空間がベクトルの加法とクロス積とともにリー代数、つまり 3 次元の実直交群SO(3)のリー代数を形成することを示しています。クロス積は相殺則に従わない、つまりa × b = a × c ( a ≠ 0)はb = cを意味するのではなく、次のことを意味するだけです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}}$

これは、 bとc が打ち消される場合に当てはまりますが、さらにaとb − cが平行である場合にも当てはまります。つまり、これらはスケール係数tによって関連しており、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$

あるスカラーtに対して。

上記のようにa × b = a × cかつa ≠ 0であることに加えて、 a ⋅ b = a ⋅ cである場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$

b − c はaに対して平行（外積が0になる）かつ垂直（内積が 0 になる）には同時になれないため、 bとc は打ち消し合う必要があります（b = c）。

幾何学的な定義から、外積はa × bで定義される軸の周りの適切な回転に対して不変です。式では、

${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$、ここでは の回転行列です。${\displaystyle R}$${\displaystyle \det(R)=1}$

より一般的には、外積は行列変換の下で次の恒等式に従います。

${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

ここで、は 3 行 3列の行列で、は逆行列の転置、は余因子行列です。 が回転行列である場合、この式がどのようにして前の式に簡約されるかは容易にわかります。 が一般的な外積 に適用された 3 行 3 列の対称行列である場合、次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \operatorname {cof} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$

${\displaystyle M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a} }$

2 つのベクトルの外積は、ベクトルを行とする 2 × 3行列のヌル空間にあります。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$

2 つの外積の合計については、次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$

微分積分の積の法則はあらゆる双線型演算に適用され、したがって外積にも適用されます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$

ここで、aとb は実変数tに依存するベクトルです。

クロス積は三重積の両方の形式で使用されます。3つのベクトルの スカラー三重積は次のように定義されます。

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

これは、辺a、b、cを持つ平行六面体の符号付き体積であり、ベクトルは上記の順序の 偶数順列である任意の順序で使用できます。したがって、次の式は等しくなります。

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$

ベクトル三重積は、ベクトルと別の外積の結果の外積であり、次の式によって内積と関連しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

記憶法「BACマイナスCAB」は、右辺のベクトルの順序を覚えるために使用されます。この式は物理学でベクトル計算を簡素化するために使用されます。勾配に関する特別なケースで、ベクトル計算で役立つのが、

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$

ここで∇2^はベクトルラプラシアン演算子です。

他の恒等式は、外積をスカラー三重積に関連付けます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

ここで、I は単位行列です。

外積と内積は次のように関係します。

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

右辺はaとbのグラム行列式、つまりベクトルによって定義される平行四辺形の面積の 2 乗です。この条件によって外積の大きさが決まります。つまり、内積は 2 つのベクトル間の角度θによって次のように定義されます。

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$

上記の関係は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$

ピタゴラスの三角関数の等式を適用すると次の式が得られます。

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$

これはθで表される外積の大きさであり、 aとbによって定義される平行四辺形の面積に等しい（上記の定義を参照）。

この要件と、外積がその構成要素aとbに直交するという性質を組み合わせることで、外積の別の定義が得られます。^[13]

外積a × b = cの場合、 cに同じ値を与えるbベクトルが複数存在します。その結果、この式を変形してaとcに関してbの唯一の解を得ることはできません。しかし、 bの解の族を見つけることは可能です。それは

${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {a} ,}$

ここでtは任意の定数です。

これは三重積展開を使って導くことができます:

${\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$

bを解く ために整理すると、

${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a} }$

最後の項の係数を任意の定数tに簡略化すると、上記の結果が得られます。

関係

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}$

は、右辺を含む別の関係、すなわちラグランジュの恒等式[ ^{14]と比較することができる。}

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2},}$

ここで、aとbはn次元ベクトルである。これはまた、曲面のリーマン体積形式がベクトル解析の曲面要素とまったく同じであることを示している。n = 3の場合、これら2つの式を組み合わせると、外積の大きさをその成分で表す式が得られる。^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}&\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&\equiv (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.\end{aligned}}}$

同じ結果は、次の外積の成分を使って直接得られる。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}$

R ³では、ラグランジュ方程式は、四元数代数のノルムの乗法性| vw | = | v || w |の特殊なケースです。

これは、ビネ・コーシー恒等式の3次元版であるラグランジュ恒等式とも呼ばれる別の公式の特殊なケースである。^{[16] [17]}

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).}$

a = cかつb = dの場合、これは上記の式に簡略化されます。

外積は、R ³における回転の無限小生成元を便利に記述します。具体的には、n がR ³の単位ベクトルであり、R ( φ ,  n ) がnで指定された原点を通る軸の周りの角度 φ (ラジアンで測定され、 nの先端から見て反時計回り) の回転を表す場合、

${\displaystyle \left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}}$

R ³のあらゆるベクトルxに対して。したがって、 nとのクロス積は、nの周りの回転の無限小生成元を表します。これらの無限小生成元は、回転群 SO(3)のリー代数so (3)を形成し、クロス積を持つリー代数R ³はリー代数so (3) と同型であるという結果が得られます。

ベクトル積は、対称行列とベクトルの積として表すこともできる。^[16] ここで上付き文字^Tは転置演算を表し、[ a ] _×は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$$

ベクトルaの対称行列の列 [ a ] _×,iは、単位ベクトルとの外積を計算することによっても得られます。つまり、 または で あり、 ここで は外積演算子です。 $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$$$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$$${\displaystyle \otimes }$

また、a自体が外積として表現される 場合 、 $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$$$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$$

この結果は幾何代数を使って高次元に一般化できる。特に、どの次元でもバイベクトルは歪対称行列と同一視できるため、歪対称行列とベクトルの積は、バイベクトルとベクトルの積のグレード 1 部分に等しい。^[18] 3 次元ではバイベクトルはベクトルの双対であるため、積は、バイベクトルをそのベクトル双対ではなく、外積に等しい。高次元でも積は計算できるが、バイベクトルは自由度が高く、ベクトルに等しくない。^[18]

この表記法は、たとえばエピポーラ幾何学では扱いがはるかに簡単になることもよくあります。

外積の一般的な性質から、およびが直ちに成り立ち   、   [ a ] _{× が}歪対称である という事実から、$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$$$${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$$$${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$$

この表記法を使用すると、前述の三重積展開（bac-cab 規則）を簡単に証明できます。

上で述べたように、クロス積を持つリー代数R ^{3 は}、その要素が 3×3 歪対称行列と同一視できるリー代数so(3)と同型である。写像a → [ a ] _{× は、} R ³とso(3)の間に同型性を与える。この写像の下では、3次元ベクトルのクロス積は、3×3 歪対称行列の 交換子に対応する。

外積は、レヴィ・チヴィタテンソル E _ijkとドット積η ^miで定義することもできます。これは、テンソルアプリケーションのベクトル表記を変換するのに役立ちます。

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$

ここで、添え字は ベクトル成分に対応する。この外積の特徴付けは、アインシュタインの総和法を使って次のように 簡潔に表現されることが多い。${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$

繰り返されるインデックスが 1 から 3 までの値にわたって合計されます。

正の向きの正規直交基底では、η ^mi = δ ^mi (クロネッカーのデルタ) および ( レヴィ・チヴィタ記号) です。その場合、この表現は外積の歪対称表現の別の形式です。 ${\displaystyle E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}}$

${\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$

古典力学では、レヴィ・チヴィタ記号を使用して外積を表すと、物理システムが等方性である場合に機械的対称性が明らかになることがあります。(例: 3 次元空間のフックの法則ポテンシャル内の粒​​子を考えます。この粒子は 3 次元で自由に振動します。これらの次元はいずれも「特別」なものではないため、対称性は外積で表された角運動量にあり、これは前述のレ​​ヴィ・チヴィタ表現によって明らかになります。) ^{[引用が必要]}

「xyzzy」という単語は、外積の定義を覚えるのに使用できます。

もし

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

どこ：

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$

それから：

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$

${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$

${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$

2 番目と 3 番目の方程式は、下付き文字をx → y → z → xと垂直に回転するだけで、最初の方程式から取得できます。もちろん、問題は最初の方程式をどのように覚えるかですが、これには 2 つのオプションがあります。Sarrus スキームの関連する 2 つの対角線 ( i を含むもの) を覚えるか、xyzzy シーケンスを覚えるかです。

Sarrus の方式の最初の対角線は、前述の 3×3 行列の 主対角線に等しいため、xyzzy という単語の最初の 3 文字は非常に簡単に覚えることができます。

上記の記憶法と同様に、方程式内の 2 つのベクトルの間に「クロス」または X を視覚化できます。これは、正しいクロス積の式を記憶するのに役立ちます。

もし

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

それから：

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

の式を取得したい場合は、式から「および」を削除し、次の 2 つの要素を削除します。 ${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle b_{x}}$${\displaystyle c_{x}}$

${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

に対してこれを行う場合、次の 2 つの要素は行列を「ラップアラウンド」して、z コンポーネントの後に x コンポーネントが来るようにします。明確にするために、に対してこの操作を実行する場合、次の 2 つのコンポーネントは z と x (この順序) になります。一方、 に対して次の 2 つのコンポーネントは x と y になります。 ${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$

クロス演算子が左側の要素から右側の要素を指しているとすると、左側の最初の要素を取り、右側の行列でクロスが指している要素を掛け合わせればよいことになります。次に、左側の次の要素を引き、ここでもクロスが指している要素を掛け合わせます。この結果、次の式が得られます。 ${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{x}}$

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$

および についても同様の方法でこれを実行し、関連する式を構築できます。 ${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

外積はさまざまな場面で応用されています。たとえば、計算幾何学、物理学、工学で使用されます。以下に例をいくつか示しますが、これらに限定されるわけではありません。

外積は、3 次元空間内の 2 本の斜線(同じ平面上にない線) 間の距離を計算するときに使用されます。

クロス積は、三角形または多角形の法線を計算するために使用できます。これは、コンピュータ グラフィックスで頻繁に実行される操作です。たとえば、多角形内のある点の周りの多角形の曲がり具合 (時計回りまたは反時計回り) は、多角形を三角形に分割し (車輪のスポークのように)、クロス積を使用して各角度の符号を追跡しながら角度 (スポーク間) を合計することで計算できます。

平面の計算幾何学では、外積は3点とで定義される鋭角の符号を決定するために使用されます。これは、 2組の点とで定義される2つの共面ベクトルの外積の方向（上向きまたは下向き）に対応します。鋭角の符号は、次の式の符号です 。${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$

${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$

これは 2 つのベクトルの外積の符号付き長さです。

「右手」座標系では、結果が 0 の場合、点は同一直線上にあり、結果が正の場合、3 つの点はからまでの正の回転角を構成し、そうでない場合は負の角度を構成します。別の観点から見ると、 の符号は が直線の左側にあるか右側にあるかを示します。${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

外積は、四面体や平行六面体などの多面体の体積を計算するときに使用されます。

与えられた原点の周りの粒子の角運動量 L は次のように定義さ れます 。

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

ここで、rは原点に対する粒子の位置ベクトル、p は粒子の線形運動量です。

同様に、点 B に点 A の周りに作用する力F _Bのモーメント M は次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$

力学では、力のモーメントはトルクとも呼ばれ、次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

位置r、線運動量p、力F はすべて真のベクトルであるため、角運動量Lと力のモーメントMは両方とも擬似ベクトルまたは軸ベクトルです。

外積は剛体運動の説明で頻繁に登場します。剛体上の2 つの点P とQ は次のように関係付けられます。

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$

ここで、は点の位置、は速度、は物体の角速度です。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

位置と速度は真のベクトルなので、角速度は疑似ベクトルまたは軸ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

外積は、移動する電荷q _eが受けるローレンツ力を記述するために使用されます。

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

速度v、力F、電場Eはすべて真のベクトルなので、磁場B は擬似ベクトルです。

ベクトル計算では、外積はベクトル演算子 curlの式を定義するために使用されます。

外積を行列の乗算で書き直すというトリックは、エピポーラ幾何学やマルチビュー幾何学、特にマッチング制約を導出するときによく使用されます。

外積は外積で定義できる。外積は3次元以外の外積にも一般化できる。^[19]この一般化により、外積の自然な幾何学的解釈が可能になる。外積代数では、2つのベクトルの外積はバイベクトルである。バイベクトルは、ベクトルが有向線要素であるのとほぼ同じように、有向平面要素である。2つのベクトルaとbを考えると、バイベクトルa ∧ b をaとbが張る有向平行四辺形と見ることができる。バイベクトルa ∧ bのホッジスターを取り、 2次元ベクトルをベクトルに マッピングすることで、外積が得られる。

${\displaystyle a\times b=\star (a\wedge b).}$

これは、バイベクトルに「垂直」な方向の多次元要素と考えることができます。d次元空間では、ホッジスターはkベクトルを ( d–k ) ベクトルに変換します。したがって、d = 3 次元でのみ、結果は次元 1 (3–2 = 1) の要素、つまりベクトルになります。たとえば、d = 4 次元では、2 つのベクトルの外積は次元 4–2 = 2 になり、バイベクトルになります。したがって、3 次元でのみ、外積はベクトルを乗算する代数構造を定義します。

物理法則を方程式として書く場合、利き手を含め、座標系を任意に選択することができます。考慮する必要があるすべての変換において両辺が等しく動作しない方程式を書かないように注意する必要があります。たとえば、方程式の片辺が 2 つの極ベクトルの外積である場合、結果が軸ベクトルになることを考慮に入れる必要があります。したがって、一貫性を保つために、もう一方の辺も軸ベクトルでなければなりません。^[要出典]より一般的には、外積の結果は、そのオペランドのタイプ (極ベクトルまたは軸ベクトル) に応じて、極ベクトルまたは軸ベクトルのいずれかになります。つまり、極ベクトルと軸ベクトルは、外積の適用下で次のように相互に関連しています。

• 極ベクトル × 極ベクトル = 軸ベクトル
• 軸ベクトル × 軸ベクトル = 軸ベクトル
• 極ベクトル × 軸ベクトル = 極ベクトル
• 軸ベクトル × 極ベクトル = 極ベクトル

あるいは象徴的に

• 極性 × 極性 = 軸
• 軸方向 × 軸方向 = 軸方向
• 極性 × 軸 = 極性
• 軸 × 極性 = 極性

外積は極ベクトルでもあるため、鏡像変換で方向が変わらない場合があります。これは、上記の関係に従って、オペランドの 1 つが極ベクトルで、もう 1 つが軸ベクトルである場合に発生します (たとえば、2 つの極ベクトルの外積)。たとえば、 3 つの極ベクトルを含むベクトルの 3 重積は極ベクトルです。

外積代数を使用すると、利き手に左右されないアプローチが可能になります。

( i , j , k ) を正規直交基底とします。ベクトルi、j、kは 空間の向きに依存しません。向きがない場合でも定義できます。したがって、軸ベクトルにはなりません。ただし、iとjが極ベクトルの場合、i × j = kまたはj × i = kのとき、 k は軸ベクトルになります。これはパラドックスです。

「軸」と「極性」は物理ベクトルの物理的な修飾語です。つまり、速度や磁場などの物理量を表すベクトルです。ベクトルi、j、kは数学的なベクトルであり、軸でも極性でもありません。数学では、2 つのベクトルの外積はベクトルです。矛盾はありません。

外積を高次元に一般化する方法がいくつかあります。

外積は最も単純なリー積の 1 つとみなすことができ、したがってリー代数によって一般化されます。リー代数は、多重線性、歪対称性、およびヤコビ恒等式の公理を満たす 2 元積として公理化されます。リー代数は多数存在し、それらの研究はリー理論と呼ばれる数学の主要な分野です。

例えば、ハイゼンベルク代数は別のリー代数構造を与える。その基底において、積は${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$${\displaystyle \{x,y,z\},}$${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

外積は、四元数で記述することもできます。一般に、ベクトル[ a ₁、a ₂、a ₃ ]が四元数a ₁ i + a ₂ j + a ₃ kとして表される場合、2 つのベクトルの外積は、それらの積を四元数として取り、結果の実部を削除することによって取得できます。実部は、2 つのベクトルのドット積の負になります。

7 次元ベクトルの外積は、四元数の代わりに八元数を使用することで、同様に得ることができます。他の次元の 2 つのベクトルの非自明なベクトル値外積が存在しないことは、唯一のノルム除算代数は次元 1、2、4、および 8 のものである というHurwitz の定理の結果に関連しています。

一般次元では、ベクトルを生成する二項積の直接の類似物はありません。ただし、2 つのベクトルの外積が通常のベクトルではなく2 ベクトルになる点を除いて、同様の特性を持つ外積があります。前述のように、ホッジ スター演算子を使用して 2 ベクトルをベクトルにマッピングすることにより、外積を 3 次元の外積として解釈できます。外積のホッジ デュアルは( n − 2)ベクトルを生成します。これは、任意の数の次元における外積の自然な一般化です。

外積と内積は（加算によって）組み合わせて、幾何代数における 幾何積を形成できます。

上で述べたように、外積は3次元では外積のホッジ双対として解釈できる。任意の有限n次元では、 n − 1ベクトルの外積のホッジ双対はベクトルである。したがって、任意の有限次元では、二項演算の代わりに、外積はいくつかの与えられたn − 1ベクトルの外積のホッジ双対として一般化される。この一般化は外積と呼ばれる。^[20]

代数の3 次元ベクトル空間を、 、、である 3 次元幾何代数の2 ベクトル（1 ベクトルではない）部分代数として解釈すると、外積は幾何代数の交換子積に正確に対応し、どちらも同じ記号 を使用します。交換子積は、2 ベクトルと に対して、幾何代数で次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA),}$

ここで幾何積はである。^[21]${\displaystyle AB}$

交換子積は、3 次元の任意の多重ベクトルに一般化することができ、その結果、グレード1 (1 ベクトル/真のベクトル) とグレード 2 (2 ベクトル/擬似ベクトル) の要素のみで構成される多重ベクトルになります。2 つの 1 ベクトルの交換子積は、確かに外積と同じで 2 ベクトルを生成しますが、1 ベクトルと 2 ベクトルの交換子積は真のベクトルを生成し、代わりに幾何代数の左縮約と右縮約に対応します。2 つの 2 ベクトルの交換子積には、対応する同等の積がないため、交換子積はそもそも 2 ベクトルに対して定義されます。さらに、3 つの 2 ベクトルの交換子三重積は、ベクトル代数における同じ 3 つの擬似ベクトルのベクトル三重積と同じです。しかし、幾何代数における 3 つの 1 ベクトルの交換子三重積は、ベクトル代数における同じ 3 つの真のベクトルの ベクトル三重積の負になります。

高次元への一般化は、高次元幾何代数における2ベクトルの同じ交換子積によって提供されるが、2ベクトルはもはや擬似ベクトルではない。3次元における2ベクトルの交換子積/外積が最も単純なリー代数に対応するのと同様に、交換子積を備えた高次元幾何代数の2ベクトル部分代数もリー代数に対応する。^[22]また、3次元の場合と同様に、交換子積は任意の多重ベクトルにさらに一般化できる。

多重線型代数の文脈では、外積は、3次元体積形式^[注2]、つまり(0,3)-テンソルから指数を乗じて得られる(1,2)-テンソル（混合テンソル、具体的には双線型写像）として見ることができる。

詳細には、3 次元ボリューム形式は、これらの 3 つのベクトルによって与えられた行列の行列式を取ることによって積を定義します。双対性により、これは関数と同等であり(任意の 2 つの入力を固定すると、3 番目の入力を評価することによって関数が得られます)、内積(ドット積など、より一般的には非退化双線形形式)が存在する場合、同型性が得られ、したがって、外積であるマップが生成されます。つまり、(0,3) テンソル (3 つのベクトル入力、スカラー出力) は、「インデックスを上げる」ことによって (1,2) テンソル (2 つのベクトル入力、1 つのベクトル出力) に変換されます。 ${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle V\to V^{*},}$${\displaystyle V\times V\to V,}$

上記の代数を幾何学に翻訳すると、関数 を定義する関数「 によって定義される平行六面体の体積」（最初の2つのベクトルは固定され、最後のベクトルは入力）は、ベクトルとのドット積として一意に表すことができます。このベクトルは外積です。この観点から、外積はスカラー三重積によって定義されます。${\displaystyle (a,b,-)}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle a\times b.}$${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

同様に、高次元では、n次元体積形式 (テンソル) のインデックスを上げることによって、一般化されたクロス積を定義できます。クロス積の最も直接的な一般化は、次のいずれかを定義することです。 ${\displaystyle (0,n)}$

• -テンソルはベクトルを入力として受け取り、1つのベクトル（ベクトル値の積）を出力として返します。${\displaystyle (1,n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (n-1)}$
• テンソルは、2 つのベクトルを入力として受け取り、ランクn − 2の歪対称テンソル (ランクn − 2のテンソル値を持つバイナリ積)を出力します。他のkに対してもテンソルを定義することができます。${\displaystyle (n-2,2)}$${\displaystyle (k,n-k)}$

これらの積はすべて多重線型かつ歪対称であり、行列式とパリティによって定義できます。

積は次のように記述できます。 のベクトルが与えられた場合、一般化外積は次のように定義されます。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$

• によって定義される超平面に垂直な${\displaystyle v_{i},}$
• 大きさは平行四辺形の体積であり、グラム行列式として計算できる。${\displaystyle v_{i},}$${\displaystyle v_{i},}$
• 肯定的な方向に向いているように向いています。${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$

これは、インデックスの巡回順列に対して などと 評価される唯一の多重線型交代積です。${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$

座標では、 R ⁿにおける外積のこの - 次元類似体の式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$

この式は、基底ベクトルの行が行列式の最初ではなく最後の行にあることを除いて、 R ³の通常のクロス積の行列式の式と構造的に同一である。その理由は、順序付けられたベクトル ( v ₁、...、v _{n −1}、 Λ^{n –1}
_i=0v _i ) は ( e ₁ , ..., e _n )に関して正の向きを持つ。nが奇数の場合、この変更によって値は変化しないため、この規則は 2 進積の通常の定義と一致する。ただし、 nが偶数の場合は、区別を維持する必要があります。この-ary 形式は、ベクトル外積と同じ多くの特性を備えています。つまり、引数が交代で線形であり、各引数に垂直であり、その大きさは引数で囲まれた領域の超体積を与えます。また、ベクトル外積と同様に、引数のウェッジ積のホッジ双対として座標に依存しない方法で定義できます。さらに、積はフィリッポフ恒等式を満たします。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}}$

${\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}$

そしてRn+1にn-リー代数の構造を与える（^[ 23 ^]の命題1を参照）。

1773年、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、点積と外積の両方の成分形式を使用して、 3次元の四面体を研究しました。^{[24] [注 3]}

1843 年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは四元数積を導入し、それとともにベクトルとスカラーという用語も導入しました。2 つの四元数[0, u ]と[0, v ] ( uとvはR ³のベクトル)を考えると、それらの四元数積は[− u ⋅ v , u × v ]とまとめることができます。ジェームズ・クラーク・マクスウェルはハミルトンの四元数ツールを使用して有名な電磁気学方程式を開発しました。このため、および他の理由から、四元数は一時期物理学の教育に不可欠な要素でした。

1844年、ヘルマン・グラスマンは2次元や3次元に縛られない幾何代数を発表しました。グラスマンは、当時[uv]で表される外積を含むいくつかの積を考案しました。^[25]（外積代数も参照） 。

1853年、グラスマンと同時代のオーギュスタン＝ルイ・コーシーは、方程式を解くために使用され、外積と同じ乗算特性を持つ代数キーに関する論文を発表しました。^{[26] [27]}

1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは、彼の名を冠したクリフォード代数の先駆者として知られる著書『Elements of Dynamic』を出版し、その中でベクトル積という用語が使われています。この本では、2つのベクトルの積は、その2辺からなる平行四辺形の面積に等しい大きさと、その平面に垂直な方向を持つものとして定義されています。^[28]

1881年の講義ノートでは、ギブスは外積を と表し、それを歪積と呼んでいた。^{[29] [30]} 1901年にギブスの学生であったエドウィン・ビッドウェル・ウィルソンはこれらの講義ノートを編集し、教科書『ベクトル解析』にまとめた。ウィルソンは歪積 という用語はそのまま使用したが、外積^{[注 4]}やベクトル積という代替用語の方が頻繁に使用されていることに気づいた。^[31]${\displaystyle u\times v}$

1908年、チェーザレ・ブラーリ＝フォルティとロベルト・マルコロンゴはベクトル積表記u ∧ vを導入した。^{[25]この記号は}乗算や直積を表すためにすでに使用されていたため、フランスやその他の地域では今日まで使用されている。^[要出典]${\displaystyle \times }$

• デカルト積– 2つの集合の積
• 幾何代​​数: 回転系
• 多重積– 3つ以上のベクトルを含む積
• ベクトルの乗算
• 四重積
• × (記号)

• カジョリ、フロリアン（1929）。数学表記法の歴史第2巻。オープンコート出版。p.134。ISBN 978-0-486-67766-8。
• Crowe, Michael J. (1994)。ベクトル解析の歴史。ドーバー。ISBN 0-486-67910-1。
• EAミルン（1948）ベクトル力学、第2章：ベクトル積、pp 11-31、ロンドン：メチューエン出版。
• ウィルソン、エドウィン・ビッドウェル (1901)。ベクトル解析: J. ウィラード・ギブスの講義に基づいた数学と物理学の学生のための教科書。イェール大学出版局。
• T. レヴィ＝チヴィタ; U. アマルディ (1949)。Lezioni di meccanica razionale (イタリア語)。ボローニャ：ザニケッリ編集部。

• 「外積」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 外積の簡単な幾何学的導出と解釈
• シラキュース大学で作成されたインタラクティブなチュートリアル– ( Javaが必要)
• W. Kahan (2007)。ユークリッド 2 次元空間と 3 次元空間におけるクロス積と回転。カリフォルニア大学バークレー校 (PDF)。
• ベクトル積、Mathcentre (英国)、2009